2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第七章第2节　二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题

第2节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

考试要求　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知 识 梳 理

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

2.点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.

3.线性规划的有关概念

[常用结论与微点提醒]

1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.

2.判定二元一次不等式表示的区域

(1)若B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方.

(2)若B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(　　)

(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(　　)

(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(　　)

(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(　　)

解析　(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.

(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是.

答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2.(老教材必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是(　　)

解析　x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B.

答案　B

3.(老教材必修5P91练习T1(1)改编)已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是(　　)

A.3，－3    B.2，－4

C.4，－2    D.4，－4

解析　不等式组所表示的平面区域如图所示.

其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，

画直线l0：y＝－2x，平移l0过B时，zmax＝4，平移l0过点A时， zmin＝－2.

答案　C

4.(2020·合肥一中月考)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

解析　不等式组对应的平面区域如图，即对应的区域为正方形ABCD，其中A(0，1)，D(1，0)，边长AD＝，则正方形的面积S＝×＝2.

答案　B

5.(2018·北京卷)若x，y满足x＋1≤y≤2x，则2y－x的最小值是________.

解析　作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2y－x，作出直线2y－x＝0，平移该直线，当直线过点A(1，2)时，2y－x取得最小值，最小值为2×2－1＝3.

答案　3

6.已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________.

解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.

答案　－1

考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】 (1)(2019·北京西城区二模)在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是(　　)

A.   B.   C.   D.2

(2)若不等式组表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是(　　)

A.    B.(0，1]

C.    D.(0，1]∪

解析　(1)作出不等式组表示的平面区域是以点O(0，0)，B(－2，0)和A(1，)为顶点的三角形区域，如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.

(2)作出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分表示).由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)，故0<a≤1或a≥.

答案　(1)B　(2)D

规律方法　平面区域的形状问题主要有两种题型：

(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；

(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.

【训练1】 (2019·深圳二模)已知直线y＝kx－3经过不等式组所表示的平面区域，则实数k的取值范围是(　　)

A.    B.∪

C.    D.∪

解析　画出不等组所表示的平面区域，如图所示，直线y＝kx－3过定点M(0，－3)，

由解得A(－2，4)，

当直线y＝kx－3过点A时，k＝＝－；

由解得B(2，0)，

当直线y＝kx－3过点B时，k＝＝.

由图形知，实数k的取值范围是∪.

答案　B

考点二　求目标函数的最值　多维探究

角度1　求线性目标函数的最值

【例2－1】 (2019·浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值是(　　)

A.－1   B.1   C.10   D.12

解析　如图，不等式组表示的平面区域是以A(－1，1)，B(1，－1)，C(2，2)为顶点的△ABC区域(包含边界).作出直线y＝－x并平移，知当直线y＝－x＋经过C(2，2)时，z取得最大值，且zmax＝3×2＋2×2＝10.

答案　C

规律方法　求目标函数z＝ax＋by的最大值或最小值，先准确作出可行域，令目标函数z＝0，将直线ax＋by＝0平行移动，借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

角度2　求非线性目标函数的最值

【例2－2】 (2020·衡水中学六调)设x，y满足约束条件则z＝的取值范围是(　　)

A.(－∞，－8]∪[1，＋∞)   B.(－∞，－10]∪[－1，＋∞)

C.[－8，1]    D.[－10，－1]

解析　由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示(包括边界).

由题意知点A，B(3，0)，C(3，9).

而目标函数z＝＝1＋的几何意义是可行域内的点(x，y)与点(－1，0)连线的斜率与1的和，由图可知，≥0或≤－9，所以z≥1或z≤－8，即z＝的取值范围为(－∞，－8]∪[1，＋∞).故选A.

答案　A

规律方法　目标函数不是直线形式时，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有：

(1)表示点(x，y)与原点(0，0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距离；

(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.

