浙江省名校协作体2021届高三上学期开学考试 数学（含答案）

2020学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科

　　考生注意:

1.本卷满分150分,考试时间120分钟。

2.答题前,在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、考场号、座位号及准考证号。

3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效。

4.考试结束后,只需上交答题卷。

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.若集合A={0,2},B={1,2,4},则A∪B为

A.{2} B.{2,4}     C.{0,1,2,4} D.{0,2,4}

2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,则该双曲线的离心率是

A. B. C. D.

3.已知两个不重合的平面α,β,若直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.元朝《洋明算法》记录了一首关于圆锥仓窖问题中近似快速计算粮堆体积的诗歌:

尖堆法用三十六,倚壁须分十八停.

内角聚时如九一,外角三九甚分明.

每一句表达一种形式的堆积公式,比如其中第二句的意思:粮食靠墙堆积成半圆锥体,其体积为底面半圆弧长的平方乘以高,再除以18.现有一堆靠墙的半圆锥体粮堆,其三视图如图所示,则按照古诗中的算法,其体积近似值是(取π≈3)

A.2

B.4

C.8

D.16

5.若实数x,y满足不等式组则z=x-2y的最小值是

A.-3 B.-2 C.-1 D.0

6.已知函数f(x)的局部图象如图所示,则f(x)的解析式可以是

A.f(x)=·sinx            B.f(x)=·cosx

C.f(x)=ln·sinx         D.f(x)=ln·cosx

7.若实数x,y,z满足记P=xy+yz+xz+y2,Q=x+2y+z,则P与Q的大小关系是

A.P<Q B.P>Q C.P=Q D.不确定

8.如图所示,在正三棱台ABC-A1B1C1中,AB=3AA1=A1B1=3,记侧面ABB1A1与底面ABC,侧面ABB1A1与侧面BCC1B1,以及侧面ABB1A1与截面A1BC所成的锐二面角的平面角分别为α,β,γ,则

A.γ<β=α     B.β=α<γ       C.β<α<γ     D.α<β<γ

9.已知函数f(x)=若函数y=f(x)+a恰有两个零点x1,x2,则|x1-x2|的取值范围是

A.[,+∞) B.(0,+∞)       C.(1,+∞) D.(1,]

10.已知数集S={a1,a2,a3,…,an}(1≤a1<a2<…<an,n≥2)具有性质P:对任意的i,j(1≤i≤j≤n),aiaj∈S或∈S成立,则

A.若n=3,则a1,a2,a3成等差数列

B.若n=4,则a1,a2,a3,a4成等比数列

C.若n=5,则a1,a2,a3,a4,a5成等差数列

D.若n=7,则a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7成等比数列

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.

11.已知复数z满足(1+i)z=3+i(i为虚数单位),则复数z的虚部是　　▲　　,=　　▲　　. 

12.已知直线l:y=kx,圆C:(x-1)2+(y-)2=4,若圆C上存在两点关于直线l对称,则k=　　▲　　;若直线l与圆C相交于A,B两点,且|AB|=2,则直线l的倾斜角α=　　▲　　. 

13.已知等比数列的前n项和Sn=2n-a,n∈N*,则a=　　▲　　,设数列的前n项和为Tn,若Tn>2n+λ对n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围为　　▲　　. 

14.如图所示,在平面四边形ABCD中,AC⊥CD,∠CAB=45°,AB=2,BC=3,则cos∠ACB=　　▲　　,若DC=2,则BD=　　▲　　. 

15.已知点P是椭圆+x2=1上任一点,设点P到两直线2x±y=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为　　▲　　. 

16.设a,b∈R,函数f(x)=x4-x3+ax+b在x∈[0,+∞)上的最小值为0,当a+b取到最小值时,ab=　　▲　　. 

17.若平面向量a,b满足=1,2b2+1=3a·b,则+的最大值为　　▲　　. 

三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x.

