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2021届高三新高考数学人教A版一轮复习教学案：第九章第7节 抛物线
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第7节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
答案 y2＝－x或x2＝y
3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
答案 2
4.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，
所以＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
答案 D
5.(2020·河南中原名校联考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
解析 如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的方程知p＝，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，所以点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝×3－＝，故选C.
答案 C
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质
【例1】 (1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
(2)(2020·福州联考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.8
(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
解析 (1)由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
(2)设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为－，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4，又因为|PA|＝|PF|，∠PAF＝60°，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×|FA|2＝×42＝4.故选B.
(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 (1)D (2)B (3)y2＝4x
规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练1】 (1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3 C.x＝－2 D.x＝－1
(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________.
解析 (1)直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
(2)作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，∴在直角三角形PKM中，sin∠PKM＝＝＝，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
答案 (1)A (2)2
考点二 与抛物线有关的最值问题 多维探究
角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题
【例2－1】 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)(多填题)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为.
答案 (1)3 (2)－
规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.
2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.
角度2 到点与准线的距离之和最值问题
【例2－2】 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
答案
规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题
【例2－3】 已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
答案 D
规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题
将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
角度4 焦点弦中距离之和最小问题
【例2－4】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案 2
规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.
角度5 到定直线的距离最小问题
【例2－5】 (一题多解)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________.
解析 法一 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.
法二 对y＝－x2，有y′＝－2x，如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
答案
规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.
【训练2】 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )
A. B.
C.(－2，－2) D.(－2，2)
(2)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆C：x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.
解析 (1)如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.故选A.
(2)由题意知，圆C：x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0).根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解 设直线l的方程为：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率.
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0).
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2).
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2).
数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
【例1】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
答案 B
【例2】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
[一般解法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D
【例3】 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝
x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
答案 C
A级 基础巩固
一、选择题
1.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
解析 由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为.
答案 D
2.(2019·福州调研)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
答案 B
3.(2020·成都诊断)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A.y2＝4x B.y2＝－4x
C.y2＝8x D.y2＝－8x
解析 因为AB⊥x轴，且AB过焦点F，所以线段AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.
答案 D
4.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
答案 C
5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. B.2 C. D.3
解析 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.
答案 B
二、填空题
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
答案 2
7.(2020·昆明诊断)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为________.
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
答案 3
8.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
解析 因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝＝，所以＝，所以渐近线方程为x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为＝2，由于p>0，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案 x2＝16y
三、解答题
9.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
10.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
解 (1)抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为y＝2，
由消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0，
可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2，y2＝4.
所以A(1，－2)，B(4，4).
则＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(1＋4λ，－2＋4λ).
因为C为抛物线上一点，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，
整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
B级 能力提升
11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶ D.1∶
解析 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，∵直线l过点F和点M(2，2)，∴直线l的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴点N的横坐标为.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A.
答案 A
12.(2020·武汉调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
答案 B
13.(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、 y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.
解析 由题意得M(2，0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由＝λ＋μ得(x－2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，
∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝－＝－＋2＝＋≥，故λ＋μ的最小值为.
答案
14.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明 设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
C级 创新猜想
15.(多选题)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有( )
A.若AB的斜率为1，则|AB|＝8
B.|AB|min＝4
C.若AB的斜率为1，则xM＝2
D.xA·xB＝－4
解析 由题意得，焦点F(0，1)，对于A，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，
得消去x，得y2－6y＋1＝0，
所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则A正确；
对于B，|AB|min＝2p＝4，则B正确；
对于C，当AB的斜率为1时，因为y′＝，则＝1，
∴xM＝2，则C正确；
设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，
得消去y，得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，则D正确；
答案 ABCD
第7节 抛物线
考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
知 识 梳 理
1.抛物线的定义
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
性质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
[常用结论与微点提醒]
1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
2.抛物线y2＝2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.( )
(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( )
解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.
(2)方程y＝ax2(a≠0)可化为x2＝y，是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是y＝－.
(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.
(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是________________.
解析 设抛物线的标准方程是y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.
答案 y2＝－x或x2＝y
3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点的个数为________.
解析 设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，得x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点的个数为2.
答案 2
4.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝( )
A.2 B.3 C.4 D.8
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为，
椭圆的焦点坐标为，
所以＝，解得p＝0(舍去)或p＝8.
答案 D
5.(2020·河南中原名校联考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A. B.1 C. D.
