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    2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案:第九章第9节第二课时 定点、定值、探索性问题
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    2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案:第九章第9节第二课时 定点、定值、探索性问题

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    第二课时 定点、定值、探索性问题

    考点一 定点问题

    【例1 (2020·兰州一模)M点为圆Cx2y24上的动点,点Mx轴上的投影为N.动点P满足2,动点P的轨迹为E.

    (1)E的方程;

    (2)E的左顶点为D,若直线lykxm与曲线E交于AB两点(AB不是左、右顶点),且满足||||,求证:直线l恒过定点,并求出该定点的坐标.

     (1)设点M(x0y0)P(xy),由题意可知N(x00)

    22(x0x,-y)(0,-y0)

    x0xy0y

    又点M在圆Cx2y24上,xy4

    x0xy0y代入得1

    即轨迹E的方程为1.

    (2)(1)可知D(20),设A(x1y1)B(x2y2)

    联立得(34k2)x28mkx4(m23)0

    Δ(8mk)24(34k2)(4m212)16(12k23m29)0

    34k2m20x1x2x1x2.

    y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.

    ||||

    ·0

    (x12y1)·(x22y2)x1x22(x1x2)4y1y20

    2×40

    7m216mk4k20

    解得m12km2k,且均满足34k2m0.

    m2k时,l的方程为ykx2kk(x2)

    直线恒过点(20),与已知矛盾;

    mk时,l的方程为ykxkk,直线恒过点.

    直线l过定点,定点坐标为.

    规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法

    (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.

    (2)特殊到一般法,根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.

    【训练1 (2020·湖南三湘名校联考)已知椭圆C1(ab1)的离心率为,其上焦点到直线bx2ay0的距离为.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)过点P的直线l交椭圆CAB两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.过,求出定点坐标;若不过,请说明理由.

     (1)由题意得,e,又a2b2c2

    所以abcb.

    ab1,所以b1a22

    故椭圆C的方程为x21.

    (2)ABx轴时,以线段AB为直径的圆的方程为y2.

    ABy轴时,以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.

    可得两圆交点为Q(10).

    由此可知, 若以线段AB为直径的圆恒过定点,则该定点为Q(10).

    下证Q(10)符合题意.

    设直线l的斜率存在,且不为0

    其方程为yk,代入x21

    并整理得(k22)x2k2xk220

    A(x1y1)B(x2y2)

    x1x2x1x2

    所以·(x11)(x21)y1y2x1x2x1x21k2

    (1k2)x1x2(x1x2)1k2

    (1k2·1k20

    ,即Q(10)在以线段AB为直径的圆上.

    综上,以线段AB为直径的圆恒过定点(10).

    考点二 定值问题

    【例2 (2019·洛阳高三统考)已知抛物线Cy22px(p0),其焦点为FO为坐标原点,直线l与抛物线C相交于不同的两点ABMAB的中点.

    (1)p2M的坐标为(11),求直线l的方程.

    (2)若直线l过焦点FAB的垂直平分线交x轴于点N,求证:为定值.

    (1) 由题意知直线l的斜率存在且不为0

    故设直线l的方程为x1t(y1)

    xty1t,设A(x1y1)B(x2y2).

    y24ty44t0

    Δ16t21616t16(t2t1)0y1y24t

    4t2,即t.

    直线l的方程为2xy10.

    (2)证明 抛物线Cy22px(p0)焦点F的坐标为.

    由题意知直线l的斜率存在且不为0

    直线l过焦点F,故设直线l的方程为xty(t0),设A(x1y1)B(x2y2).

    ,得y22ptyp20

    y1y22ptΔ4p2t24p20.

    x1x2t(y1y2)p2pt2pM.

    MN的方程为ypt=-t.

    y0,解得xpt2N

    |MN|2p2p2t2|FN|pt2pt2p

    2p,为定值.

    规律方法 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法

    (1)特点:待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.

    (2)两大解法:

    从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;

    引起变量法:其解题流程为

     

     

    【训练2 (2020·昆明诊断)已知椭圆C1(ab0)的离心率为,左、右焦点分别为F1F2A为椭圆C上一点,AF2F1F2,且|AF2|.

