新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测62《离散型随机变量的分布列均值与方差》(含解析)

课时跟踪检测（六十二） 离散型随机变量的分布列、均值与方差

1．(2019·嘉兴一中质检)随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝(　　)

A.2　　　　　　　　　　　 　B．3

C．4   D．5

解析：选C　因为p＝1－－＝，

所以E(X)＝0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3，

所以D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，所以D(2X－3)＝22D(X)＝4，故选C.

2．(2019·广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X表示取出球的最小号码，则E(X)＝(　　)

A．0.45   B．0.5

C．0.55   D．0.6

解析：选B　易知随机变量X的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P(X＝0)＝＝0.6，P(X＝1)＝＝0.3，P(X＝2)＝＝0.1.所以E(X)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.

3．(2019·衡水中学月考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(　　)

A．3   B.

C. D．4

解析：选B　由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.故选B.

4．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝(　　)

A．1   B．

C． D．2

解析：选B　由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝××＝，P(ξ＝1)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝，P(ξ＝3)＝××＝.∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

5．(2019·天津一中月考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E(ξ)为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝.

若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．

所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝2＝，所以E(ξ)＝2×＋4×＋6×＝.故选B.

6．(2019·南安一中期中)设10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值，，，，的概率也为0.2.若记D(ξ1)，D(ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则(　　)

A．D(ξ1)＞D(ξ2)

B．D(ξ1)＝D(ξ2)

C．D(ξ1)＜D(ξ2)

D．D(ξ1)与D(ξ2)的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关

解析：选A　由题意可知E(ξ1)＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，

E(ξ2)＝＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)，期望相等，都设为m，

∴D(ξ1)＝[(x1－m)2＋…＋(x5－m)2]，

D(ξ2)＝，

∵10≤x1＜x2＜x3＜x4≤104，x5＝105，

∴D(ξ1)＞D(ξ2)．故选A.

7．(2019·湖南名校联考)体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选C　根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P(X＝1)＝p，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P(X＝2)＝p(1－p)，

发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P(X＝3)＝(1－p)2，则E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，

依题意有E(X)＞1.75，则p2－3p＋3＞1.75，解得p＞或p＜，

结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈，故选C.

8．(2018·浙江高考)设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

则当p在(0,1)内增大时，(　　)

A．D(ξ)减小   B．D(ξ)增大

C．D(ξ)先减小后增大   D．D(ξ)先增大后减小

解析：选D　由题意知E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝p＋，

D(ξ)＝2×＋2×＋2×

＝2×＋2×＋2×

＝－p2＋p＋＝－2＋，

∴D(ξ)在上递增，在上递减，即当p在(0,1)内增大时，D(ξ)先增大后减小．

9．(2019·鄂南高中期中)设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________.

解析：由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

答案：

10．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ)．

解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为

P3＝×＝×＝，

故两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：

P(ξ＝0)＝×＝，

P(ξ＝40)＝×＋×＝，

P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝，

P(ξ＝120)＝×＋×＝，

P(ξ＝160)＝×＝.

ξ的分布列为：

E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.

D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.

11．(2019·大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单价进行试销，得到一组检测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，6)如表所示.

已知变量x，y具有线性负相关关系，且i＝39，i＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y＝4x＋54；乙，y＝－4x＋106；丙，y＝－4.2x＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．

(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a，b的值；

(2)若由线性回归方程得到的估计数据(xi，i)中的i与检测数据(xi，yi)中的yi差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．

解：(1)已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得，＝＝6.5，＝＝80，

将＝6.5，＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确，

故回归方程为y＝－4x＋106.

由i＝4＋5＋6＋7＋a＋9＝39，得a＝8，

由i＝b＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b＝90.

(2)列出估计数据(xi，yi)与检测数据(xi，yi)如表.

易知有3个“理想数据”，故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.故ξ的分布列为

E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

12．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表

乙公司送餐员送餐单数频数表

(1)现从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天的送餐单数，求这3天送餐单数都不小于40的概率．

(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：

①记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望E(X)；

②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．

解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M，

则P(M＝＝.

(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a，

当a＝38时，X＝38×6＝228，

当a＝39时，X＝39×6＝234，

当a＝40时，X＝40×6＝240，

当a＝41时，X＝40×6＋1×7＝247，

当a＝42时，X＝40×6＋2×7＝254.

所以X的所有可能取值为228,234,240,247,254.

故X的分布列为：

所以E(X)＝228×＋234×＋240×＋247×＋254×＝241.8.

②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为

38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7，

所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．

由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．

因为238.8＜241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.