2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第九章第8节　曲线与方程

第8节　曲线与方程

考试要求　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知 识 梳 理

1.曲线与方程的定义

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.

2.求动点的轨迹方程的基本步骤

[常用结论与微点提醒]

1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.

2.曲线的交点与方程组的关系：

(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；

(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)

(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)

(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)

(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)

解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.

答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×

2.(老教材选修2－1P37A2改编)已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)

A.双曲线    B.双曲线左支

C.一条射线   D.双曲线右支

解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.

答案　C

3.(老教材选修2－1P37A1改编)已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是________.

解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0).

答案　(x－2)2＋y2＝4(y≠0)

4.(2019·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)

A.两条直线    B.两条射线

C.两条线段    D.一条直线和一条射线

解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.

答案　D

5.已知点F，直线l：x＝－，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是(　　)

A.双曲线    B.椭圆

C.圆    D.抛物线

解析　由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.

答案　D

6.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是________________.

解析　设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－.

答案　y＝4x2－

考点一　直接法求轨迹方程

【例1】 (1)已知A(－1，0)，B(1，0)两点，过动点M作x轴的垂线，垂足为N，若2＝λ·，则当λ<0时，动点M的轨迹为(　　)

A.圆    B.椭圆

C.双曲线    D.抛物线

(2)(2020·西安调研)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.则动点P的轨迹方程为________________.

解析　(1)设M(x，y)，则N(x，0)，所以2＝y2，λ·＝λ(x＋1，0)·(1－x，0)＝λ(1－x2)，所以y2＝λ(1－x2)，即λx2＋y2＝λ，变形为x2＋＝1，所以当λ<0时，动点M的轨迹为双曲线.

(2)因为点B与点A(－1，1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1).

设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1) .故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1.)

答案　(1)C　(2)x2＋3y2＝4(x≠±1)

规律方法　利用直接法求轨迹方程

(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.

(2)运用直接法应注意的问题：①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的；②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.

【训练1】 与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为________.

解析　若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，

若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0).

答案　y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)

考点二　定义法求轨迹方程　典例迁移

【例2】 (经典母题)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.

解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.

因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，

所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.

由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).

【迁移1】 将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为________.

解析　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|－|PN|＝(R＋r1)－(R＋r2)＝r1－r2＝－2，即|PN|－|PM|＝2，又|MN|＝2，所以点P的轨迹方程为y＝0(x<－2).

答案　y＝0(x<－2)

【迁移2】 在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x＝－1相切，则圆心P的轨迹方程为________.

解析　由于点P到定点N(1，0)和定直线x＝－1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y2＝4x.

答案　y2＝4x

规律方法　定义法求曲线方程的两种策略

(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.

(2)定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.

【训练2】 (2020·豫北名校联盟联考)已知△ABC中，AB＝2，且sin A(1－2cos B)＋sin B(1－2cos A)＝0，以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则动点C的轨迹方程为________.

解析　在△ABC中，由sin A(1－2cos B)＋sin B(1－2cos A)＝0得sin A＋sin B＝2sin(A＋B)＝2sin C，由正弦定理得＋＝2·(R为△ABC外接圆半径)，可得|CB|＋|CA|＝2|AB|＞|AB|.∴点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(除y轴上的点)，其中2a＝4，2c＝2，即a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，故点C的轨迹方程为＋＝1(x≠0).

答案　＋＝1(x≠0)

考点三　相关点(代入)法求轨迹方程

【例3】 (1)(2020·银川模拟)动点A在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是________.

(2)设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为________.

解析　(1)设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x－3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

(2)设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，所以(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，所以x0＋y＝0.由＝2得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，所以即所以－x＋＝0，即y2＝4x.故所求点N的轨迹方程是y2＝4x.

答案　(1)(2x－3)2＋4y2＝1　(2)y2＝4x

规律方法　“相关点法”的基本步骤

(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).

(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式

(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.

【训练3】 (2020·长沙月考)如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

解　由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)，

设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，

得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，

直线AA1的方程为y＝(x＋3).①

直线A2B的方程为y＝(x－3).②

由①②相乘得y2＝(x2－9).③

又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y＝1－.④

将④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0).

因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x<－3，y<0).

A级　基础巩固

一、选择题

1.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是(　　)

A.一条直线和一条双曲线   B.两条双曲线

C.两个点    D.以上答案都不对

解析　(x－y)2＋(xy－1)2＝0⇔

故或

答案　C

2.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是(　　)

A.直线    B.圆

C.椭圆    D.双曲线

解析　设P(x，y)，则＝2，整理得x2＋y2－4x＝0，所以动点P的轨迹是圆.故选B.

答案　B

3.(2019·怀化调研)已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P是椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1(y≠0)  B.＋y2＝1(y≠0)

C.＋3y2＝1(y≠0)  D.x2＋y2＝1(y≠0)

解析　依题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标公式可得即代入椭圆C：＋＝1，

得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0).

答案　C

4.已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，且＝＋，则动点P的轨迹方程是(　　)

A.＋y2＝1    B.x2＋＝1

C.＋y2＝1    D.x2＋＝1

解析　设A(0，a)，B(b，0)，则由||＝3得a2＋b2＝9，设P(x，y)，由＝＋，得(x，y)＝(0，a)＋(b，0)，由此得b＝x，a＝3y，代入a2＋b2＝9，得9y2＋x2＝9，即＋y2＝1.