    (1)求椭圆C的方程;

    (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1A2,过A1A2分别作x轴的垂线l1l2,椭圆C的一条切线lykxml1l2分别交于MN两点,求证:MF1N为定值.

    (1) 由AF2F1F2|AF2|,得.

    ea2b2c2,所以a29b28

    故椭圆C的标准方程为1.

    (2)证明 由题意可知,l1的方程为x=-3l2的方程为x3.

    直线l分别与直线l1l2的方程联立得M(3,-3km)N(33km)

    所以(2,-3km)(43km)

    所以·=-8m29k2.

    联立得(9k28)x218kmx9m2720.

    因为直线l与椭圆C相切,

    所以Δ(18km)24(9k28)(9m272)0

    化简得m29k28.

    所以·=-8m29k20

    所以,故MF1N为定值.

    考点三 探索性问题

    【例3 (2019·广州调研)已知椭圆C1(a>b>0)的两个焦点分别为F1F2,短轴的一个端点为PPF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l与被椭圆C截得的线段为RS,当lx轴时,|RS|3.

    (1)求椭圆C的标准方程;

    (2)x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TSTR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.

    解 (1)由内切圆的性质,得×2c×b×(2a2c)×,得.

    xc代入1,得y±,所以3.

    a2b2c2,所以a2b

    故椭圆C的标准方程为1.

    (2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TSTR所在直线关于x轴对称.

    当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t0)满足条件,设l的方程为yk(x1)R(x1y1)S(x2y2).

    联立方程

    (34k2)x28k2x4k2120

    由根与系数的关系得

    其中Δ>0恒成立,

    TSTR所在直线关于x轴对称,得kTSkTR0(显然TSTR的斜率存在)

    0.

    因为RS两点在直线yk(x1)上,

    所以y1k(x11)y2k(x21),代入

    0

    2x1x2(t1)(x1x2)2t0

    代入

    0

    t4

    综上所述,存在T(40),使得当l变化时,总有TSTR所在直线关于x轴对称.

    规律方法 此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件,则可先假设条件成立,再验证结论是否成立,成立则存在,否则不存在;若探究结论,则应先求出结论的表达式,再针对其表达式进行讨论,往往涉及对参数的讨论.

    【训练3 (2020·重庆调研)如图,已知椭圆C1(ab0),其左、右焦点分别为F1(20)F2(20),过点F1的直线交椭圆CAB两点,线段AB的中点为GAB的中垂线与x轴和y轴分别交于DE两点,且|AF1||F1F2||AF2|构成等差数列.

    (1)求椭圆C的方程.

    (2)GF1D的面积为S1OED(O为坐标原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1S2?请说明理由.

     (1)|AF1||F1F2||AF2|构成等差数列,

    2a|AF1||AF2|2|F1F2|8a4.

    c2b212

    椭圆C的方程为1.

    (2)假设存在直线AB,使得S1S2,显然直线AB不能与xy轴垂直.

    AB的方程为yk(x2)(k0)

    将其代入1,整理得(4k23)x216k2x16k2480

    A(x1y1)B(x2y2)x1x2

    G的横坐标为

    G.

    DGAB×k=-1

    解得xD,即D.

    RtGDF1RtODE相似,S1S2

    |GD||OD|

    ,整理得8k290.

    方程8k290无解,不存在直线AB,使得S1S2.

    A级 基础巩固

    一、选择题

    1.(2019·石家庄模拟)已知P为双曲线C1上的点,点M满足||1,且·0则当||取得最小值时点P到双曲线C的渐近线的距离为(  )

    A.   B.   C.4   D.5

    解析 ·0,得OMPM,根据勾股定理,求|MP|的最小值可以转化为求|OP|的最小值,当|OP|取得最小值时,点P的位置为双曲线的顶点(±30),而双曲线的渐近线为4x±3y0所求的距离d.

    答案 B

    2.直线l与抛物线Cy22x交于AB两点,O为坐标原点,若直线OAOB的斜率分别为k1k2,且满足k1k2,则直线l过定点(  )

    A.(30)    B.(0,-3)

    C.(30)    D.(03)

    解析 A(x1y1)B(x2y2),因为k1k2,所以·.y2x1y2x2,所以y1y26.设直线lxmyb,代入抛物线Cy22xy22my2b0,所以y1y2=-2b6,得b=-3,即直线l的方程为xmy3,所以直线l过定点为(30).

