云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）数学（理）（含答案）
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云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（一）
理科数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合， 则MN=
A. B. (0, 1) C. D.
2.在复平面内，复数 (为复数单位)对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限. D.第四象限
3.若随机变量x～N(1, 4)，P(x≤0)=0.2, 则P(0<x<2)=
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D. 0.8
4.已知,则
A. B. C. D.
5.电影《达.芬奇密码》中，有这样一个情节:故事女主人公的祖父雅克.索尼埃为了告诉孙女一个惊天的秘密又不被他人所知，就留下了一串奇异的数字13-3-2-21-1-1-8-5,将这串数字从小到大排列，就成为1-1-2-3-5-8-13-21, 其特点是从第3个数字起，任何一个数字都是前面两个数字的和，它来自斐波那契数列，斐波那契数列与黄金分割有紧密的联系，苹果公司的logo(如图1乙和丙)就是利用半径成斐波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13)的圆切割而成，在图甲的矩形ABCD中，任取一点，则该点落在阴影部分的概率是
A. B. C. D.
6.双曲线C: 的右焦点为F(3, 0)，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离为1,则双曲线C的离心率为
A. B. C D.
7.如图2，在∆ABC中, AC=3, AB=2， ∠CAB=60°, 点D是BC边上靠近B的三等分点，
则
A. B. C. D.
8.在正项等比数列中, ,前三项的和为7,若存在使得,则的最小值为
A. B. C. D.
9.如图3,某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是
A. B. C.1 D.
10.已知函数，
则
A.2019 B.2020 C.4038 D.4040
11.设动直线x=t与曲线以及曲线分别交于P, Q两点，表示的最小值, 则下列描述正确的是
A. B.
C. D.
12.过抛物线的焦点F作抛物线的弦，与抛物线交于A, B两点，M为AB的中点,分别过A, B两点作抛物线的切线l1，l2相交于点P.，∆PAB 又常被称作阿基米德三角形.下面关于∆PAB的描述:
①P点必在抛物线的准线上; ②AP⊥PB;
③设A(x1，y1), B(x2, y2),则∆PAB的面积S的最小值为
④PF⊥AB; ⑤PM平行于x轴.
其中正确的个数是
A. 2 B.3 C.4 D.5
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)
13.设实数x, y满足,则z=x+y的最小值为_________
14.在的展开式中，则x2的系数为_____________
15.已知P是直线l: 上一动点，过点P作圆C: 的两条切线，切点分别为A、B.则四边形PACB面积的最小值为___________。
16.已知有两个半径为2的球记为O1, O2，两个半径为3的球记为O3，O4这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球O1，O2，O3，O4都相内切,则球O的半径为______。
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)
在△ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,
已知
(1)求角C;
(2)若, 且,求∆ABC的面积.
18. (本小题满分12分)
某市数学教研员为了解本市高二学生的数学学习情况，从全市高二学生中随机抽取了20名学生，对他们的某次市统测数学成绩进行统计，统计结果如图4.
(1)求x的值和数学成绩在90分以上的人数;
(2)用样本估计总体，把频率作为概率，从该市所有的中学生(人数很多)中随机选取4人,用ξ表示所选4人中成绩在110以上的人数，试写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望
19. (本小题满分12分)
如图5,在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC, A1B⊥平面ABC, AB=AC=1, AA1 =2
(1) 证明:平面AA1B⊥平面AA1C1C;
(2)求二面角B-AC1-C的正弦值.
20. (本小题满分12分)已知点P是椭圆C: 上一点，F1、 F2分别是椭圆的左、右焦点，
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A, B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和为1,问:直线l是否过定点?证明你的结论
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2) 当a>2时，若函数y=f(x)的图象与x轴交于A, B两点，设线段AB中点的横坐标为x0，证明: .
请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题。如果多做，则按所做的第一题计分.
22. (本小题满分10分) [选修4-4: 坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线C1的参数方程: ，曲线C2的普通方程: y2=8x， 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系
(1)分别求曲线C1、曲线C2的极坐标方程;
(2)射线与曲线C1、曲线C2的交点分别为P, Q(均异于O点)，C,(1, 0)，求∆PQC,的面积
23. (本小题满分10分) [选修4-5:不等式选讲]
(1)求函数的最大值m;
(2) 若a>1, b>1, c>1, a+b+c=m， 求的最小值.
