初中人教版第二十二章 二次函数综合与测试教学设计

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知识要点梳理


1.二次函数解析式的表示方法


（1）一般式：（，，为常数，）；


（2）顶点式：（，，为常数，）；


（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）又叫交点式。


2.二次函数的图象与各项系数之间的关系


（1） 二次项系数


二次函数中，作为二次项系数，显然．


当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下。越大，开口越小．


（2） 一次项系数


在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．


的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则即“左同右异”。


（3）常数项


决定了抛物线与轴交点的位置．即抛物线过点


（4）赋值法：如即为时的函数值，即为时的函数值


经典例题


例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．


（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；


（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；


（3）已知抛物线与x轴交于点（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；


（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．



































针对练习


1. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，求这个二次函数的关系式；





























2.已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。




















例2.如图所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米。


（1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式；


（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。









































例3．（湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）．


（1）证明：；


（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值．























例4.体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线的一部分（单位：米），根据关系式回答：


该同学的出手最大高度是多少？


铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？


该同学的成绩是多少？（参考数据）


























针对练习


某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示。图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系是。请回答下列问题：


（1）柱子OA的高度是多少米？


（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？


(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？























经典练习


x





y


O


1.二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 （ ）


A．第一象限B．第二象限


C．第三象限D．第四象限








2.已知抛物线的图象如图所示，则a、b、c的符号为（ ）


Ａ.B.


C.D.





3.已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）


A．B．


C．D．








4.当时一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（ ）




















5.抛物线中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①；


②③④⑤


⑥；其中正确的为（ ）


A．①②B．①④C．①②⑥D．①③⑤





6.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：


①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；


③4a＋b＝0;④当y＝－2时，x的值只能取0；其中正确的个数是（ ）


A．1B．2C．3D．4


7.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线不经过（ ）


A．第一象限 B．第二象限C第三象限．D．第四象限


8.抛物线的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ）


A．B．且 C．D．且


x


y


O


3





第9题





9.二次函数的图象如图，当时，


的取值范围是（ ）


A． B．


C． D．或





10若二次函数配方后为则、 的值分别为（ ）


（A）0，5 （B）0，1 （C）—4，5 （D）—4，1





11.若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )


A. B. C. D.


12.已知抛物线y＝5x2＋(m－1)x＋m与x轴的两个交点在y轴同侧，它们的距离平方等于，则m的值为( )


A.－2 B.12 C.24 D.48





13.抛物线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .


14.若二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝ 。





15.已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_______.


16.已知二次函数，当a 时，该函数的最小值为0。











17.已知二次函数（为常数），当取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．下图分别是当，，，时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是 .























18. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．


(1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；


（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；


（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．





























19.若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与轴两交点间的距离为8，试求该抛物线的关系式，并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标。























提高练习


1.已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 .


2.已知二次函数的图象上有三点且，则的大小关系为 .





3.如图，二次函数（）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），下列结论：①，②，③，④，⑤当时，.其中正确结论的个数是（ ）


A．5个 B．4个 C．3个 D．2个











4.（内蒙包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；


④．其中正确结论的是 ．





5.已知二次函数y＝x2－2(m－1)x＋m2－2m－3，其中m为实数.


(1)求证:不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点;


(2)设这个二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的倒数和为，求这个二次函数的关系式.





























巩固练习


1.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( )


A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2)


2.（贵州）函数在同一直角坐标系内的图象大致是( )








3.若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )


A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴


C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴


4.已知二次函数有最小值为0，则＝ 。


5.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=3，抛物线与x轴交于A、B两点、与y轴交于C点，OC＝2，S△ABC＝4，求抛物线的解析式。