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    2021版高考数学苏教版一轮教师用书:4.6正弦定理、余弦定理
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    2021版高考数学苏教版一轮教师用书:4.6正弦定理、余弦定理

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    第六节 正弦定理、余弦定理

    [最新考纲] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

    1正弦、余弦定理

    ABC中,若角ABC所对的边分别是abcRABC的外接圆半径,则

    定理

    正弦定理

    余弦定理

    内容

    2R.

    a2b2c22bccos A

    b2c2a22cacos B

    c2a2b22abcos C

    变形

    (1)a2Rsin Ab2Rsin B

    c2Rsin C

    (2)abcsin Asin Bsin C

    (3)2R.

    cos A

    cos B

    cos C

    2.三角形常用面积公式

    (1)Sa·ha(ha表示边a上的高)

    (2)Sabsin Cacsin Bbcsin A

    (3)Sr(abc)(r为内切圆半径)

    1ABC中,ABabsin Asin B.

    2三角形中的射影定理

    ABC中,abcos Cccos B

    bacos Cccos A

    cbcos Aacos B.

    3内角和公式的变形

    (1)sin(AB)sin C

    (2)cos(AB)=-cos C.

    4角平分线定理:

    ABC中,若AD是角A的平分线,如图,则.

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)

    (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. (  )

    (2)ABC中,若sin Asin B,则AB. (  )

    (3)ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.

      (  )

    (4)b2c2a20时,ABC为锐角三角形;当b2c2a20时,ABC为直角三角形;当b2c2a20时,ABC为钝角三角形.                            (  )

    [答案](1)× (2) (3)× (4)×

    二、教材改编

    1.已知ABC中,角ABC所对的边分别为abc,若ABa1,则b(  )

    A2         B1

    C.   D.

    D [b×2.]

    2.在ABC中,若a18b24A45°,则此三角形有(  )

    A.无解   B.两解

    C.一解   D.解的个数不确定

    B [bsin A24sin 45°12

    121824,即bsin Aab.

    此三角形有两解.]

    3.在ABC中,acos Abcos B,则这个三角形的形状为       

    等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理,得sin Acos Asin Bcos B

    sin 2Asin 2B

    所以2A2B2Aπ2B

    ABAB

    所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.]

    4.在ABC中,A60°AC4BC2,则ABC的面积等于       

    2 [因为,所以sin B1,所以 B90°

    所以AB2

    所以SABC×2×22.]

    考点1 利用正、余弦定理解三角形问题

     解三角形的常见题型及求解方法

    (1)已知两角AB与一边a,由ABCπ,可先求出角Cb,再求出c.

    (2)已知两边bc及其夹角A,由a2b2c22bccos A,先求出a,再求出角BC.

    (3)已知三边abc,由余弦定理可求出角ABC.

    (4)已知两边ab及其中一边的对角A,由正弦定理可求出另一边b的对角B,由Cπ(AB),可求出角C,再由可求出c,而通过求角B时,可能有一解或两解或无解的情况.

    (1)(2019·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc,已知asin Absin B4csin Ccos A=-,则(  )

    A6         B5

    C4   D3

    (2)(2019·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc.(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.

    A

    ab2c,求sin C.

    (1)A [asin Absin B4csin C

    由正弦定理得a2b24c2,即a24c2b2.

    由余弦定理得cos A=-6.

    故选A.]

    (2)[] 由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.

    由余弦定理得cos A.

    因为A180°,所以A60°.

    B120°C,由题设及正弦定理得sin Asin(120°C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60°)=-.

    由于C120°,所以sin(C60°)

    sin Csin(C60°60°)

    sin(C60°)cos 60°cos(C60°)sin 60°

    .

     解三角形问题,关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化,三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式,二倍角公式等,作为化简变形的重要依据.

    [教师备选例题]

    (2018·天津高考)ABC中,内角ABC所对的边分别为abc.已知bsin Aacos.

    (1)求角B的大小;

    (2)a2c3,求bsin(2AB)的值.

    [](1)ABC中,由正弦定理

    可得bsin Aasin B

    又由bsin Aacos

    asin Bacos

    sin Bcos

    可得tan B.

    又因为B(0π)可得B.

    (2)ABC由余弦定理及a2c3Bb2a2c22accos B7b.

    bsin Aacos可得sin A.

    因为accos A.

    因此sin 2A2sin Acos A

    cos 2A2cos2A1

    所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B××.