(Ⅰ)求f(x)在[0,]上的值域;

(Ⅱ)若函数g(x)=f(x+θ)-1(θ∈[-,])为奇函数,求θ的值.

19.(本小题满分15分)

如图所示,在三棱柱BCD-B1C1D1与四棱锥A-BB1D1D的组合体中,已知BB1⊥平面BCD,四边形ABCD是菱形,∠BCD=60°,AB=2,BB1=1.

(Ⅰ)设O是线段BD的中点,求证:C1O∥平面AB1D1;

(Ⅱ)求直线B1C与平面AB1D1所成角的正弦值.

20.(本小题满分15分)

已知等差数列与正项等比数列满足b1=-a2=2,且a5既是b3-a3和b1-a1的等差中项,又是其等比中项.

(Ⅰ)求数列和的通项公式;

(Ⅱ)记cn=an·bn,n∈N*,求数列的前n项和Sn,并求Sn取得最小值时n的值.

21.(本小题满分15分)

如图所示,过抛物线y2=4x的焦点F作互相垂直的直线l1,l2,l1交抛物线于A,B两点(A在x轴上方),l2交抛物线于C,D两点,交其准线于点N.

(Ⅰ)设AB的中点为M,求证:MN垂直于y轴;

(Ⅱ)若直线AN与x轴交于Q,求△AQB面积的最小值.

22.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=ln(x+2a)-a(2x-1)(a≥0).

(Ⅰ)当a=1时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;

(Ⅱ)当a>0.5时,x0是函数y=f(x)最小的零点,求证:函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减.(注:ln 3<1.1)

2020学年第一学期浙江省名校协作体试题

高三年级数学学科参考答案

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.

11.-1;　12.;0或π　13.1;λ<-2　14.;5    15.　16.-1　17.

三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.解:(Ⅰ)f(x)=2sin xcos x+2cos2x=sin 2x+cos 2x+1

=2sin(2x+)+1.......................................................................3分

∵x∈[0,],∴2x+∈[,],sin(2x+)∈[-,1],..................................................6分

∴f(x)∈[0,3].......................................................................7分

(Ⅱ)∵f(x+θ)-1=2sin(2x+2θ+),

若函数f(x+θ)-1为奇函数,即g(x)=sin(2x+2θ+)为奇函数,.....................................10分

由2θ+=kπ(k∈Z),得θ=-(k∈Z)........................................................13分

又θ∈[-,],∴θ=-或.................................................................14分

19.(Ⅰ)证明:取B1D1的中点E,连接C1E,OA,AE,易知C1E=OA且C1E∥OA,...............................3分

所以C1EAO为平行四边形,所以C1O∥EA,.....................................................6分

所以C1O∥平面AB1D1..................................................................7分

(Ⅱ)解法一:过点C作平面AB1D1的垂线,垂足为G,连接B1G(图略),则∠CB1G就是直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角.8分

又CG是点O到平面AB1D1的距离的2倍,连接EO,由B1D1⊥EC1,B1D1⊥EO,知B1D1⊥平面AEO,所以平面AEO⊥平面AB1D1,在△AEO中,作OH⊥AE,垂足为H,即OH⊥平面AB1D1.......................11分

由题可得AO=,B1C=,AE=2,在Rt△AEO中,OH==,

所以点C到平面AB1D1的距离为,..........................................................13分

所以sin∠CB1G=.....................................................................15分

解法二:以O为坐标原点,OA,OB,OE所在的直线分别为x,y,z轴,如图所示,建立空间直角坐标系O-xyz,得A(,0,0),B1(0,1,1),D1(0,-1,1),C(-,0,0),......................9分

所以=(-,1,1),=(0,2,0),=(-,-1,-1)......................................................10分

设平面AB1D的一个法向量为n=(x,y,z),则..................................................12分

得令x=1,有y=0,z=,所以n=(1,0,)........................................................13分

