【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第15讲 填数游戏 人教版（含答案）

第十五讲  填数游戏

第一部分：趣味数学

 有多少只鸭？

分析：鸭子的一半下了水，一半的一半在岸边准备下水，剩下的35只鸭正在草地上找吃的。剩下的35只就是准备下水的鸭子的只数，列式是35×2=70（只），这70只正好是鸭子总只数的一半，然后再乘2就是一共有多少只鸭子了。

答案：35×2×2=140（只）

第二部分：奥数小练

一、知识要点

小朋友都喜爱做游戏。填数游戏不但非常有趣，而且能促使你积极地思考问题、分析问题、发展能力。但有时也有一定的难度，不过，只要你掌握了填写方法，填起来就很轻松了。

填数时，要仔细观察图形，确定图形中关键的位置应填几，一般是图形的顶点及中间位置。另外，要将所填的空与所提供的数字联系起来，一般要先计算所填数的总和与所提供数字的和之差，从而确定关键位置应填几。关键位置的数确定好了，其他问题就迎刃而解了。

二、精讲精练

【例题1】 在下图中分别填入1——9，使两条直线上五个数的和相等，和是多少呢？

【思路导航】我们可以这样想，把1——9中间的5填到中心的○内，剩下八个数，一大一小，搭配成和都是10的四组，

这样两条直线上五个数的和都是5＋10×2=25。

如果把1填在中心的○内，这样剩下的八个数可以一大一小搭配成和都是11的四组，这时两条直线上五个数的和是1＋11×2=23。

想想：两条直线上五个数的和还可以是多少？

练习1：

1.在下图（左下）中填入2——10，使横行、竖行中的五个数的和相同。和是多少呢？

2.把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图（中上图）中7朵花里，使每条直线上三个数的和相等。

3.把6、8、10、12、14、16、18七个数填在右上图的○中，使每排三个数及外圆上三个数的和都是32。

【例题2】 把数字1——8分别填入上图的小圆圈内，使每个五边形上5个数的和都等于20。

【思路导航】题目中所给8个数字的和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36，题中要使每个五边形上五个数的和等于20，那么两个五边形上数字的总和是20×2=40。两个五边形上的数字总和比8个数的和多40－36=4，多4的原因是图中中间两个圆圈的数字算了两次，多算了一次。1——8中只有1和3的和为4，所以先确定关键的中间两个圆圈中，一个填1.一个填3。20－（1＋3）=16，16可以分成2＋6＋8和4＋5＋7，所以本题应该这样填：

练习2：

1.将数字1——6填入下图（左下）中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是15。

2.把5、6、7、8、9、10这六个数填入右上图三角形三条边的○内，使得每条边上的三个数的和是21。

3.把1——8这八个数，分别填入下图的各个□内，使得每一横行、每一竖行的三个数的和是13。

【例题3】 在图中填入2——9，使每边3个数的和等于15。

【思路导航】解这题的关键是填出图中的4个顶点，因为求和时这4个顶点各算了两次，多算了一次，所以4边数的和是15×4=60，所给的数的和是2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=44，所以4个顶点数的和是60－44=16。我们可选出3＋7＋4＋2=16填入4个顶点。  

想一想，有没有其他填法？

.练习3：

1.把1——8填入下图（下左）中，使每边3个数的和等于13。

2.将1——9这九个数填入中上图中，使三角形每条边上四个数的和等于17，且有一个顶点的数字为1。

3.把1——10这十个数填入右上图中，使每个正方形顶点圆圈内四个数之和都相等，而且最大。这个和是多少？

【例题4】 把1——8填入下图○内，使每边上三个数的和最大。求最大的和是多少？

【思路导航】要使每边上三个数之和最大，容易想到把8、7、6、5填在四角，因为四个角上的数在求和时各用了两次，其他数各用了一次。由此我们可以列出求和的算式为：

[（8＋7＋6＋5）×2＋4＋3＋2＋1]÷4=62÷4

和不是整数，说明四条边上的总和要减少2才行，这只要将填在角上的5换成3即可。所以，最大的和为：（62－2）÷4=15

.练习4：

1.把3——10填入下图（左下）○中，使每边上三个数的和相等且最大，求最大的和是多少？

2.把1——8填入中上图○中，使每边上三个数的和最小。最小的和是多少？

 3.将数字1——8填入右上图中，使横行□中的数之和等于竖行□中的数之和，这个和可以是多少？

【例题5】 在下图（左下）各圆空余部分填上3、5、7、8，使每个圆的4个数的和

都是21。

【思路导航】这题的关键是找出中间部分填什么，因为所给的3个数都是双数，恰好每个圆内有两个双数，它们的和也是双数，再填入两个数后，使每个圆的4个数的和是21.21是单数，也就是每个圆内填入的两个数的和为单数，而3、5、7、8中3、5、7都是单数，要使和为单数，8要填入中间部分，如右上图。

练习5：

1.在图（左下图）中各圆的空余部分分别填上1、2、4、6，使每个圆中4个数的和是15。

2.在图（中上图）中各圆空余部分分别填上4、5、7、9，使每个圆中4个数的和是27。

3.在图（右上图）中各圆空余部分分别填上6、8、10、11，使每个圆中4个数的和是33。

第三部分：数学史话

分数的雏形

    分数起源于“分”。一块土地平均分成三份，其中一份便是三分之一。三分之一是一种说法，用专门符号写下来便成了分数，分数的概念正是在人们处理这类问题的长期经验中形成的。