角度3　求参数值或取值范围

【例2－3】 (2020·惠州调研)已知实数x，y满足若z＝x＋2y的最小值为－4，则实数a＝(　　)

A.1   B.2   C.4   D.8

解析　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经过点C时，z取得最小值－4，所以－a＋2·＝－4，解得a＝2.

答案　B

规律方法　当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.

【训练2】 (1)(角度1)(2019·全国Ⅱ卷)若变量x，y满足约束条件则z＝3x－y的最大值是______.

(2)(角度2)若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)

A.   B.   C.－   D.－

(3)(角度3)若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax＋y取最大值，则实数a的取值范围是(　　)

A.    B.∪

C.    D.∪

解析　(1)作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线y＝3x－z过点C时，－z最小，即z最大.

由解得

所以C点坐标为(3，0)，

故zmax＝3×3－0＝9.

(2)画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1，其几何意义是平面区域内的点(x，y)到定点(－1，0)的距离的平方再减去1.

观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－.

(3)不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当目标函数的斜率满足－<－a<，即－<a<时，z＝ax＋y仅在x＝y＝3时取得最大值，故选C.

答案　(1)9　(2)D　(3)C

考点三　实际生活中的线性规划问题

【例3】 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)

A.12万元  B.16万元

C.17万元  D.18万元

解析　设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，

可得目标函数在点A处取到最大值.

由得A(2，3).

则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).

答案　D

规律方法　1.解线性规划应用题的步骤.

(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；

(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；

(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.

2.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件，写出要研究的函数，转化成线性规划问题.

【训练3】 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)

A.31 200元    B.36 000元

C.36 800元    D.38 400元

解析　设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z元，则线性约束条件为

目标函数为z＝1 600x＋2 400y.

画出可行域如图中阴影部分所示，

可知目标函数过点N时，取得最小值，

由解得故N(5，12)，

故zmin＝1 600×5＋2 400×12＝36 800(元).

答案　C

直观想象——高考命题中线性规划问题类型探析

直观想象是指借助生动的几何直观和空间想象感知事物的形态变化与运动规律.线性规划问题是在一组约束条件下，利用数形结合求最优解，求解方法灵活，常考常新.

类型1　目标函数含参数

【例1】 设不等式组所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是______.

解析　由可行域(如图)易知直线y＝a(x＋1)过定点P(－1，0).

当直线y＝a(x＋1)经过x＋3y＝4与3x＋y＝4的交点A(1，1)时，a取得最小值；

当直线y＝a(x＋1)经过x＝0与3x＋y＝4的交点B时，

a取得最大值4.

故a的取值范围为.

答案　

思维升华　1.“目标函数”含参，使问题从“静态”化为“动态”，即对线性规则问题融入动态因素，用运动变化的观点来探究参数，此类试题旨在考查学生逆向思维及数形结合解决问题的能力.

2.当“目标函数”含参时，可先画出可行域，然后用数形结合思想，通过比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度，直观求解.

类型2　线性约束条件含参

【例2】 已知z＝2x＋y，其中实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)

A.   B.   C.4   D.

解析　作出不等式组对应的平面区域如图：

由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，

由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的纵截距最大，z取最大值.

由解得即A(1，1)，

zmax＝2×1＋1＝3.

当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的纵截距最小，此时z最小.

由解得则点B(a，a).

∴zmin＝2×a＋a＝3a，

∵z的最大值是最小值的4倍，

∴3＝4×3a，即a＝.

答案　B

思维升华　当“约束条件”含参时，可根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线，进而确定“约束条件”中所含有的参数值，然后画出可行域，把问题转化为一般形式的线性规划问题.

类型3　“隐性”的线性规划问题

【例3】 如果函数f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区间上单调递减，则mn的最大值为(　　)

A.16    B.18

C.25    D.

解析　f′(x)＝(m－2)x＋n－8.由已知得：对任意的x∈，f′(x)≤0，所以f′≤0，

f′(2)≤0，所以

画出可行域，如图，令mn＝t，

则当n＝0时，t＝0；当n≠0时，m＝.

