高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.2 集合的基本关系学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识1 集合1.2 集合的基本关系学案设计，共33页。学案主要包含了教学目标，知识清单，基础过关，经典例题，课堂达标，能力提升，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】


重点、难点


1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；


2、理解子集、真子集的概念；


3、能使用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；


4.子集与真子集的概念及关系；（重点）


5.元素和集合的属于关系与集合间的包含关系之间的区别.（难点）


学科素养


通过使用Venn图表达集合间的关系，培养数学抽象素养.


【知识清单】


1．子集


(1)阅读教材，完成下列问题．


一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的 都是集合B中的元素，即若a∈A，则


a∈B，我们就说集合A 集合B，或集合B包含集合A，这时我们说集合A是集合B的子集，记作


(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．


（2）Venn图示：当A⊆B时，用Venn图表示，如图①，图②所示．





（3）子集的性质：


①任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A；


②规定 是任何集合的子集，即∅⊆A.


2．集合相等


对于集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时 ，这时，我们就说集合A与集合B相等，记作 .


3．真子集


对于两个集合A与B，如果A⊆B，并且 ，我们就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．


【基础过关】


写出集合的所有子集．


2、已知，则求：


（1）集合A的子集的个数，并判断与集合A的关系


（2）请写出集合A的所有非空真子集














【经典例题】


题型一 集合子集个数


例1、已知集合，则集合A的子集个数为（ ）


A．4B．5C．6D．8


例2、集合的子集个数为（ ）


A．4B．6C．7D．8


例3、集合的子集中，含有元素的子集共有（ ）


A．2个B．4个C．6个D．8个


题型二 集合相等


例4、与集合M={x∈R|x2+16=0}相等的集合是（ ）


A．{–16，16}B．{–4，4}C．{x∈R|x2+6=0}D．{x∈R|x2=16}


例5、已知集合，且，则_____________.


例6、已知集合，，若，求实数，的值.








【课堂达标】


1、已知集合，，则（ ）


A．B．C．D．


2、已知集合，，则（ ）


A． B． C． D．


3、若集合，，则下列结论中正确的是（ ）


A．B．C．D．


4、下列表示正确的是（ ）


A．B．C．D．


5、设集合，，则下列关系式正确的是（ ）


A．B．C．D．


6、已知集合，，则集合与的关系是（ ）


A．B．C．D．


7、已知集合且，则的非空真子集的个数为( )


A．30B．31C．62D．63


8、（多选题）下列关系中，正确的有（）


A．B．C．D．


9、（多选题）已知集合，则有（ ）


A．B．C．D．


10、已知集合，，1，，若，则实数可以为（ ）


A．B．1


C．0D．以上选项都不对


11、含有三个实数的集合既可表示成，又可表示成{a2，a+b，0}，则a2013+b2014＝_____.


12、下列集合中：①；②；③；④；⑤；⑥，是空集的为_______（只填序号）.


13、已知集合，集合，若，则实数________.


14、设集合，集合，若，则 ．


15、指出下列集合之间的关系：


（1），；


（2），；


（3），；


（4）是等边三角形，是三角形；


（5），.











16、已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.

















【能力提升】


1．已知集合，，若，则等于（ ）


A．或3B．0或C．3D．


2．设集合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为（ ）


A．B．C．D．


3．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是


A．0B．2


C．0或2D．0或1或2


4．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）


A．B．C．D．


5．已知集合A＝{x| x2－3x ＋2＝0，x∈R} , B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{x|x＝3l＋1，l∈Z}，S＝{x|x＝6m＋1，m∈Z}之间的是( )


A．SPM B．S＝PM


C．SP＝M D．SP＝M


7．集合，则中子集的个数为（ ）


A．个B．个C．个D．个


8．若a,b为实数，集合，则（ ）


A．B．C．1D．2


9．（多选）已知，，，，则可以是（ ）


A．B．C．D．


10．（多选）若集合，则满足的集合可以是（ ）


A．B．


C．D．


11．（多选）下列选项中的两个集合相等的有（ ）


A．，


B．，


C．，


D．，


12．已知集合，，下列命题正确的是（ ）


A．不存在实数a使得B．存在实数a使得


C．当时，D.存在实数a使得


13、已知集合，集合，若，则实数_____________.


14、已知集合A={x|x2−3x−4=0}，B={x|mx+1=0}，且B⊂≠A，则实数m的值为_________．


15、已知集合，且，则实数的值为_________.


16、满足关系式的集合的个数是__________.


17、已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0







18、若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，求实数a的值.








19、已知集合,,若,求实数满足的条件.








