【期中复习】（高教版2021）中职高中数学单元复习 第3章 函数（知识考点）

知识点一：函数的概念

1．函数的有关概念

2．同一个函数

一般地，函数的三要素：定义域，对应关系与值域，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．

3．函数定义域的求法

当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑

(1)分母不为零；

(2)偶次根号的被开方数、式大于或等于零；

(3)零次幂的底数不为零，以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.

注意：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.

4．分段函数

(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．

(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．

(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

5．复合函数

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数．

知识点二：函数的表示方法

(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.

(2)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．   优点：直观形象，反应变化趋势.

(3)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值.

知识点三：函数的性质

1．函数的单调性

(1)增函数与减函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：

①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。

②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．

(2)函数的单调区间

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

(3)证明函数单调性的步骤

第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且；

第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系；

第四步：得出结论．

(4)常见函数的单调性

2．函数的奇偶性

(1)函数奇偶性的概念

①偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．

②奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．

(2)奇偶函数的图象与性质

①偶函数：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；偶函数必满足；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反.

②奇函数：函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称；若奇函数在处有意义，

则有；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．

(3)用定义判断函数奇偶性的步骤

第一步：求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；

第二步：求，若，则 是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数.

考点一 函数的概念

1．下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（    ）

A．     B．       C．        D．

2．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A． B． C． D．

4． 下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

5．函数在区间上的值域为（    ）

A．           B．          C．            D．

6．已知函数，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

7．已知函数为一次函数，且，则（       ）

A． B． C． D．

8．若函数的定义域为，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知，求的解析式．

考点二 函数的表示方法

10．某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一次性投资万；方案为第一年投资万，以后每年投资万.下列不等式表示“经过年之后，方案的投入不少于方案的投入”的是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知是反比例函数，且，则的解析式为（       ）

A． B．

C． D．

12．若函数和分别由下表给出，则不等式的解集为（       ）

A． B． C． D．

13．设为一次函数，且．若，则的解析式为（    ）

A．或 B．

C． D．

考点三 函数的性质

14．已知函数，则的单调增区间是（    ）

A．和 B．

C．和 D．

15．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（       ）

A．        B．       C．       D．

16．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

17．已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.

18．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

19．已知偶函数在区间上单调递增，则下列关系式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

20．利用单调性的定义，证明函数在上是减函数．

21．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则______________．

22．已知，且，则（    ）

A．          B．          C．           D．

23．定义在上的奇函数在上是减函数，若，则实数的取值范围为            .

24．定义在R上的偶函数和奇函数满足，求函数的解析式．

25．已知函数

（1）判断的奇偶性并说明理由；

（2）判断在上的单调性并加以证明.