北师大数学九年级 上册：第6章 《反比例函数》专题练习

《反比例函数》专题练习

一．选择题
1．不在函数y＝﹣图象上的点是（　　）
A．（1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣2，）
2．已知y是关于x的反比例函数，（x1，y1）和（x2，y2）是该函数图象上的两点，则下列关系式中成立的是（　　）
A．x1y1＝x2y2 B．
C． D．x1x2＝y1y2
3．某反比例函数在第二项限的图象如图所示，点A是图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，若△ABO的面积为3，则反比例函数的解析式为（　　）

A． B． C． D．
4．直线y＝x﹣1与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，且AB＝AC，则k的值（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
5．反比例函数的图象上有两个点为（1，y1），（2，y2），则y1与y2的关系是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．不能确定
6．如图，点P是反比例函数的图象上的任意一点，过点P分别作两坐标轴的垂线，与坐标轴构成矩形OAPB，点D是矩形OAPB内任意一点，连接DA、DB、DP、DO，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，双曲线y＝经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN交于点B，已知OA＝2AN，△OAB的面积为，则k的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，直线y＝mx与双曲线y＝交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM，若S△ABM＝3，则k的值是（　　）

A．3 B．m﹣3 C．m D．6
9．已知A、B、C、D、E是反比例函数（x＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是（　　）

A．13π﹣26 B．16π﹣32 C．14π﹣28 D．12π﹣24
10．如图，直线y＝﹣x+b与双曲线交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，有以下结论：①S△AOM＝S△BON；②OA＝OB；③五边形MABNO的面积；④若∠AOB＝45°，则S△AOB＝2k，⑤当AB＝时，ON﹣BN＝1；其中结论正确的个数有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二．填空题
11．若点A（﹣2，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则当函数值y≥﹣2时，自变量x的取值范围是　 　．
12．若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y＝的图象上的点，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是　 　．
13．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为　 　．

14．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为　 　．

15．如图，是反比例函数y＝和y＝（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为　 　．

16．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm）…10
15
20
25　　30…
y（N）…30
20
15
12　　10…
猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式为　 　．

17．如图所示，点A1、A2、A3在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3，分别过点A1、A2、A3作y轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点B1、B2、B3，分别过点B1、B2、B3作x轴的平行线，分别与y轴交于点C1、C2、C3，连接OB1、OB2、OB3，若图中三个阴影部分的面积之和为，则k＝　 　．

三．解答题
18．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．

19．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线y＝的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有　 　小时；
（2）当x＝15时，大棚内的温度约为多少度？

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，点A、B是双曲线y＝（k为正整数）与直线AB的交点，且A、B两点的横坐标是关于x的方程：x2+kx﹣k﹣1＝0的两根
（1）填表：
K
1
2
3
…
n（n为正整数）
A点的横坐标
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
B点的横坐标
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
（2）当k＝n（n为正整数）时，试求直线AB的解析式（用含n的式子表示）；
（3）当k＝1、2、3、…n时，△ABO的面积，依次记为S1、S2、S3…Sn，当Sn＝40时，求双曲线y＝的解析式．

22．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）求三角形DOE的面积；
（3）若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．

23．小明家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）当0≤x≤8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
（2）求图中t的值；
（3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？

24．如图1，已知双曲线与直线y2＝k'x交于A，B两点，点A在第一象限．试解答下列问题：
（1）若点A的坐标为（4，2），则点B的坐标为　 　； 当x满足：　 　时，y1＞y2；
（2）过原点O作另一条直线l，交双曲线于P，Q两点，点P在第一象限，如图2所示．
①四边形APBQ一定是　 　；
②若点A的坐标为（3，1），点P的横坐标为1，求四边形APBQ的面积．


参考答案
一．选择题
1．解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3，
∴xy＝﹣3，
A、∵1×（﹣3）＝﹣3，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵（﹣1）×3＝﹣3，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、∵（﹣1）×（﹣3）＝3≠﹣3，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、∵（﹣2）×＝﹣3，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
2．解：∵y是关于x的反比例函数，
∴k＝xy，
∵（x1，y1）和（x2，y2）是该函数图象上的两点，
∴x1y1＝x2y2，
故选：A．
3．解：∵反比例函数的图象的一支在第二象限，
∴k＜0，
∵AB⊥x轴，垂足为B，△ABO的面积为3，
∴|k|＝2×3＝6，
∴k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．
故选：A．
4．解：对于一次函数y＝x﹣1，
令y＝0，求出x＝2，即B（2，0），
∵CB⊥x轴，
∴C点的横坐标为2，
∴C点坐标为（2，）．
过A作AD⊥BC，
∵AC＝AB，AD⊥BC，
∴DC＝DB，
∴D点坐标为（2，），
∴A点的纵坐标为，
而点A在函数y＝的图象上，
∴点A的坐标为（4，），
∴把A的坐标代入一次函数解析式，得
＝×4﹣1＝1，
解得，k＝4．
故选：C．

