新课改专用2020版高考数学一轮跟踪检测51《抛物线》(含解析)

课时跟踪检测（五十一）  抛物线

[A级　基础题——基稳才能楼高]

1．(2019·石家庄模拟)抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)

A．x＝　　 　　　　　 　B．x＝－

C．y＝   D．y＝－

解析：选D　抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝y，其准线方程为y＝－.

2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)

A．y2＝±2x   B．y2＝±2x

C．y2＝±4x   D．y2＝±4x

解析：选D　由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线C的方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝±4x.故选D.

3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝(　　)

A．   B．

C．3 D．4

解析： 选D　抛物线x2＝4y的准线方程为y＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D.

4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)

A.   B．－

C．±   D．－

解析：选B　将y＝1代入y2＝4x可得x＝，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－，故选B.

5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选B　由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.

6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y2＝x的焦点坐标是________．

解析：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为，因此抛物线y2＝x的焦点坐标为.

答案：

[B级　保分题——准做快做达标]

1．(2019·武汉调研)过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为(　　)

A.   B．2

C．3   D．2

解析：选B　∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.

2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物线C交于A，B两点，那么抛物线C的准线与以AB为直径的圆的位置关系为(　　)

A．相离   B．相切

C．相交但不经过圆心   D．相交且经过圆心

解析：选B　设圆心为M，过点A，B，M分别作准线 l的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝(|AA1|＋|BB1|)．由抛物线定义可知|BF|＝|BB1|，|AF|＝|AA1|，∴|AB|＝|BB1|＋|AA1|，|MM1|＝|AB|，即圆心M到准线l的距离等于圆的半径，故以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切．

3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则点F到MN的距离为(　　)

A.   B．1

C.   D．2

解析：选B　由题可知|MF|＝2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d＝|NF|，因为|NF|＝|MN|，所以cos∠NMF＝＝＝，所以sin∠NMF＝＝，所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF＝2×＝1，故选B.

4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)

A．4   B．3

C．4   D．8

解析：选C　由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，∵直线AF的斜率为，∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝ 60°，故△AHF为等边三角形．设A，m＞0，由|AF|＝|AH|，得－1＝·，解得m＝2，故等边△AHF的边长|AH|＝4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°＝4.故选C.

5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若＝λ，则实数λ为(　　)

A．   B．

C．2 D．3

解析：选C　把点A代入抛物线的方程得2＝2p×，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则B(－1,0)，设M，则＝，＝，由＝λ，得解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.

6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l：x－y－a＝0与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|＝，则a＝(　　)

A．－1   B．1

C．－2   D．2

解析：选D　∵直线l的方程为x－y－a＝0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2＝4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|＝，∴|PQ|＝sin 60°＝8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得得x2－4x＋4a＝0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2＝4，x1x2＝4a，∴|PQ|＝·＝8，即48－16a＝16，∴a＝2，故选D.

7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C：y2＝4x，点D(2,0)，E(4,0)，M是抛物线C上异于原点O的动点，连接ME并延长交抛物线C于点N，连接MD，ND并分别延长交抛物线C 于点P，Q，连接PQ，若直线MN，PQ的斜率存在且分别为k1，k2，则＝(　　)

A．4   B．3

C．2   D．1

解析：选C　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为x＝y＋2，代入抛物线C：y2＝4x，整理得y2－y－8＝0，所以y1y3＝－8，即y3＝－，从而x3＝，故P，同理可得Q，因为M，E，N三点共线，所以＝，得y1y2＝－16，所以k2＝＝，k1＝＝＝，所以＝2.故选C.

8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C：y2＝4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)

A．   B．

C．   D．3

解析：选C　如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|＝|EF|＝|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|＝，|NM|＝，所以△MNF的面积为，故选C.

9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝(　　)

A．－   B．

C． D．－

解析：选A　不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|＝|MF|＝，所以解得m＝，p＝2，所以＝，＝，所以·＝－2＝－.故选A.

10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y2＝4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________．

解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x＝－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d＝≥，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1＝4.

答案：4

11．(2018·北京高考)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．

解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．

答案：(1,0)

12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为________．

解析：∵双曲线－y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2＝8x，∵|AF|＝3，∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±2.∵点A在第一象限，∴A(1，2)，∴直线AF的斜率为＝－2.

答案：－2

13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.

解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，则|AA′|＝6，|BB′|＝3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|＝3，|BC|＝6，∠BAC＝α，所以sin α＝＝，所以|AB|＝＝9，解得p＝4.

法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|AF|＝，|BF|＝，则有＝2×，解得cos α＝，又|AF|＝＝6，所以p＝4.

法三：由结论＋＝，得＋＝，解得p＝4.

答案：4

14．(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，∴设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，

∵点N在以AB为直径的圆上，

∴AN⊥BN，∴－＝－1，∴p＝2.

(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，

联立，得结合①式，解得即N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

则S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，

∵△ABN的面积的最小值为4，

∴2＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.

15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.

(1)求直线l的方程；

(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．

解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，

由题意知k≠0，且[－(2k2＋4)]2－4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝，x1x2＝1，

由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，

∴＝6，∴k2＝1，即k＝±1，

∴直线l的方程为y＝±(x－1)．

(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，－y1)，

又E(－1,0)，

∴kEB－kED＝－＝，

y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2＋y1

＝(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2).

由(1)知x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，

又y1与y2异号，

∴y1y2＝－4，即＋1＝0，∴kEB＝kED，

又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线．