    答案 A

    3.已知双曲线1(a>0b>0)的离心率e2,过双曲线上一点M作直线MAMB交双曲线于AB两点,且斜率分别为k1k2,若直线AB过原点,则k1·k2的值为(  )

    A.2   B.3   C.   D.

    解析 由题意知,e2b23a2,则双曲线方程可化为3x2y23a2,设A(mn)M(x0y0)(x0±m),则B(m,-n)k1·k2·3.

    答案 B

    4.已知O为坐标原点,设F1F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点,P为双曲线左支上任一点,过点F1F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|(  )

    A.1   B.2   C.4   D.

    解析 如图所示,延长F1HPF2于点Q,由PHF1PF2的平分线及PHF1Q,可知|PF1||PQ|,根据双曲线的定义,得|PF2||PF1|2,从而|QF2|2,在F1QF2中,易知OH为中位线,故|OH|1.

    答案 A

    5.已知抛物线My24x,过抛物线M的焦点F的直线l交抛物线于AB两点(A在第一象限),且交抛物线的准线于点E.2,则直线l的斜率为(  )

    A.3   B.2   C.   D.1

    解析 分别过AB两点作ADBC垂直于准线,垂足分别为DC

    2,得BAE的中点,|AB||BE|

    |AD|2|BC|

    由抛物线的定义可知|AF||AD||BF||BC|

    |AB|3|BC||BE|3|BC|,则|CE|2|BC|

    tan CBE2

    直线l的斜率ktan AFxtan CBE2.

    答案 B

    二、填空题

    6.若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.

    解析 双曲线的渐近线方程为y±bx,则有1,解得b23,则e21b24e11e2.

    答案 (12]

    7.(2020·东北三省四校模拟)已知动点P(xy)在椭圆1上,若A点坐标为(30)||1,且·0,则||的最小值是________.

    解析 ·0.

    ||2||2||2||21

    圆右顶点到右焦点A的距离最小,

    ||min2||min.

    答案 

    8.(2019·湘中名校联考)已知抛物线y22px(p>0)的焦点为FABC的顶点都在抛物线上,且满足0,则________.

    解析 A(x1y1)B(x2y2)C(x3y3)F,由0,得y1y2y30.因为kAB,所以kACkBC,所以0.

    答案 0

    三、解答题

    9.(2019·全国)已知点AB关于坐标原点O对称,|AB|4M过点AB且与直线x20相切.

    (1)A在直线xy0上,求M的半径.

    (2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA||MP|为定值?并说明理由.

    解 (1)因为M过点AB,所以圆心MAB的垂直平分线上.由已知A在直线xy0上,且AB关于坐标原点O对称,所以M在直线yx上,故可设M(aa).

    因为M与直线x20相切,所以M的半径为r|a2|.连接MA,由已知得|AO|2.MOAO,故可得2a24(a2)2,解得a0a4.

    M的半径r2r6.

    (2)存在定点P(10),使得|MA||MP|为定值.

    理由如下:

    M(xy),由已知得M的半径为r|x2||AO|2.由于MOAO,故可得x2y24(x2)2, 化简得M的轨迹方程为y24x.

    因为曲线Cy24x是以点P(10)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|x1.

    因为|MA||MP|r|MP|x2(x1)1

    所以存在满足条件的定点P.

    10.(2020·合肥质检)设椭圆E1(ab0)的左、右焦点分别为F1F2,过点F1的直线交椭圆EAB两点.若椭圆E的离心率为ABF2的周长为4.

    (1)求椭圆E的方程;

    (2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点CD,设弦ABCD的中点分别为MN,证明:OMN三点共线.

    (1) 由题意知,4a4a.

    ecb

    椭圆E的方程为1.

    (2)证明 当直线ABCD的斜率不存在时,由椭圆的对称性知,中点MNx轴上,OMN三点共线,

    当直线ABCD的斜率存在时,设其斜率为k,且设A(x1y1)B(x2y2)M(x0y0)

    两式相减,得0

    =-

    =-

    ·=-·=-

    k·kOM=-

    kOM=-.

