【精品奥数】六年级上册数学思维训练讲义-第五讲 转换单位“1”（二） 人教版（含答案）

第五讲   转化单位“1”（二）

第一部分：趣味数学

牛奶与水

李林喝了一杯牛奶的，然后加满水，又喝了一杯的，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了，那么李林喝的牛奶多，还是水多？

【答案】

 一样多

第二部分：习题精讲

【例题1】甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙的和是216，甲、乙、丙各是多少？

解法一：把丙数看所单位“1”那么甲数就是丙数的×＝，

           丙：216÷（1++×）＝96

           乙：96×＝72

           甲：72×＝48

解法二：可将“乙数是丙数的”转化成“丙数是乙数的”，把乙数看作单位“1”。

           乙：216÷（+1+）＝72

           甲：72×＝48

           丙：72÷＝96

解法三：将条件“甲数是乙数的”转化为“乙数是甲数的”，再将条件“乙数是丙数的”转化为“丙数是乙数的”，以甲数为单位“1”。

甲：216÷（1++×）＝48

乙：48×＝72

丙：72×＝96

             答：甲数是48，乙数是72，丙数是96。

练习一：

下面各题怎样计算简便就怎样计算：

1.    甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三个数的和是152，甲、乙、丙三个数各是多少？
2.    梨树的棵数是苹果树的，桃树的棵数是梨树的，桃树和苹果共有220棵，梨树有多少棵？
3.    某中学的初中部三个年级中，初一的学生数是初二学生数的，初二的学生数是初三学生数的1倍，这个学校里初三的学生数占初中部学生数的几分之几？

【例题2】红、黄、蓝气球共有62只，其中红气球的等于黄气球的，蓝气球有24只，红气球和黄气球各有多少只？

解法一：将条件“红气球的等于黄气球的”转化为“黄气球的只数是红气球的（÷＝）”。先求红气球的只数，再求出黄气球的只数。

 红气球：（62－24）÷（1+÷）＝20（只）

 黄气球：62－24－20＝18（只）

解法二：将条件“红气球的等于黄气球的”转化为“红气球的只数是黄气球的（÷＝）”。先求黄气球的只数，再求出红气球的只数。

           黄气球：（62－24）÷（1+÷）＝18（只）

           红气球：62－24－18＝20（只）

                      答：红气球有20只，黄气球有18只。

练习二：

1. 甲数的等于乙数的，甲、乙两数的和是162，甲、乙两数各是多少？

2.今年8月份，甲所得的奖金比乙少200元，甲得的奖金的正好是乙得奖金的，甲、乙两人各得奖金多少元？

3.商店运来香蕉、苹果和梨子共900千克，香蕉重量的等于苹果重量的，梨子的重量是200千克。香蕉和苹果各多少千克？

【例题3】已知甲校学生数是乙校学生数的，甲校的女生数是甲校学生数的，乙校的男生数是乙校学生数的，那么两校女生总数占两校学生总数的几分之几？

解法一：把乙校学生数看作单位“1”。

           【×+（1－）】÷（1+）＝

解法二：把甲校学生数看作单位“1”

          （－×+）÷（1+）＝

        答：甲、乙两校女生总数占两校学生总数的。

练习三：

1.   在一座城市中，中学生数是居民的，大学生是中学生数的，那么占大学生总数的的理工科大学生是居民数的几分之几？
2.   某人在一次选举中，需的选票才能当选，计算的选票后，他得到的选票已达到当选票数的，他还要得到剩下选票的几分之几才能当选？
3.   某校有的学生是男生，男生的想当医生，全校想当医生的学生的是男生，那么全校女生的几分之几想当医生？

【例题4】仓库里的大米和面粉共有2000袋。大米运走，面粉运作后，仓库里剩下大米和面粉正好相等。原来大米和面粉各有多少袋？

解法一：将大米的袋数看作单位“1”

         （1－）÷（1－）＝

          2000÷（1+）＝1200（袋）

          2000－1200＝800（袋）

解法二：将面粉的袋数看作单位“1”