5．解：将（1，y1）和（2，y2）分别代入解析式的得，
y1＝＝6，y2＝＝3，
∴y1＞y2．
故选：A．
6．解：∵P是反比例函数的图象的任意点，过点P分别做两坐标轴的垂线，
∴与坐标轴构成矩形OAPB的面积＝6．
∴阴影部分的面积＝×矩形OAPB的面积＝3．
故选：C．
7．解：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F．
则AE∥MN，
∴△AOE∽△NOM，
∴＝＝，即AE＝MN，OE＝OM，
同理：NF＝MN，MF＝MN，
设N的坐标是（a，b），则A的坐标是（a，b），
代入y＝得：k＝ab，
在y＝中，令x＝a，则y＝，故B的坐标是：（a，b），即BM＝，NB＝b﹣＝．
∴S△OBM＝OM•BM＝a•＝，
S△ABN＝BN•AF＝××a＝，
又∵S△OMN＝ab，
∴S△OAB＝ab﹣﹣＝ab＝，
∴ab＝．
∴k＝×＝6．
故选：C．

8．解：设A（x，y），
∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∴B（﹣x，﹣y），
∵AM⊥x轴，
∴S△ABM＝y•2x＝3，解得xy＝3，
∴k＝xy＝3．
故选：A．
9．解：∵A、B、C、D、E是反比例函数y＝（x＞0）图象上五个整数点，
∴x＝1，y＝16；
x＝2，y＝8；
x＝4，y＝4；
x＝8，y＝2；
x＝16，y＝1；
∴A、E正方形的边长为1，橄榄形的面积为：
2（﹣）＝2（）r2＝；
B、D正方形的边长为2，橄榄形的面积为：
r2＝2（π﹣2）；
C正方形中橄榄形的面积为：
r2＝8（π﹣2）；
∴这五个橄榄形的面积总和是：（π﹣2）+2×2（π﹣2）+8（π﹣2）＝13π﹣26．
故选：A．
10．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入y＝中，得x1•y1＝x2•y2＝k，
联立 ，得x2﹣bx+k＝0，
则x1•x2＝k，又x1•y1＝k，
∴x2＝y1，
同理x2•y2＝k，
可得x1＝y2，
∴ON＝OM，AM＝BN，
∴①△AOM≌△BON，故本选项正确；
②由①可知，OA＝OB，故本选项正确；
③如图1，∵直线AB与坐标轴的交点为（0，b），（b，0），
∴S△COD＝b•b＝b2，
由图可知，S五边形MABNO＜S△COD，即，故本选项正确．
④图2，作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA＝OB，∠AOB＝45°，
∵①△AOM≌△BON，故本选项正确；
∴∠MOA＝∠BON＝22.5°，
∠AOH＝∠BOH＝22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB＝S△AOH+S△BOH＝S△AOM+S△BON＝k+k＝k，故本选项错误；
⑤如图3，延长MA，NB交于G点，
∵NG＝OM＝ON＝MG，BN＝AM，
∴GB＝GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB＝时，GA＝GB＝1，
∴ON﹣BN＝GN﹣BN＝GB＝1，
∴当AB＝时，ON﹣BN＝1，故本选项正确．
正确的结论①②③⑤．
故选：B．



二．填空题（共7小题）
11．解：∵点A（﹣2，﹣2）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝，
其图象如图所示：
由函数图象可知，当函数值y≥﹣2时，x≤﹣2或x＞0．
故答案为：x≤﹣2或x＞0．

12．解：如图所示：
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．

13．解：连结OC，作CD⊥x轴于D，AE⊥x轴于E，如图，
设A点坐标为（a，），
∵A点、B点是正比例函数图象与双曲线y＝的交点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴OA＝OB
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴OC＝OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE＝90°，
∵∠DOC+∠DCO＝90°，
∴∠DCO＝∠AOE，
∵在△COD和△OAE中

∴△COD≌△OAE（AAS），
∴OD＝AE＝，CD＝OE＝a，
∴C点坐标为（﹣，a），
∵﹣•a＝﹣4，
∴点C在反比例函数y＝﹣图象上．
故答案为y＝﹣（x＜0）．

14．解：连结OA、CA，如图，
则S△OAD＝|k|＝×6＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴S△CAD＝S△OAD＝3，
∴▱ABCD的面积＝2S△CAD＝6．
故答案为6．

15．解：设A（a，b），B（c，d），
代入得：k1＝ab，k2＝cd，
∵S△AOB＝2，
∴cd﹣ab＝2，
∴cd﹣ab＝4，
∴k2﹣k1＝4，
故答案为：4．
16．解：由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y＝（k≠0），
把x＝10，y＝30代入得：k＝300
∴y＝，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y＝．
故答案为：y＝．
17．解：根据题意可知，S△OB1C1＝S△OB2C2＝S△OB3C3＝|k|＝k，
∵OA1＝A1A2＝A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为s1，s2，s3
则s1＝k，
∵OA1＝A1A2＝A2A3，
∴s2：S△OB2C2＝1：4，s3：S△OB3C3＝1：9，
∴s2＝k，s3＝k，
∴k+k+k＝，
解得k＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共7小题）
18．解：∵B（2，﹣4）在反比例函数y＝的图象上，
∴m＝﹣8，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
则n＝2，
由题意得，，
解得，，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）当﹣x﹣2＝0时，x＝﹣2，
∴点C的坐标为：（﹣2，0），
△AOB的面积＝△AOC的面积+△COB的面积＝×2×2+×2×4＝6；
（3）由图象可知，当﹣4＜x＜0或x＞2时，kx+b＜，
∴kx+b﹣＜0的解集为：﹣4＜x＜0或x＞2．
19．解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10﹣2＝8小时．
故答案为：8．
（2）∵点B（10，18）在双曲线y＝上，
∴18＝，
∴解得：k＝180．
当x＝15时，y＝＝12，
所以当x＝15时，大棚内的温度约为12℃．