    同理可得kON=-kOMkONOMN三点共线.

    B级 能力提升

    11.(2019·成都诊断)设点Q是直线lx=-1上任意一点,过点Q作抛物线Cy24x的两条切线QSQT切点分别为ST,设切线QSQT的斜率分别为k1k2F是抛物线的焦点,直线QF的斜率为k0,则下列结论正确的是(  )

    A.k1k2k0    B.k1k22k0

    C.k1k22k0    D.k1k22k0

    解析 设点Q(1t),由过点Q的直线ytk(x1)与抛物线Cy24x相切,联立方程得

    整理得k2x22(k2kt2)x(kt)20,则Δ4(k2kt2)24k2(kt)20,化简得k2tk10.显然k1k2是关于k的方程k2tk10的两个根,所以k1k2=-t.k0=-,故k1k22k0.

    答案 D

    12.(2020·郑州模拟)已知F为抛物线y2x的焦点,点AB在该抛物线上且位于x轴的两侧,·6(其中O为坐标原点),则ABOAFO面积之和的最小值是(  )

    A.   B.3   C.   D.

    解析 设直线AB的方程为xtym,点A(x1y1)B(x2y2),直线ABx轴的交点为M(m0),将xtym代入y2x,可得y2tym0,则y1·y2=-m.·6x1x2y1y26,从而(y1y2)2y1y260.AB位于x轴的两侧,y1y2=-3,故m3.不妨令点Ax轴上方,则y10,又FSABOSAFO×3×(y1y2)×y1y12,当且仅当y1,即y1时,取∴△ABOAFO面积之和的最小值是,故选D.

    答案 D

    13.若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任一点,则·的最小值为________.

    解析 P为椭圆1上的任意一点,设P(xy)(3x3,-2y2),依题意得左焦点F(10)(xy)(x1y)·x(x1)y2x2x.

    3x3

    x

    612,即6·12,故最小值为6.

    答案 6

    14.(2020·沈阳高三质检)已知抛物线Cx22py(p0)的焦点为FM(2y0)C上一点,且|MF|2.

    (1)C的方程.

    (2)过点F的直线与抛物线C相交于AB两点,分别过点AB作抛物线C的切线l1l2,两条切线相交于点P,点P关于直线AB的对称点为Q,判断四边形PAQB是否存在外接圆?如果存在,求出外接圆面积的最小值;如果不存在,请说明理由.

     (1)根据题意知,42py0

    因为|MF|2,所以y02.

    联立①②,解得y01p2.

    所以抛物线C的方程为x24y.

    (2)四边形PAQB存在外接圆.

    (1)F(01),设直线AB的方程为ykx1

    代入x24y中,得x24kx40Δ16(k21)0.

    A(x1y1)B(x2y2),则x1x24kx1x2=-4

    所以|AB||x1x2|4(k21).

    因为Cx24y,即y,所以y

    因此切线l1的斜率k1,切线l2的斜率k2.

    所以k1k2=-1

    所以PAPB,即PAB是直角三角形,

    所以PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点,线段AB是外接圆的直径,由于点Q与点P关于直线AB对称,

    所以点Q一定在PAB的外接圆上,即四边形PAQB存在外接圆.

    |AB|4(k21)

    所以当k0时,线段AB最短,最短长度为4

    此时圆的面积最小,最小面积为4π.

    C级 创新猜想

    15.(多选题)如图,由抛物线y28x与圆E(x2)2y29的实线部分构成图形Ω,过点P(20)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点,则|AB|的取值可能为(  )

    A.4   B.5   C.6   D.7

    解析 由题意可知抛物线y28x的焦点为F(20),圆(x2)2y29的圆心为E(20),因此点PFE重合,所以|PA|3.B(x0y0),则由抛物线的定义可知|PB|x02,由(x2)28x9,整理得x24x50,解得x11x2=-5(舍去),设圆E与抛物线交于CD两点,所以xCxD1,因此0x01,又|AB||AP||BP|3x02x05,所以|AB|x05[56],故选BC.

    答案 BC

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