         （1－）÷（1－）＝

          2000÷（1+）＝800（袋）

          2000－800＝1200（袋）

                    答：大米原有1200袋，面粉原有800袋。

练习四：

1.   甲、乙两人各准备加工零件若干个，当甲完成自己的、乙完成自己的时，两人所剩零件数量相等，已知甲比乙多做了70个，甲、乙两人各准备加工多少个零件？
2.   一批水果四天卖完。第一天卖出180千克，第二天卖出余下的，第三、四天共卖出这批水果的一半，这批水果有多少千克？
3.   甲、乙两人合打一篇书稿，共有10500字。如果甲增加他的任务的20％，乙减少他的任务的20％，那么甲打的字数就是乙的2倍，问两人原来的任务各是多少？

【例题5】400名学生参加植树活动，计划每个男生植树20棵，每个女生植树

15棵。除抽出25％的男生搞卫生外，其他的同学都按计划完成了植树任务。问共植树多少棵？

解：20×（1－25％）×400

      ＝20×0.75×400

       ＝6000（棵）

                 答：共植树6000棵。

练习五：

1.   有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起是12公顷，那么，菜地有多少公顷？
2.   师徒两人加工同样多的零件，师傅要10分钟，徒弟要18分钟。两人共同加工零件168个，如果要在相同的时间内完成，两人各应加工零件多少个？
3.   有5元和2元的人民币若干张，其金额之比为15：4。如果5元人民币减少6张，则两种人民币的张数相等。求原来两种人民币的张数各是多少？

第三部分：数学史

分数的产生和计算

如同其它数学概念一样，人类最先使用的是一些个别的分数，而后才慢慢出现定义。

最早出现「分数」这个概念是在公元前1650年左右的埃及数学著作，由于是由英国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故名《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞。而在纸草书载录了单位分数（分子是 1、分母是大于1的任何整数）及其运算方法。然而真正出现为「分数」下一个完整定义的却出现在中国。大约在公元前五世纪左右，中国开始出现把两个整数相除后所得到的商看作「分数」，这种认知概念正是现在「分数」的基础。

因此「分数」的第一个由来，就是用来表示将东西等分为若干分后，选取其中的几分，而这种「分数」大多是单位分数或是真分数居多；而第二个由来便是以两数做除法所得的商，以及两数的比值。

根据第二种分数由来的概念出发，在中国古代数学名著《九章算术》的第一章《方田》中，便已经记载了比较完整的分数计算方法，包括四则运算、通分、约分、化带分数为假分数，其步骤和方法基本上和现代的算法一致。不仅如此，刘徽还对分数的基本性质作了理论上的阐述，如分子，分母同乘以一个数其值不变等。同时在这本书里头提到「又有九十一分之四十九，问约之为几何？」解法为：从91中减去49，得42；从49中减去42，得7；从42中连续减去7，到第5次时得7，这时被减数与减数相等，7就是最大的公约数。用7去约分子、分母，就得到了49/91的最简分数7/13。而现在我们常用的辗转相除法正是由这本书的算法转变而来的！然而以文字纪录运算的过程并非明智之举，符号化是数学概念发展的必经过程，一旦形成专用符号，数学概念的基本定义即可固定下来，而且其运算也能有一定的规则可循，更便于在全世界传播与交流。现今所流传的分数线是由阿拉伯-西班牙数学家阿尔‧哈萨在有关算术与代数的著作中最早出现的，后来经由斐波那契介绍给欧洲，后经德国人路多尔夫（1530）改良了书写格式。

参考答案：

练习一：

1. 丙数＝64  乙数＝48  甲数＝40          2.110千克        3.

练习二：

1. 乙数＝72  甲数＝90          

2.乙＝1400元  甲＝1200元

3. 香蕉＝400千克  苹果＝300千克

练习三：

1.        2.          3.

练习四：

1. 乙＝56个  甲＝126个  
2. 600千克   

3. 甲＝6000字   乙＝4500字

练习五：

1.18公顷  

2.徒弟＝60个     师傅＝108个 

3.2元币＝12张    5元币＝18张