云南师大附中2021届高考适应性月考卷（一）
理科数学参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | C | A | B | A | D | D | C | B | C |
【解析】
1．M是数集，N是点集，故选C．
2．，故选D．
3．随机变量x~，正态曲线的对称轴，所以，故选A．
4．，故选C．
5．，故选A．
6．双曲线右焦点，即，点F到一条渐近线的距离为b，即，∴，，故选B．
7．由题意，．所以 ，，故选A．
8．由，解得(舍负)，又由，得，所以 ，当且仅当，时，等号成立，但是m，，故，时，最小值为，故选D．
9．由题意三视图对应的几何体如图1所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即，故选D．
10．，令，则为奇函数，所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有 ，所以，故选C．
11．令，则，则存在，使得，所以在取得最小值，，在上单调递减，所以有，故选B．
12．设，，则过A，B的切线方程分别为，，联立解得，所以P点必在抛物线的准线上，且PM平行于x轴，所以①⑤正确；两条切线的斜率，所以，②正确；设AB的中点M，则PM平行于x轴，则，当轴时，取等号，所以③错误；，所以，④正确，故选C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | 2 | 6 |
【解析】
13．不等式组表示的可行域如图2所示，当x，y为直线与的交点时，的最小值为.
14．的展开式的通项公式，令，解得，所以的系数为10206．
15．圆C：的圆心为，四边形PACB的面积，所以当PC最小时，四边形PACB面积最小．代入点到直线的距离公式，，故四边形PACB面积的最小值为2．
16．如图3，由对称性知，球O的球心在中垂线MN上，设球O的半径为R，在中，由勾股定理可得在中，由勾股定理可得，
，由，联立解得．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（1）已知，
由正弦定理，，
整理得，
由余弦定理：，又，
所以． ………………………………………………………………（4分）
（2）已知，
整理得，
，
即．
①当时，为直角三角形，；
②当时，，
所以，为等边三角形，． ……………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）x的值为，
数学成绩在90分以上的人数：．
…………………………………………………………（4分）
（2）把频率作为概率，从该市所有的中学生中任取一人，
成绩在110以上的概率，
所以从该市所有的中学生（人数很多）中随机选取4人，
所选4人中成绩在110以上的人数，
随机变量的取值可能为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
P | 0.4096 | 0.4096 | 0.1536 | 0.0256 | 0.0016 |
随机变量数学期望． ……………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：如图4，
∵平面ABC，平面ABC，
∴．
又∵，∵，
∴．
又∵，
∴平面平面． ………………………………………………（4分）
（2）解：过点A作平面ABC的垂线作为z轴，AB为x轴，AC为y轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，
设平面的法向量，
则有令，，
设平面的法向量，
则有令，，
向量，所成角的余弦值：．
∴，
∴二面角的正弦值为． ……………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（1）解：由，得，
又在椭圆上，
代入椭圆方程有，解得，
所以椭圆C的标准方程为． ………………………………………（4分）
（2）证明：当直线l的斜率不存在时，，，
，解得，不符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，，，
由整理得，
，，．
由，整理得，
即．
当时，此时，直线l过P点，不符合题意；
当时， 有解，此时直线l：过定点．
……………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：函数的定义域为，
，解得(舍去)，．
当时，在上恒成立，所以函数单调递增；
当时，在上，函数单调递减，
在上，函数单调递增． ……………………………（4分）
（2）证明：由（1）知，当时，在上，函数单调递减；
在上，函数单调递增，
当时，，当时，，
而当时，，
所以函数的图象与x轴有两个交点．
设，，则有，
要证，只需证，
设，令，
则有，
，
在上单调递减，又，
所以，即，
又，则有，
而由已知，所以．
又，，函数在上单调递增，
所以，即，命题得证． ……………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（1）由曲线的参数方程(为参数)，
消参得曲线的直角坐标方程为，
由得曲线的极坐标方程为．
曲线的极坐标方程为， ………………………………（5分）
（2），
点到直线的距离，
所以． ………………………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（1）由绝对值不等式，
所以． ………………………………………………………………（5分）
（2）由（1）知：，即，所以，
由柯西不等式：
，
当且仅当，等号成立． …………………………………………（10分）
