【期中复习】（高教版2021）中职高中数学单元复习 第4章 三角函数（知识考点）
展开
知识点一：角的概念的推广
1．任意角
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
2．角的分类
①正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
②负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
③零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.
3．象限角
①定义：在直角坐标系中,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合.那么,角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角.
如果角的终边在坐标轴上,那么就认为这个角不属于任何一个象限.
②象限角的常用表示：
第一象限角 | |
第二象限角 | |
第三象限角 | 或 |
第四象限角 | 或 |
4．轴线角
①定义：轴线角是指以原点为顶点，轴非负半轴为始边，终边落在坐标轴上的角.
②轴线角的表示：
终边落在轴非负半轴 | |
终边落在轴非负半轴 | |
终边落在轴非正半轴 | 或 |
终边落在轴非正半轴 | 或 |
终边落在轴 | |
终边落在轴 | 或 |
终边落在坐标轴 |
5．终边相同的角的集合：所有与角终边相同的角连同在内可表示为.
知识点二：弧度制
1．弧度制概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
2．角度与弧度的换算
弧度与角度互换公式： ， ，
3．常用的角度与弧度对应表
角度制 | |||||||||
弧制度 |
|
|
4．扇形中的弧长公式和面积公式
①弧长公式：(是圆心角的弧度数)，②扇形面积公式：.
知识点三：任意角的三角函数
1．任意角的三角函数的定义
条件 | 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) | |
定义 | 正弦 | 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α |
余弦 | 点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α | |
正切 | 点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0) | |
三角函数 | 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠＋kπ，k∈Z |
2．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
知识点四：同角三角函数的基本关系
| 关系式 | 文字表述 |
平方关系 | sin2α＋cos2α＝1 | 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 |
商数关系 | ＝tan α | 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 |
知识点五：诱导公式
sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z. |
| 终边关系 | 图示 | 公式 |
公式二 | 角π＋α与角α的终边关于原点对称 | sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α | |
公式三 | 角－α与角α的终边关于x轴对称 | sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α | |
公式四 | 角π－α与角α的终边关于y轴对称 | sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α |
知识点六：正弦和余弦函数的图像和性质
1．正弦函数,的图象叫做正弦曲线，正弦图像画法（五点法）：在函数,的图象上,以下五个点：，，，，，在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
2．余弦函数,的图叫做余弦曲线，余弦图像画法（五点法）：画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
3．函数的周期性
①周期函数的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.
②最小正周期的定义
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.
4．正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质
函数 | ||
图象 定义域 |
|
|
定义域 | ||
值域 | ||
周期性 | ||
奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 |
单调性 | 在每一个闭区间()上 都单调递增;在每一个闭区间（）上都单调递减 | 在每一个闭区间 ()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
|
最值 | 当()时，; 当()时，; | 当()时，; 当()时，;
|
图象的对称性 | 对称中心为(), 对称轴为直线() | 对称中心为(), 对称轴为直线() |
考点一 角的概念的推广
1．下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同
C．小于的角是锐角 D．第一象限的角是正角
【答案】B
【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误．故选：B.
2．在0°到范围内，与终边相同的角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：因为，所以在0°到范围内与终边相同的角为，故选：B.
3．把转化为的形式是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选：．
4． 与角终边相同的最小正角是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即与角终边相同的最小正角是，故选：．
考点二 弧度制
5．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选：．
6．将时钟拨快10分钟，则分针转过的弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将分针拨快10分钟，即分针顺时针旋转圆周的，分针转过的弧度为．
7．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故，故选：.
8．将下列角度与弧度进行互化．
（1）；（2）；（3）；（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
9．已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为，若，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.
【答案】5π(cm)；25π－50(cm2)
【解析】解：设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝90°＝，R＝10，l＝×10＝5π(cm)，S弓＝S扇－S△＝×5π×10－×102＝25π－50(cm2).
考点三 任意角的三角函数
10．已知为第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为为第二象限角，所以，故ABD错误，C正确，故选：C.
11．若且是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，又由为第二象限角，所以．
故选：B.
12．坐标平面内点的坐标为，则点位于第（ ）象限.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【解析】，，则点位于第二象限，故选：B.
13．已知角的终边上一点的坐标为（其中），求角的正弦、余弦和正切值．
【答案】，，
【解析】解：角的终边上一点，则，则，，.
考点四 同角三角函数的关系、诱导公式
14．（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】；故选：B
15．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得．又，所以，．结合得，，所以，故选：B．
16．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，即，所以，
因此，故选:B.
17．已知，若是第二象限角，则的值为（ ）
A． B． C．－ D．－
【答案】C
【解析】因为是第二象限角，所以，所以，故选：C.
18．已知角的终边经过点，则的值为_______．
【答案】
【解析】 ， 是第四象限的角，，由诱导公式知： ，故答案为： .
19．已知为第三象限角，且．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)；(2)
【解析】解：（1）
（2）∵，∴，又为第三象限角，
∴
考点五 正弦和余弦函数的图像和性质
20．若函数（）图象的一条对称轴为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知（），则（），当时，，符合题意，其它都不满足题意，故选：B.
21．在上，满足的的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出和在的函数图象，根据函数图象可得满足的的取值范围为，故选：C.
22．用五点法作函数的图象.
【答案】见下图
【解析】解：列表：
x |
|
| 0 |
|
|
y=sinx | 0 | -1 | 0 | 1 | 0 |
描点，连线，画图如下：
23．函数，的图像与直线的交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】
【解析】在同一平面直角坐标系内，先画函数，的图像，再画直线，可知所求交点的个数为2．故选：C．
24．函数的值域为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，，所以，即
故答案为：.
25．求使函数取得最大值，最小值的自变量x的取值范围，并分别写出最大值，最小值.
【答案】最大值为；；最小值为，.
【解析】解：由题意，函数，当时，取得最大值1，所以函数的最大值为；当时，取得最小值 ，所以函数的最小值为.
【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第8章 概率与统计初步（知识考点）讲义： 这是一份【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第8章 概率与统计初步（知识考点）讲义，文件包含高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第8章概率与统计初步知识考点讲义原卷版docx、高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第8章概率与统计初步知识考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共22页， 欢迎下载使用。
【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第7章 简单几何体（知识考点）讲义： 这是一份【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第7章 简单几何体（知识考点）讲义，文件包含高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第7章简单几何体知识考点讲义原卷版docx、高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第7章简单几何体知识考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第6章 直线与圆的方程（知识考点）讲义： 这是一份【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第6章 直线与圆的方程（知识考点）讲义，文件包含高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第6章直线与圆的方程知识考点讲义原卷版docx、高教版2021中职高中数学单元复习基础模块下册第6章直线与圆的方程知识考点讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