由线性规划的相关知识，只有当直线2m＋n＝12与曲线m＝相切时，t取得最大值.

由解得n＝6，t＝18.所以(mn)max＝18.

答案　B

思维升华　1.本例以函数为载体隐蔽“约束条件”，有效实现了知识模块的交汇，例3要求从题设中抓住本质条件，转化为关于“m，n”的约束条件.

2.解题的关键是要准确无误地将已知条件转化为线性约束条件作出可行域，抓住可行域中所求点的相应几何意义.该题立意新颖，在注意基础知识的同时，渗透了等价转化思想和数形结合思想，考查了学生的综合应用能力.

A级　基础巩固

一、选择题

1.已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为(　　)

A.(－24，7)

B.(－7，24)

C.(－∞，－7)∪(24，＋∞)

D.(－∞，－24)∪(7，＋∞)

解析　根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.

答案　B

2.在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为(　　)

A.1   B.2   C.4   D.8

解析　不等式组表示的平面区域是以点(0，0)，(0，2)和(1，1)为顶点的三角形区域(含边界)，则面积为×2×1＝1.

答案　A

3.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)

A.－15   B.－9   C.1   D.9

解析　作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B(－6，－3)处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.

答案　A

4.(2019·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝－4x＋y的最大值为(　　)

A.2   B.3   C.5   D.6

解析　由约束条件作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示.

∵z＝－4x＋y可化为y＝4x＋z，

∴作直线l0：y＝4x，并进行平移，显然当l0过点A(－1，1)时，z取得最大值，

zmax＝－4×(－1)＋1＝5.故选C.

答案　C

5.(一题多解)(2019·全国Ⅲ卷)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题：

①p∨q；②綈p∨q；③p∧綈q；④綈p∧綈q.

这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)

A.①③   B.①②   C.②③   D.③④

解析　法一　画出可行域如图中阴影部分所示.

目标函数z＝2x＋y是一组平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距.显然，直线过点A(2，4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.

∴2x＋y∈[8，＋∞).

由此得命题p：∃(x，y)∈D，2x＋y≥9正确；

命题q：∀(x，y)∈D，2x＋y≤12不正确.

∴①③真，②④假.

法二　取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假.

∴①③真，②④假.

答案　A

6.(2019·武汉模拟)已知则z＝22x＋y的最小值是(　　)

A.1   B.16   C.8   D.4

解析　作出不等式组对应的平面区域如图，

设m＝2x＋y，则y＝－2x＋m，

由图可知当直线y＝－2x＋m经过点A时，直线在y轴上的截距最小，

此时m最小，z也最小，

由解得即A(1，1)，

mmin＝2×1＋1＝3，则zmin＝23＝8.

答案　C

7.(2020·长沙一模)若x，y满足则z＝2x－y的取值范围是(　　)

A.[0，3]    B.[1，3]

C.[－3，0]    D.[－3，－1]

解析　作出表示的可行域如图中阴影部分所示：

联立解得

即B(1，－1)，

化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，

由图可知，当直线y＝2x－z过原点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2×0－0＝0；

当直线y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2×1－(－1)＝3，

∴z＝2x－y的取值范围是[0，3].故选A.

答案　A

8.(2019·北京卷)若x，y满足|x|≤1－y，且y≥－1，则3x＋y的最大值为(　　)

A.－7  B.1  C.5  D.7

解析　由|x|≤1－y，且y≥－1，得

作出可行域如图阴影部分所示.

设z＝3x＋y，则y＝－3x＋z.

作直线l0：y＝－3x，并进行平移.

显然当l0过点A(2，－1)时，z取最大值，zmax＝3×2－1＝5.故选C.

答案　C

二、填空题

9.(2020·河南六校联考)不等式组表示的平面区域的面积为________.

解析　依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示.