20、已知集合，，若，求实数a的值.














21、设集合，.


（1）若，试判定集合与的关系；


（2）若，求实数的取值集合.























【参考答案】


【知识清单】


（1）任何一个元素，包含于， A⊆B


（3）空集


2．集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，A＝B


3．A≠B


【基础过关】


1、【解析】


【分析】


根据子集的定义，按照子集元素数目由少到多的顺序写出集合的所有子集即可.


【详解】


集合的所有子集有：


，，


．


【点睛】


本题主要考查的是子集的定义，要注意写子集时不重不漏，是基础题.


2、【答案】（1）8， （2），，，，，


【解析】


【分析】


（1）根据子集的概念，利用列举法可得集合A的所有子集，从而可得子集个数以及 与集合A的关系；


（2）根据非空真子集的概念，利用列举法可得答案.


【详解】


（1）的子集有，，，，，，，共8个，其中.


（2）集合A的所有非空真子集有，，，，，.


【点睛】


本题考查了子集和真子集的概念，属于基础题.


【经典例题】


例1 【答案】A


【解析】


【分析】


通过解一元二次不等式以及，可得集合A，根据集合A中元素的个数可得子集个数.


【详解】


由，得，


得，


所以，


因为，所以或，


所以，所以集合A的子集个数为.


故选：A


【点睛】


本题考查了一元二次不等式的解法，考查了根据集合中元素个数计算子集个数，属于基础题.


例2 【答案】D


【解析】


【分析】


先求出集合A，再根据集合A的元素个数即可求出集合A的子集个数.


【详解】


解：∵，


∴集合A的子集个数为个，


故选：D.


【点睛】


本题考查集合的子集的个数，属于基础题.


例3 【答案】B


【解析】


试题分析：中含有元素的子集有：，共四个，故选B.


考点：集合的子集.


例4 【答案】C


【解析】


方程x2+16=0没有实数解，即此方程的解集为∅，而{x∈R|x2+6=0}=∅，∴与集合M={x∈R|x2+16=0}相等的集合是{x∈R|x2+6=0}．故选C．


例5 【答案】


【解析】


【分析】


利用得，解出并避免集合中的元素相同即可．


【详解】


解：由已知得，解得或，


当时，，与集合中的元素的互异性矛盾，故舍去，


故答案为：．


【点睛】


本题考查集合相同，注意集合中元素的互异性，是基础题．


例6 【答案】或.


【解析】


【分析】


利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a，b的值．


【详解】


解：由已知，得（1）或.（2）


解（1）得或，


解（2）得或，


又由集合中元素的互异性


得或.


【点睛】


本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.


[课堂达标]


1、【答案】B


【解析】


【分析】


先求出集合M，再比较两个集合之间的关系即可得答案.


【详解】


解：由，得，所以集合，


因为，所以，


故选：B


【点睛】


此题考查两个集间的关系，属于基础题.


2、【答案】A


【解析】


【分析】


将集合改写为，由是偶数可得出集合与的包含关系.


【详解】


，当为整数时，为偶数，


又，因此，.


故选： A.


【点睛】


本题考查两个集合间包含关系的判断，考查推理能力，属于基础题.


3、【答案】D


【解析】


【分析】


用列举法写出集合，判断元素，集合与集合的关系即可


【详解】


由题意，


故


故选：D


【点睛】


本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题


4、【答案】A


【解析】


【分析】


由空集的定义，结合集合与集合的关系及元素与集合的关系逐一判断即可得解.


【详解】


解：对于选项A，由空集的定义可得：空集是任意集合的子集，即，即A正确，


对于选项B，，即B错误，


对于选项C，，即C错误，


对于选项D，，即D错误，


故选：A.


【点睛】


本题考查了空集的定义，重点考查了集合与集合的关系及元素与集合的关系，属基础题.


5、【答案】D


【解析】


试题分析：由，结合集合间的关系定义可知.本题答案选D.


考点：1.集合间的关系；2. 集合间关系的符号.


6、【答案】C


【解析】


【分析】


首先解方程，求出，根据元素即可判断与的关系.


【详解】


首先解方程，由 可得或（舍）


所以，可得.


故选：C.


【点睛】


本题考查了集合间关系，考查了真子集的概念，属于基础题.


7、【答案】A


【解析】


【分析】


先化简集合A，再根据非空真子集的个数与集合A的元素个数间的关系求解.


【详解】


因为集合且，


所以的非空真子集的个数为 .


故选：A


【点睛】


本题主要考查集合的基本关系，属于基础题.