答案　A

5.(2020·广东七校联考)设圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为C，A(2，0)是圆内一定点，Q是圆周上任一点，AQ的垂直平分线与CQ的交点为R，则点R的轨迹方程为(　　)

A.＋＝1    B.－＝1

C.＋＝1    D.－＝1

解析　连接AR，由题意可知|RQ|＝|RA|，所以|RC|＋|RA|＝|RC|＋|RQ|＝|CQ|＝6＞4＝|AC|，所以点R的轨迹是以A(2，0)，C(－2，0)为焦点的椭圆，其中2a＝6，2c＝4，所以b2＝a2－c2＝32－22＝5，所以点R的轨迹方程为＋＝1.故选C.

答案　C

二、填空题

6.已知两点M(－2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为________.

解析　设点P的坐标为(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，∴||＝4，||＝，·＝4(x－2).根据已知条件得4＝4(2－x).整理得y2＝－8x.∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.

答案　y2＝－8x

7.△ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________.

解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，

所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，|AB|＝10.即|CA|－|CB|<|AB|，

根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，

实轴长为6的双曲线的右支，

方程为－＝1(x>3).

答案　－＝1(x>3)

8.直线＋＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是________.

解析　直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a，0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1.因为a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.

答案　x＋y＝1(x≠0且x≠1)

三、解答题

9.已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.

(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中轨迹为C，过点N(－2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.

解　(1)由题意，得＝5，即＝5，

化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，

所以点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25.

轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆.

(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，

此时所截得的线段长度为2＝8，

所以l：x＝－2符合题意.

当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝，

由题意，得＋42＝52，解得k＝.

所以直线l的方程为x－y＋＝0，即5x－12y＋46＝0.

综上，直线l的方程为x＝－2或5x－12y＋46＝0.

10.在平面直角坐标系中，已知A1(－，0)，A2(，0)，P(x，y)，M(x，1)，N(x，－2)，若实数λ使得λ2·＝·(O为坐标原点).

求P点的轨迹方程，并讨论P点的轨迹类型.

解　＝(x，1)，＝(x，－2)，

＝(x＋，y)，＝(x－，y).

因为λ2·＝·，

所以(x2－2)λ2＝x2－2＋y2，

整理得(1－λ2)x2＋y2＝2(1－λ2)为点P的轨迹方程.

(1)当λ＝±1时，方程为y＝0，轨迹为一条直线；

(2)当λ＝0时，方程为x2＋y2＝2，轨迹为圆；

(3)当λ∈(－1，0)∪(0，1)时，方程为＋＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；

(4)当λ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，方程为－＝1，轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线.

B级　能力提升

11.如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)

A.直线    B.抛物线

C.椭圆    D.双曲线的一支

解析　可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆，故选C.

答案　C

12.(2019·北京卷)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一(如图).给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是(　　)

A.①   B.②   C.①②   D.①②③

解析　曲线的方程x2＋y2＝1＋|x|y可看成关于y的一元二次方程y2－|x|y＋x2－1＝0，由题图可知该方程必有两个不相等的实根，∴Δ＝|x|2－4(x2－1)>0，∴x2<，满足条件的整数x可取－1，0，1.当x＝－1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(－1，0)，(－1，1)；当x＝0时，y＝－1或1，∴曲线C经过的整点有(0，－1)，(0，1)；当x＝1时，y＝0或1，∴曲线C经过的整点有(1，0)，(1，1).故曲线C恰好经过6个整点，①正确；∵x2＋y2＝1＋|x|y≤1＋，∴x2＋y2≤2，∴≤ ，当且仅当|x|＝y，即或时取等号，则曲线上的点到原点的最大距离为，故②正确；顺次连接(－1，0)，(－1，1)，(0，1)，(1，1)，(1，0)，(0，－1)，(－1，0)，所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3，显然曲线C所围成的“心形”区域的面积要大于3，故③不正确.故选C.

答案　C

13.已知过点A(－3，0)的直线与x＝3相交于点C，过点B(3，0)的直线与x＝－3相交于点D，若直线CD与圆x2＋y2＝9相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为________.

解析　设点M(x，y)，C(3，m)，D(－3，n)，则直线CD的方程为(m－n)x－6y＋3(m＋n)＝0，因为直线CD与圆x2＋y2＝9相切，所以＝3，所以mn＝9，又直线AC与BD的交点为M，

所以解得所以－＝9，

所以点M的轨迹方程为＋＝1(y≠0).

答案　＋＝1(y≠0)

14.如图，抛物线E：y2＝2px(p＞0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

(1)求p的值；

(2)求动点M的轨迹方程.

解　(1)由点A的横坐标为2及点A在第一象限，可得点A的坐标为(2，2)，代入y2＝2px，解得p＝1.

(2)设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：y－y1＝k，代入y2＝2x，

得ky2－2y＋2y1－ky＝0，

由Δ＝0解得k＝，

所以l1的方程为y＝x＋，

同理l2的方程为y＝x＋.

联立，得解得

易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，

其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2]，

联立，得即x0y2＋2y0y－16＝0，

则代入

可得M(x，y)满足可得

代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，

考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，

所以动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2].

C级　创新猜想

15.(多选题)曲线C是平面内与两个定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离的积等于常数a2(a2＞4)的点的轨迹，则下列结论正确的有(　　)

A.曲线C过坐标原点

B.曲线C关于x轴对称

C.曲线C关于坐标原点对称

D.若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2

解析　设动点坐标为(x，y)，由已知得·＝a2，即[(x＋2)2＋y2]·[(x－2)2＋y2]＝a4(a2＞4)，代入原点验证，方程不成立，故A错；把方程中的y被－y代换，方程不变，故B正确；把方程中的x被－x代换，y被－y代换，方程也不变，故C正确；因为S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2≤|PF1||PF2|＝a2，即△F1PF2的面积不大于a2，故D正确.

答案　BCD