高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系同步训练题

集合的基本关系

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知集合A＝，则含有元素0的A的子集个数是(　　)

A．2   B．4 

C．6   D．8

D　[含有元素0的A的子集个数与集合的子集个数相等，故选D.]

2．已知＝，则实数m等于(　　)

A．2   B．－1 

C．2或－1   D．4

C　[由已知得，m2－m＝2，解得m＝2或－1，经检验符合题意．故选C.]

3. 下列各式：①1⊆，②∈，③⊆，④∅⊆，⑤＝，其中错误的个数是

(　　)

A．1   B．2 

C．3   D．4

B　[只有①②错误，故选B.]

4．如果A＝{ x∈R|x>－1}，那么(　　)

A．0⊆A   B. {0}∈A

C．∅∈A   D. {0}⊆A

[答案]　D

5．已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为(　　)

A．1   B．2 

C．4   D．不确定

C　[因为Δ＝9－4＝4a2＋1>0，所以M有且仅有两个元素，所以M有4个子集．]

二、填空题

6．集合的子集的个数是________，真子集个数是________．

[答案]　8　7

7．已知A＝{x|x＝2n，n∈Z)}，B＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}，则集合A，B的关系是________．

[答案]　相等

8．已知集合{3，4}⊆{－1，3，m }，则实数m的值是________．

4　[由已知，得m∈{3，4}，且m≠3，所以m＝4.]

三、解答题

9．判断下列集合间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；

(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；

(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；

(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．

[解]　(1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.

(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.

(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，

B＝{x|2x－5≥0}＝，

所以利用数轴判断A，B的关系．

如图所示，AB.

(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.

10．已知a∈R，x∈R，A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}，求：

(1)当A＝{2,3,4}时，x的值；

(2)当2∈B，BA时，a，x的值；

(3)当B＝C时，a，x的值．

[解]　(1)因为A＝{2,3,4}，所以x2－5x＋9＝3，所以x2－5x＋6＝0，

解得x＝2或x＝3.

(2)因为2∈B且BA，

所以

解得或均符合题意．

所以a＝－，x＝2或a＝－，x＝3.

(3)因为B＝C，

所以

①－②并整理得a＝x－5，   ③

③代入①并化简得x2－2x－3＝0，

所以x＝3或x＝－1.

所以a＝－2或a＝－6.

经检验，a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1均符合题意．

所以a＝－2，x＝3或a＝－6，x＝－1.

11．(多选)已知A⊆B，A⊆C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，则集合A可以是

(　　)

A．{1,8}   B．{2,3} 

C．{1}   D．{2}

AC　[∵A⊆B，A⊆C，B＝{2,0,1,8}，C＝{1,9,3,8}，∴集合A中一定含有集合B，C的公共元素，结合选项可知AC满足题意．]

12．(多选)已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是

(　　)

A．1   B．－1 

C．0   D．2

ABC　[由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q⊆P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0,1或－1.]

13．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．

{a|a<1或a>3}　[∵B⊆A，

∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．

①当B≠∅时，

∵B⊆A，

∴或成立，

解得a>3；

②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．]

14．已知集合A＝{x| x2－3x ＋2＝0，x∈R} , B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________，满足条件A⊆CB的集合C的个数为________．

4　3　[A＝{1，2}，B＝{x|0<x<5，x∈N}＝{1,2,3,4}．

因为A⊆C⊆B，所以集合C必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{3，4}的子集个数，即有22＝4个，满足A⊆CB有3个．]

15．已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．

[解]　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，

∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)·[x－(a－1)]＝0}，

∴1∈B.

又BA，

∴a－1＝1，即a＝2.

∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，

∴C＝∅或{1}或{2}或{1,2}．

当C＝{1,2}时，b＝3；

当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2，此时x＝±，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；

当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，

即－2<b<2.

综上可知，存在a＝2，b＝3或－2<b<2满足要求.