解析 如图所示，设抛物线的准线为l，AB的中点为M，作AA1⊥l于点A1，BB1⊥l于点B1，MM1⊥l于点M1，由抛物线的方程知p＝，由抛物线定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，所以点M到y轴的距离为|MM1|－＝(|AA1|＋|BB1|)－＝×3－＝，故选C.
答案 C
6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________.
解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].
答案 [－1，1]
考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质
【例1】 (1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A.y2＝±2x B.y2＝±2x
C.y2＝±4x D.y2＝±4x
(2)(2020·福州联考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，若直线AF的斜率为－，则△PAF的面积为( )
A.2 B.4 C.8 D.8
(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.
解析 (1)由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0).
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.
(2)设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为－，|FQ|＝2，所以∠AFQ＝60°，|FA|＝4，又因为|PA|＝|PF|，∠PAF＝60°，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×|FA|2＝×42＝4.故选B.
(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 (1)D (2)B (3)y2＝4x
规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点
(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.
【训练1】 (1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3 C.x＝－2 D.x＝－1
(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝|PF|，则y0＝________.
解析 (1)直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
(2)作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝|PF|，∴在直角三角形PKM中，sin∠PKM＝＝＝，∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，∴|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴解得
答案 (1)A (2)2
考点二 与抛物线有关的最值问题 多维探究
角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题
【例2－1】 点P为抛物线y2＝4x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：
(1)|PA|＋|PF|的最小值为________；
(2)(多填题)|PA|－|PF|的最小值为________，最大值为________.
解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|＝|PH|，|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.
(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝.故|PA|－|PF|最小值为－，最大值为.
答案 (1)3 (2)－
规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.
2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.
角度2 到点与准线的距离之和最值问题
【例2－2】 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.
答案
规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.
角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题
【例2－3】 已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
解析 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.
答案 D
规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题
将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.
角度4 焦点弦中距离之和最小问题
【例2－4】 已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为________.
解析 由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案 2
规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.
角度5 到定直线的距离最小问题
【例2－5】 (一题多解)抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是________.
解析 法一 如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线为4x＋3y＋b＝0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x2－4x－b＝0，则Δ＝16＋12b＝0，解得b＝－，故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.
法二 对y＝－x2，有y′＝－2x，如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.
答案
规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.
【训练2】 (1)若在抛物线y2＝－4x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( )
A. B.
C.(－2，－2) D.(－2，2)
(2)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆C：x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是________.
解析 (1)如图，∵y2＝－4x，∴p＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A，P及P到准线的垂足三点共线时，点P与点F、点P与点A的距离之和最小，故点P的纵坐标为1.将y＝1代入抛物线方程求得x＝－，则点P的坐标为.故选A.
(2)由题意知，圆C：x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1，0).根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.
答案 (1)A (2)－1
考点三 直线与抛物线的综合问题
【例3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求直线l的方程；
(2)若＝3，求|AB|.
解 设直线l的方程为：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋.
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝.
由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
其中Δ＝144(1－2t)>0，则x1＋x2＝－.
从而－＝，得t＝－(满足Δ>0).
所以l的方程为y＝x－.
(2)由＝3可得y1＝－3y2.
由可得y2－2y＋2t＝0，其中Δ＝4－8t>0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.
代入C的方程得x1＝3，x2＝.
所以A(3，3)，B，故|AB|＝.
规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.
2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.
3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.
提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.
【训练3】 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率.
解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为
y2＝2px(p＞0).
∵点P(1，2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2).
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2).
数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论
1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.
2.设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点).
【例1】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A.4 B. C.5 D.6
[一般解法]易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为
y＝k(x－1).
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
得xA·xB＝1，①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，
即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝.
[应用结论]法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，∴sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二 因为|AF|＝2|BF|，所以＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
答案 B
【例2】 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A. B. C. D.
[一般解法]由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
与抛物线方程联立，化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
[应用结论]由2p＝3，及|AB|＝
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
答案 D
【例3】 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A.5 B.6 C. D.
[一般解法]如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝
x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2，所以A(3，2)，又F(1，0)，所以直线AF的斜率k＝＝，所以直线AF的方程为y＝(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝.故选C.
[应用结论]法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二 因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
答案 C
A级 基础巩固
一、选择题
1.抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.1 C. D.
解析 由y＝4x2得x2＝y，所以2p＝，p＝，则抛物线的焦点到准线的距离为.