记α为直线B1C与平面AB1D1所成角的平面角,则sin α==.......................................15分

20.解:(Ⅰ)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q(q>0),

由题得a5=b3-a3=b1-a1,................................................................3分

解得d=3,q=2,所以an=3n-8,bn=2n.........................................................7分

(Ⅱ)cn=an·bn=(3n-8)·2n,

Sn=c1+c2+…+cn=(-5)·2+(-2)·22+…+(3n-8)·2n,①

2Sn=(-5)·22+(-2)·23+…+(3n-11)·2n+(3n-8)·2n+1,②

由①-②,得-Sn=-10+3(22+23+…+2n)-(3n-8)·2n+1=-22-(3n-11)·2n+1,

即Sn=22+(3n-11)·2n+1...............................................................12分

易知当1≤n≤3时,(3n-11)·2n+1<0;当n≥4时,(3n-11)·2n+1>0.

又S1=-10,S2=-18,S3=-10,所以当n=2时,Sn取到最小值..........................................15分

21.(Ⅰ)证明:设lAB:x=my+1(m≠0),代入y2=4x,消x得y2-4my-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=4m,y1y2=-4,..2分

所以M的纵坐标yM=2m..................................................................3分

lCD:x=-y+1,解得N(-1,2m),.............................................................5分

所以yM=yN,所以MN垂直于y轴.............................................................6分

(Ⅱ)解:可得lAN:x+1=(y-2m),令y=0,得xQ=-1=................................................7分

由y1+y2=4m,y1y2=-4,得m=-,又x1=,

所以xQ=====-x1.....................................................................10分

所以S△AQB=|QF||y1-y2|=(x1+1)|y1-y2|=(x1+1)

=2(x1+1)=2(+1)(+)=(+8y1+)............................................................12分

记f(y1)=+8y1+,则f'(y1)=3+8-==,令f'(y1)>0,

解得>,即y1>,所以f(y1)=+8y1+在(0,)上递减,在(,+∞)上递增,所以(S△AQB)min=f()=..................15分

22.(Ⅰ)解:当a=1时,f(x)=ln(x+2)-2x+1,所以f'(x)=-2,.........................................2分

且f(1)=ln 3-1,函数y=f(x)在x=1处的切线斜率k=f'(1)=-,.......................................4分

所以函数y=f(x)在x=1处的切线方程为y-(ln 3-1)=-(x-1),

即y=-x+ln 3+.......................................................................6分

(Ⅱ)证明:令f'(x)=-2a=0,解得x=-2a,

所以函数f(x)在区间(-2a,-2a]上单调递增,在区间[-2a,+∞)上单调递减,

所以f(x)max=f(-2a)=4a2+a-ln(2a)-1.

令h(a)=4a2+a-ln(2a)-1(a>),则h'(a)=8a+1->h'()>0,

所以h(a)在区间(,+∞)上单调递增,h(a)>h()=>0,.............................................8分

而当x→-2a时,f(x)→-∞,由题意,可以得到x0∈(-2a,-2a).

所以当x∈(-2a,x0)时,f(x)<0,

则g(x)=-f(x)+2x-1=(1+a)(2x-1)-ln(x+2a),

当-2a<x<x0时,g'(x)=2+2a-<2+2a-........................................................10分

要想证明函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减,只需g'(x)≤0,

故只要证明x0≤-2a.

记G(a)=f(-2a)=4a2+a--ln(2+2a),

G'(a)=8a+1--在区间(,+∞)上单调递增,所以G'(a)>G'()>0,.....................................12分

所以G(a)在区间(,+∞)上单调递增,G(a)>G()=1+--ln 3=-ln 3>0,

所以f(x0)<f(-2a),x0∈(-2a,-2a),-2a∈(-2a,-2a),

且f(x)在区间(-2a,-2a]上单调递增,所以x0<-2a,

所以函数g(x)=|f(x)|+2x-1在区间(-2a,x0)上单调递减.........................................15分

g