20．解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，
∵tan∠COD＝，
∴设OC＝3x，CD＝4x，
∴OD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴OC＝3，CD＝4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；

（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC＝8，AB＝3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE＝BD•BE＝＝3；

（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP＝4，
∴P（4，0），
当∠ODP＝90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2＝OH•OP，
∴OP＝＝．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，O），（，O）．

21．解：（1）当k＝1时，方程x2+x﹣2＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣2；
当k＝2时，方程x2+2x﹣3＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣3；
k＝3时，方程x2+3x﹣4＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣4；
k＝n时，方程x2+nx﹣n﹣1＝0的解为：x1＝1，x2＝﹣n﹣1；
∵点A在第一象限，点B在第三象限，
∴A点的横坐标依次为：1，1，1，…，1；
B点的横坐标依次为：﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；
故答案为：1，1，1，…，1；﹣2，﹣3，﹣4，…，﹣n﹣1；

（2）当k＝n（n为正整数）时，A点的横坐标为1，B点的横坐标为﹣n﹣1，
令x＝1，则y＝＝n+1；
令x＝﹣n﹣1，则y＝＝﹣1；
∴A（1，n+1），B（﹣n﹣1，﹣1），
设直线AB的解析式为y＝px+q，则
，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x+n；

（3）∵直线y＝x+n中，令x＝0，则y＝n，即直线AB与y轴交于（0，n），
∴当Sn＝40时，×n（n+1+1）＝40，
解得n＝8（负值已舍去），
∴A（1，9），
∴双曲线的解析式为：y＝．
22．解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，
∴点E的坐标为（2，1），
∵代入反比例函数解析式得＝1，解得k＝2，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵点D在边BC上，
∴点D的纵坐标为2，
∴y＝2时，＝2，
解得x＝1，
∴点D的坐标为（1，2）；

（2）∵D的坐标为（1，2），B（4，2），
∴BD＝3，OC＝2．
∵点E是OB的中点，
∴S△DOE＝S△OBD＝××3×2＝；

（3）如图，设直线与x轴的交点为F，
矩形OABC的面积＝4×2＝8，
∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，
∴梯形OFDC的面积为×8＝3，
或×8＝5，
∵点D的坐标为（1，2），
∴若（1+OF）×2＝3，
解得OF＝2，
此时点F的坐标为（2，0），
若（1+OF）×2＝5，
解得OF＝4，
此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，
当D（1，2），F（2，0）时，，
解得，
此时，直线解析式为y＝﹣2x+4，
当D（1，2），F（4，0）时，，
解得．
此时，直线解析式为y＝﹣x+，
综上所述，直线的解析式为y＝﹣2x+4或y＝﹣x+．

23．解：（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；

（2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝，
依据题意，得：100＝，
即m＝800，
故y＝，
当y＝20时，20＝，
解得：t＝40；

（3）∵45﹣40＝5≤8，
∴当x＝5时，y＝10×5+20＝70，
答：小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为70℃．
24．解：（1）由A和B为反比例函数与一次函数的交点，
得到A和B关于原点对称，
∵A（4，2），
∴B（﹣4，﹣2）．
由图象可得：当﹣4≤x＜0或x≥4时，y1≤y2．
故答案为：（﹣4，﹣2），﹣4≤x＜0或x≥4；

（2）①∵OP＝OQ，OA＝OB，
∴四边形APBQ为平行四边形；
②过A作AM⊥x轴，过P作PN⊥x轴，如图所示：
由A（3，1）在反比例函数图象上，得到反比例解析式为y＝，
∵P的横坐标为1，P在反比例函数图象上，
∴将x＝1代入反比例解析式得：y＝3，即P（1，3），
∴AM＝1，OM＝3，PN＝3，ON＝1，MN＝OM﹣ON＝2，
则S△AOP＝S四边形OPAM﹣S△AOM＝S△PON+S梯形AMNP﹣S△AOM
＝PN•ON+（AM+PN）•MN﹣AM•OM
＝×3×1+×（1+3）×2﹣×1×3
＝4，
在△APB中，O为AB的中点，即AO＝BO，
∴S△AOP＝S△BOP，
同理S△BOQ＝S△AOQ＝S△AOP＝S△BOP，
又∵S平行四边形APBQ＝S△BOQ+S△AOQ+S△AOP+S△BOP，
∴S平行四边形APBQ＝4S△AOP＝16．
故答案为：平行四边形．