8、【答案】AB


【解析】


【分析】


运用子集、真子集、属于的概念对四个选项逐一判断即可.


【详解】


选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的；


选项B: 是有理数，故是正确的；


选项C:所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的；


选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.


【点睛】


本题考查了子集关系、真子集关系的判断，考查了常见数集的识别，考查了属于关系的识别.


9、【答案】ACD


【解析】


【分析】


先化简集合,再对每一个选项分析判断得解.


【详解】


由题得集合，


由于空集是任何集合的子集，故A正确：


因为，所以CD正确，B错误.


故选：ACD.


【点睛】


本题主要考查集合的化简，考查集合的元素与集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.


10、【答案】ABC


【解析】


【分析】


由子集定义得或或，从而不存在，，，由此能求出实数．


【详解】


解：集合，，1，，，


或或，


不存在，，，


解得，或，或．


故选：ABC．


【点睛】


本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．


11、【答案】②④⑤.


【解析】


【分析】


利用空集的概念即可求解.


【详解】


①中有元素0，③中有元素，⑥中有元素，它们都不是空集；


②中元素，∴不存在任何一个元素属于集合②，②是空集；


同理，⑤也是空集；代表空集，即④是空集.


故答案为：②④⑤.


【点睛】


本题考查了空集的概念，需理解空集的定义以及符号表示，属于基础题.


12、【答案】﹣1


【解析】


【分析】


根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.


【详解】


因为{a2，a+b，0}，


显然，故，则；


此时两集合分别是，


则，解得或.


当时，不满足互异性，故舍去；


当时，满足题意.


故答案为：.


【点睛】


本题考查利用集合相等求参数值，属简单题，注意本题的细节讨论.


13、【答案】


【解析】


【分析】


利用集合的包含关系可得，解方程即可求解.


【详解】


集合，集合，


∵，∴，∴.


故答案为：


【点睛】


本题考查了根据集合的包含关系求参数值，属于基础题


14、【答案】1


【解析】


试题分析：由题意，所以．


考点：集合间的关系．


15、【答案】（1）；（2）无包含关系；（3）；（4）；（5）.


【解析】


【分析】


根据集合的关系依次判断即可.


【详解】


（1）因为，所以；


（2）由于集合为数集，集合为点集，故无包含关系；


（3）根据题意均表示偶数，故；


（4）由于等边三角形是三角形中的特殊三角形，故；


（5）由于，故.


【点睛】


本题考查集合的关系，是基础题.


16、【答案】{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}


【解析】


【分析】


根据子集与真子集的定义，即可求解.


【详解】


由题意可以确定集合M必含有元素1，2，


且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：


含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；


含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；


含有5个元素：{1，2，3，4，5}.


故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，


{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.


【点睛】


本题考查集合间的关系，属于基础题.


【能力提升】


1．C


【解析】


【分析】


根据两个集合相等的概念列方程，利用集合元素的互异性确定正确选项.


【详解】


由于，故，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.


故选C.


【点睛】


本小题主要考查集合相等的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.


2．D


【解析】


【分析】


先分别求出集合A和B，由此能求出结果．


【详解】


∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选D．


【点睛】


本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．


3．C


【解析】


【分析】


根据集合包含关系，确定实数m的值.


【详解】


∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B⊆A，∴m=0或m=2


∴实数m的值是0或2．故选C．


【点睛】


本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力.


4．C


【解析】


【分析】


先求得集合，再结合集合子集概念，即可求解.


【详解】


由题意，集合，，


因为，所以，即实数的取值范围是.


故选：C.


【点睛】


本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的包含关系的应用，其中解答中熟记集合的子集的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.


5．D [A＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1，2))，B＝{x|0

因为A⊆C⊆B，所以集合C必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，4))的子集个数，即有22＝4个．故选D.


6．C [因为M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}＝{x|x＝3(k－1)＋1，k∈Z}⊆P，


P＝{x|x＝3l＋1，l∈Z}＝{x|x＝3(l＋1)－2，l∈Z}⊆M，所以M＝P.


因为S＝ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x＝6m＋1，m∈Z))＝{x|x＝3×2m＋1，m∈Z}⊆P，又4∈P，但4S，


所以SP.


综上，SP＝M.


7．D


【解析】


【分析】


【详解】


，，即子集的个数为，选D.


8．B


【解析】


【分析】


根据集合相等的条件建立关系式即可求出a,b的值，进而可求得的值.


【详解】


∵，又，，


，


当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去；


当时，，符合题意.


∴.


故选：B


【点睛】


本题考查集合相等的条件，集合的构成元素，属于基础题.