平面区域为△ABC及其内部，其中A(2，0)，B(0，2)，C(2，3)，

所以所求面积为

×2×|AC|＝3.

答案　3

10.(多填题)(2019·北京卷)若x，y满足则y－x的最小值为________，最大值为________.

解析　作出可行域，如图阴影部分所示.

设z＝y－x，则y＝x＋z.

z的几何意义是直线y＝x＋z的纵截距，通过图象可知，当直线y＝x＋z经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax＝3－2＝1.当经过点B(2，－1)时，z取得最小值，此时zmin＝－1－2＝－3.

答案　－3　1

11.若x，y满足约束条件则的最大值为________.

解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.

答案　3

12.已知实数x，y满足且z＝x＋y的最大值为6，则(x＋5)2＋y2的最小值为________.

解析　如图，作出不等式组对应的平面区域，

由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x，由图可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z在y轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x＋y＝6.由得A(3，3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.

(x＋5)2＋y2的几何意义是可行域内的点(x，y)与D(－5，0)的距离的平方，由可行域可知，[(x＋5)2＋y2]min等于D(－5，0)到直线x＋2y＝0的距离的平方.

则(x＋5)2＋y2的最小值为＝5.

答案　5

B级　能力提升

13.(2020·九江重点中学联考)已知实数x，y满足线性约束条件则其表示的平面区域外接圆的面积为(　　)

A.π   B.2π   C.4π   D.6π

解析　依据不等式组画出可行域如图(△ABC及其内部)，

∵x＋y＝2与y＝x垂直，

∴∠ABC为直角，即△ABC为直角三角形，

∴AC为△ABC外接圆的直径，

又A(－1，3)，C(－1，－1)，

∴AC＝4，∴△ABC外接圆的半径r＝2，

∴△ABC外接圆的面积为π×r2＝4π，

即所求平面区域外接圆的面积为4π.故选C.

答案　C

14.(2019·漳州一模)若实数x，y满足则x＋y(　　)

A.有最小值无最大值

B.有最大值无最小值

C.既有最小值也有最大值

D.既无最小值也无最大值

解析　依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示.

由得A.

由图易知：当x＝，y＝时，

x＋y有最小值，没有最大值.故选A.

答案　A

15.已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.

解析　画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：y＝x，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，

由解得

又A(2，3)在直线x＋y＝m上，则m＝5.

答案　5

16.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是________.

解析　设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y的约束条件为

设获利z元，则z＝300x＋400y.

画出可行域如图.

画直线l：300x＋400y＝0，

即3x＋4y＝0.

平移直线l，从图中可知，

当直线过点M时，

目标函数取得最大值.

由解得

即M的坐标为(4，4)，

∴zmax＝300×4＋400×4＝2 800(元).

答案　2 800元

C级　创新猜想

17.(多选题)设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，则(　　)

A.Ω1的面积为2

B.|MN|的最小值为

C.|MN|的最大值为3

D.直线MN斜率的最小值为－2－

解析　不等式组表示的平面区域Ω1和不等式(x＋2)2＋(y－2)2≤2表示的平面区域Ω2如图所示，

由得点A的坐标为(2，2)，∴|OA|＝2，

由得点B的坐标为(3，1)，∴|AB|＝.

又x＋y＝4与y＝x垂直，所以∠OAB为直角，即△AOB为直角三角形.

故Ω1的面积为S△AOB＝|OA||AB|＝×2×＝2，故A正确；

对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是点(0，0)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2，2)连线的长度减去半径，

即为－＝，故B正确；

|MN|的最大值是点B(3，1)与圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2的圆心(－2，2)的连线的长度加上半径，

即为＋＝＋，故C不正确；

设过原点O的直线为y＝kx，即kx－y＝0，当直线y＝kx和圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2相切时，即＝，解得k＝－2－或－2＋，由图可知直线MN的斜率的最小值为－2－，故D正确.

答案　ABD