2021届浙江省“山水联盟”高三上学期开学考试数学（试题+解析）【高斯课堂】
展开2020学年第一学期“山水联盟”开学考试
高三年级数学学科试题
参考公式：
台体的体积公式
其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高
柱体的体积公式
其中表示柱体的底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式
其中表示锥体的底面积，表示锥体的高
球的表面积公式：，球的体积公式：
其中表示球的半径
选择题部分
一、选择题
1．集合，集合，则集合（ ）
A． B．
C． D．
2．欧拉恒等式被称为数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式的特例．欧拉公式：（为虚数单位，为自然对数的底数，自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第象限______象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．若实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．1 B．1 C． D．2
4．函数在区间的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积（单位：）是（ ）
A．4 B． C． D．6
6．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，则“双曲线的离心率”是“双曲线的渐近线方程为”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆台的侧面积（单位：）为2元，且它的侧面展开图是一个半圆环（如图所示），则圆台的下底面积与上底面积之差为（ ）
A． B． C． D．
9．疫情期间，某村有3个路口，每个路口需要2个人负责检查体温．现有8名志愿者，其中4名为党员，从中抽取6人安排到这3个路口，要求每个路口至少有一名党员，则不同的安排方法有______种．
A．432 B．576 C．1008 D．1440
10．已知数列满足：，且，则下列说法错误的是（ ）
A．存在，使得为等差数列 B．当时，
C．当时， D．当时，是等比数列
非选择题部分
二、填空题
11．已知函数，则______；若，则______．
12．设，则______；______．
13．如图，三角形中，是边上的一点，若，且，则______；______．
14．如图，椭圆的左右焦点为，，以为圆心的圆过原点，且与椭圆在第一象限交于点，若过、的直线与圆相切，则直线的斜率______；椭圆的离心率______．
15．已知，，且，则的最小值为______．
16．已知向量，，向量在向量上的投影等于1，则的最小值为______．
17．若对恒成立，则实数的取值范围为______．
三、解答题
18．已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期．
（Ⅱ）求函数在上的单调增区间．
19．如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值．
20．已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）若数列的前项和是，数列满足，求证：．
21．已知抛物线：，为其焦点，点在抛物线上，且，过点作抛物线的切线，为上异于点的一个动点，过点作直线交抛物线于，两点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，求直线的斜率，并求的取值范围．
22．已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点．
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（参考数值：）
2020学年第一学期“山水联盟”开学考试
高三年级数学学科试题
命题：仙居中学
审校：桐庐中学
审核：武义第一中学
一、选择题
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
答案 | C | B | A | B | A | D | D | B | C | C |
二、填空题
11．； 12．40；242 13．3；6 14．； 15． 16． 17．
三、解答题
18．【解析】
（Ⅰ）
所以的最小正周期为
（Ⅱ）由
得，
又，得或
所以的单调增区间为：，
19．【解析】
（Ⅰ）由已知可得在直角梯形中，，，
所以，所以
又因为平面平面，平面平面
所以平面，所以
又，，所以，所以
故平面，又平面，所以
（Ⅱ）法一：由（1）得平面，所以平面平面
所以直线在平面中的射影为直线，
故即为直线与平面所成的角
中，，，，
所以，故
即直线与平面所成的角的正弦值为
法二：如图所示建立空间直角坐标系，则，，，，
设平面的一个法向量为，
，
由，
故取
又
所以
即直线与平面所成的角的正弦值为
20．【解析】
（Ⅰ）由已知，，所以是常数列，
所以，故
设的公比是，由已知得，所以
所以，故
（Ⅱ）
累加得：
所以，得证．
21．【解析】
（Ⅰ），所以，所以抛物线方程为：
（Ⅱ）设切线的方程为：代入，得
出，得，所以切线的方程为：
在直线上，所以
设直线方程为：代入，得
设，，则
且，得
又，所以，所以（由题意取负）
所以直线的斜率为；
代入，得，所以，所以
又，所以的范围为：且
22．【解析】
（1），
在上恒成立，所以在上单调递增
，
所以存在，使得
故，在单调递减，
，在单调递增
又，所以，当时，，
故由零点存在定理，在上有唯一零点，在上没有零点，
所以函数在上有唯一零点
（Ⅱ）由（1）得：在上单调递增，且，
故要证：，只要证
即证：在时恒成立
设，故，
由，所以在递减，在递增
，，
所以存在，，使得
所以在递增，递减，递增，所以
因为，故只需证明
由，所以，
由二次函数的单调性，得
综上，得证．