答案 D
2.(2019·福州调研)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
解析 如图所示，抛物线的准线l的方程为x＝－2，F是抛物线的焦点，过点P作PA⊥y轴，垂足是A，延长PA交直线l于点B，则|AB|＝2.由于点P到y轴的距离为4，则点P到准线l的距离|PB|＝4＋2＝6，所以点P到焦点的距离|PF|＝|PB|＝6.故选B.
答案 B
3.(2020·成都诊断)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是( )
A.y2＝4x B.y2＝－4x
C.y2＝8x D.y2＝－8x
解析 因为AB⊥x轴，且AB过焦点F，所以线段AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.
答案 D
4.设抛物线C：y2＝3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|＝3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B.
C.或 D.或
解析 如图，作AH⊥l于H，则|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，则|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝，∴∠EAF＝，即直线FA的倾斜角为，同理点A在x轴下方时，直线FA的倾斜角为.
答案 C
5.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A. B.2 C. D.3
解析 由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.
答案 B
二、填空题
6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.
解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0).
由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米.
答案 2
7.(2020·昆明诊断)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为________.
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，所以x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝＋＋＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.
答案 3
8.已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________.
解析 因为双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝＝，所以＝，所以渐近线方程为x±y＝0，因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为＝2，由于p>0，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.
答案 x2＝16y
三、解答题
9.设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率；
(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程.
解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.
于是直线AB的斜率k＝＝＝1.
(2)由y＝，得y′＝.
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0.
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2.
从而|AB|＝|x1－x2|＝4.
由题设知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，
解得m＝7.
所以直线AB的方程为x－y＋7＝0.
10.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1
(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值.
解 (1)抛物线y2＝2px的焦点为，
所以直线AB的方程为y＝2，
由消去y得4x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，
由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，
即＋p＝9，所以p＝4.
所以抛物线的方程为y2＝8x.
(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0，
可化为x2－5x＋4＝0，
解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－2，y2＝4.
所以A(1，－2)，B(4，4).
则＝＋λ＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(1＋4λ，－2＋4λ).
因为C为抛物线上一点，所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)，
整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.
B级 能力提升
11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2，2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|∶|FM|等于( )
A.1∶2 B.1∶3
C.1∶ D.1∶
解析 抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，∵直线l过点F和点M(2，2)，∴直线l的方程为y＝2(x－1).由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴点N的横坐标为.∵抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，∴|NF|＝，|MF|＝3，∴|NF|∶|MF|＝1∶2，故选A.
答案 A
12.(2020·武汉调研)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 由题意知＝2，即p＝4.过点N作准线l的垂线，垂足为N′，交抛物线于点M′，则|M′N′|＝|M′F|，则有|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MT|≥|M′N′|＋|M′N|＝|NN′|＝1－(－2)＝3.
答案 B
13.(2020·湖南名校大联考)已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、 y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________.
解析 由题意得M(2，0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由＝λ＋μ得(x－2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，
∴x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝－＝－＋2＝＋≥，故λ＋μ的最小值为.
答案
14.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.
(1)证明 设D，A(x1，y1)，则x＝2y1.
因为y′＝x，所以切线DA的斜率为x1，
故＝x1.
整理得2tx1－2y1＋1＝0.
设B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0.
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.
由可得x2－2tx－1＝0.
于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，
y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1，
|AB|＝|x1－x2|
＝×＝2(t2＋1).
设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，
则d1＝，d2＝.
因此，四边形ADBE的面积
S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3).
设M为线段AB的中点，则M.
因为⊥，而＝(t，t2－2)，与向量(1，t)平行，
所以t＋(t2－2)t＝0，解得t＝0或t＝±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
C级 创新猜想
15.(多选题)如图所示，抛物线y＝x2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有( )
A.若AB的斜率为1，则|AB|＝8
B.|AB|min＝4
C.若AB的斜率为1，则xM＝2
D.xA·xB＝－4
解析 由题意得，焦点F(0，1)，对于A，lAB的方程为y＝x＋1，与抛物线的方程联立，
得消去x，得y2－6y＋1＝0，
所以yA＋yB＝6，则|AB|＝yA＋yB＋p＝8，则A正确；
对于B，|AB|min＝2p＝4，则B正确；
对于C，当AB的斜率为1时，因为y′＝，则＝1，
∴xM＝2，则C正确；
设lAB的方程为y＝kx＋1，与抛物线的方程联立，
得消去y，得x2－4kx－4＝0，
所以xA＋xB＝4k，xA·xB＝－4，则D正确；
答案 ABCD
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