9．AC


【解析】


【分析】


推导出，，由此能求出结果．


【详解】


∵，，，，





∴结合选项可知A，C均满足题意.


【点睛】


本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．


10．AB


【解析】


【分析】


由题意得中的元素都不小于1，由此能求出满足条件的集合．


【详解】


因为集合，且，所以集合可以是集合，也可以是，故选AB.


【点睛】


本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集的性质的合理运用．


11．AC


【解析】


【分析】


根据集合相等的定义，分别对选项进行判断。


【详解】


选项A中集合，都表示所有偶数组成的集合，所以；


选项B中是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，，所以；


选项C中，当为奇数时，当为偶数时，，所以，；


选项D中集合表示直线上点的横坐标构成的集合，而集合表示直线上点的坐标构成的集合，所以.


故选AC.


【点睛】


本题考查了集合的相等问题，牢记定义是解题的关键，本题是一道基础题．


12．AE


【解析】


【分析】


一一分析每个选项中集合之间的关系得出集合中元素范围的大小相等与不等关系，进而求解即可得出答案.


【详解】


A选项由相等集合的概念可得解得且，得此方程组无解，故不存在实数使得集合A=B，因此A正确；


B选项由，得即，此不等式组无解，因此B错误；


C选项当时，得为空集，不满足，因此C错误；


D存在实数使得，因此D正确.


综上AD选项正确.


故选：AD.


【点睛】


本题考查了集合关系的判断与确定，属于一般难度的题.


13、【答案】


【解析】


【分析】


根据题意，若，必有，解之可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．


【详解】


解：由，，


∴．解得，


验证可得符合集合元素的互异性，


故答案为：．


【点睛】


本题考查元素的互异性以及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．


14、【答案】−14或0或1


【解析】


【分析】


解方程得A={−1,4}，因为B⊂≠A，所以B=∅，B={−1}，B={4}，分别解得m的值


【详解】


由题，A={−1,4}，因为B⊂≠A，所以当B=∅时，mx+1=0无解，m=0；当B={−1}时，m=1；当B={4}时，m=−14，综上所述，m的值为−14或0或1


【点睛】


由集合间的关系求参数时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用


15、【答案】


【解析】


【分析】


根据题意可知，，根据元素的互异性可知，求解即可.


【详解】


若使得成立，则需，即或


故答案为：


【点睛】


本题考查集合之间的关系，属于容易题.


16、【答案】4


【解析】


【分析】


列举出满足题意的集合A即得解.


【详解】


由题得满足关系式的集合A有：.


所以集合A的个数为4.


故答案为4


【点睛】


本题主要考查集合的关系和集合个数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.


17、答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．


【解析】


【分析】


首先求得集合A,B，然后求解集合C即可.


【详解】


先用列举法表示集合A，B.


由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．


由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．


【点睛】


本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.


18、【答案】a的值为0或1.


【解析】


【分析】


根据集合的子集的定义进行求解即可.


【详解】


当B＝∅时，则有a＝0，满足B⊆A；


当B≠∅时，则有a≠0，所以有B＝，又B⊆A，∴2≤≤3，


又a∈Z，∴a＝1.


综上知a的值为0或1.


【点睛】


本题考查了已知集合之间的关系求参数取值问题，考查了子集的定义，属于基础题.


19、【答案】


【解析】


【分析】


由题意可得或或,然后利用一元二次方程的判别式及根与系数的关系列式求解实数的取值范围.


【详解】


解：∵,且,可得：


（1）当时,,


由此可知:是方程的两根,


由根与系数的关系,有,此方程无解.


（2）当时,


①,即,或,


,解得或,此时,,


∴,符合题意,即符合题意;


②,则,解得.


综上所述:实数的取值范围为:.


【点睛】


本题考查集合的包含关系判断及应用,考查了分类讨论的数学思想方法,是中档题题


20、【答案】实数a的值为


【解析】


【分析】


先解出集合，再根据包含关系即可求出实数a的值．


【详解】


解：显然集合，对于集合.


当时，，满足；


当时，集合，而，则或，得或.


综上：实数a的值为．


【点睛】


本题主要考查利用集合的包含关系求参数的值，属于基础题．


21、【答案】（1）是的真子集；（2）.


【解析】


【分析】


（1）算出、后可判断是真子集.


（2）就、分类讨论即可.


【详解】


（1），是真子集


（2）当时，满足，此时；


当时，集合，又，得或，解得或


综上，实数的取值集合为.


【点睛】


本题主要考查集合间的包含关系，此类问题属于基础题，注意讨论含参数的集合之间的包含关系时要优先考虑空集（或全集）的情形.