破碎的数——分数的起源（一）

在拉丁文里，分数来源于“破碎”一词，因此分数也曾被人叫做“破碎数”。

在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载。然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意冷，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。一直到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。

　　一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。

在西方，分数理论的发展出奇地缓慢。直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在＋＋＋时，还用分母的乘积8000作为公分母！

　　而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。我国现在尚能见到最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。

苏联数学史专家鲍尔加尔斯基公正地评价说：“从这个简短的论述中可以得出结论：在人类文化发展的初期，中国的数学远远领先于世界其他各国。”

分数之“根”——分数的起源（二）

在日常生活中进行测量、分物体的时候，往往不能正好得到整数，这时就常用分数来表示。你知道分数是怎么产生的吗？

分数的产生经历了一个漫长的过程。在原始社会,人们集体劳动要平均分配果实和猎物,逐渐有了分数的概念。在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中,当所用的长度单位不能量尽所量线段时,便产生了分数。人类在生产劳动的长期实践活动中, 只使用了简单的分数，如二分之一用“一半”来表示,四分之一是用“一半的一半”来表示,经过了相当长的一段时间后,才出现了诸如二分之一、三分之二等分数。

大约在2000年前，古希腊人已经开始用分子和分母表示分数。分数在我国很早就有了，它是在用算筹做除法运算的基础上产生的。当除不尽时，把余数作为分子，除数作为分母，就产生了一个分子在上，分母在下的分数筹算形式。

继中国的筹算分数之后，又过了五六百年的时间，印度才出现了有关分数理论的论述。印度人记录分数的形式与我国古代的筹算分数是一样的，只不过使用的是阿拉伯数字。再往后，阿拉伯人发明了分数线，分数的表示方法就成为现在这样了。

200多年前，瑞士数学家欧拉在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成3等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它。如果我们把它分成3等份，每份是米。像就是一种新的数，我们把它叫做分数。

为什么叫它分数呢？分数这个名称直观而生动地表示这种数的特征。例如，1个西瓜4个人平均分，不把它分成相等的4块行吗？从这个例子就可以看出，分数是度量和数学本身的需要——除法运算的需要而产生的。

中国使用分数比其他国家要早出一千多年，所以说中国有着悠久的历史，灿烂的文化。大约在十二世纪后期在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子、分母隔开来，这可以说是世界上最早的分数线，十三世纪初，意大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数学， 也把分数的记法介绍到了欧洲。

综上所述，分数是在实际度量和均分中产生的。

参考答案：

练习一：

1．横着的数是4、5、6、7、8，竖着数是2、3、6、9、10，和是30。

2. 中间的圆圈是10，上边两个依次是1、4；下边两个是16、19,；左边是7；右边是13。

3．中间数是：

[32×3-（6+8+10+12+14+16+18）] ÷2=6

8+18+6=32

10+16+6=32

14+12+6=32

也就是上边的三个数是8、18、6；左边的三个数是14、12、6；右边的三个数是10、16、6。

练习二：

1.上边三个小圆圈里的数是1、3、4；下边三个小圆圈里的数是5、6、2；所以第一个大圆圈中数的和是1+5+3+6=15；第二个大圆圈中数的和 3+6+2+4=15。

2.5+6+7+8+9+10=45

  21×3-45=18

所以三个顶点分别填5、6、7

21-5-6=10

21-5-7=9

21-6-7=8

三角形左边的三个数是5、10、6；右边的三个数是5、9、7；下边的三个数是6、8、7。第一个表格：横着的三个数是2、3、8；竖着的三个数是4、3、6；第二个表格中的三个数是1、5、7。

练习三：

1.横着第一行方框里的数从左到右依次是1、7、5；第二行是8、2；第三行是4、3、6；

1+7+5=13

5+2+6=13

4+3+6=13

1+8+4=13

2. 三角形左边的小圆圈里的数从上到下依次是1、5、9、2；右边是1、6、7、3；底边从左到右依次是2、4、8、3；

1+5+9+2=17

1+6+7+3=17

2+4+8+3=17

3.横着第一行小圆圈里的数字从左到右依次是3、1、2；第二行是6、4、7、5；第三行是9、10、8。

6+4+3+9=22

4+7+1+10=22

7+5+2+8=22

练习四：

1. 横着第一行小圆圈里的数从左到右依次是3、7、10；第二行是8、4；第三行是9、5、6；最大的和是20。

3+7+10=20

3+8+9=20

9+5+6=20

10+4+6=20

2. 横着第一行小圆圈里的数从左到右依次是1、5、6；第二行是8、4；第三行是3、7、2；最小的和是12。

1+5+6=12

1+8+3=12

3+7+2=12

6+4+2=12

3. 横着看，方框里的数从左到右依次是1、2、8、5、6；竖着看是8、7、4、3。

1+2+8+5+6=22

8+7+4+3=22

练习五：

1.

2. 27-（6+8）=13

   在4、5、7、9中只有4+9=13

   27-（10+8）=9

所以9不能填在三个圆的重叠部分，三个圆的重叠部分只能填4。

9-4=5

27-（4+6+10）=7

3.因为出现的是数字是5、7、9，相差2，最后每个圆中4个数之和为33，所以三个圆中的数字依次相差2，所以最中间只能是11，并且5+9+11+8=33，5+7+11+10=33，9+7+11+6=33。