     1.(2019·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc.已知bsin Aacos B0,则B        .

     [bsin Aacos B0.由正弦定理,得-cos Bsin Btan B=-1.B(0π)B.]

    2.在ABC中,AB4AC7BC边上中线AD,则BC        .

    9 [BDDCxADCαADBπα

    ADC中,72x22x×cos α 

    ABD中,42x22x×cos(πα) 

    xBC9.]

    3(2019·贵阳模拟)ABC中,内角ABC的对边abc成公差为2的等差数列,C120°.

    (1)求边长a

    (2)AB边上的高CD的长.

    [](1)由题意得ba2ca4

    由余弦定理cos Ccos 120°,即a2a60,所以a3a=-2(舍去),所以a3.

    (2)法一:(1)a3b5c7

    由三角形的面积公式得

    absinACBc×CD

    所以CD

    AB边上的高CD.

    法二:(1)a3b5c7

    由正弦定理得

    sin A

    RtACD中,CDACsin A5×

    AB边上的高CD.

    考点2 与三角形面积有关的问题

     三角形面积公式的应用原则

    (1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.

    (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

     ABC的内角ABC的对边分别为abc.已知sin Acos A0a2b2.

    (1)c

    (2)[一题多解]DBC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.

    [](1)由已知条件可得tan A=-A(0π),所以A,在ABC中,由余弦定理得284c24ccos ,即c22c240

    解得c=-6(舍去),或c4.

    (2)法一:如图,由题设可得CAD

    所以BADBACCAD

    ABD面积与ACD面积的比值为1,又ABC的面积为×4×2sinBAC2

    所以ABD的面积为.

    法二:由余弦定理得cos C

    RtACD中,cos C

    所以CD,所以ADDBCD

    所以SABDSACD×2××sin C×.

    法三:BAD,由余弦定理得cos C

    所以CD,所以AD

    所以SABD×4××sinDAB.

    (1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,最后代入公式得面积;(3)若求面积的最值,一般表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,也可结合基本不等式求解.

    [教师备选例题]

    已知ABC的面积为3AC2BC6,延长BCD,使ADC45°.

    (1)AB的长;

    (2)ACD的面积.

    [](1)因为SABC×6×2×sinACB3,所以sinACBACB30°150°

    ACBADC,且ADC45°,所以ACB150°

    ABC中,由余弦定理得AB212362×2×6cos 150°84,所以AB2.

     (2)ACD中,因为ACB150°ADC45°

    所以CAD105°

    由正弦定理得

    所以CD3

    ACD180°150°30°

    所以SACDAC·CD·sinACD×2×(3)×.

     1.(2019·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc.b6a2cB,则ABC的面积为           

    6 [法一:因为a2cb6B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c22×2c×ccos ,得c2,所以a4,所以ABC的面积Sacsin B×4×2×sin 6.

    法二:因为a2cb6B,所以由余弦定理b2a2c22accos B,得62(2c)2c22×2c×ccos ,得c2,所以a4,所以a2b2c2,所以A,所以ABC的面积S×2×66.]

    2.在ABC中,内角ABC所对的边分别为abc.已知bc2acos B.

    (1)证明:A2B

    (2)ABC的面积S,求角A的大小.

    [](1)证明:由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,故2sin Acos Bsin Bsin(AB)

    sin Bsin Acos Bcos Asin B

    于是sin Bsin(AB)

    AB(0π)0ABπ

    所以Bπ(AB)BAB

    因此Aπ(舍去)A2B所以A2B.

    (2)Sabsin C

    故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B

    sin B0sin Ccos B.

    BC(0π)所以C±B.

    BC时,A

    CB时,A.

    综上,AA.

    考点3 判断三角形的形状

     判断三角形形状的2种思路

    (1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

    (2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用ABCπ这个结论.

     设ABC的内角ABC所对的边分别为abc,若bcos Cccos Basin A,则ABC的形状为(  )

    A.锐角三角形   B.直角三角形

    C.钝角三角形   D.不确定

    B [由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A

    sin(BC)sin2A

    sin(πA)sin2Asin Asin2A.

    A(0π)sin A0sin A1

    A∴△ABC为直角三角形.]

    [母题探究]

    1(变条件)本例中,若将条件变为2sin Acos Bsin C,判断ABC的形状.

    [] 2sin Acos Bsin Csin(AB)

    2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B

    sin(AB)0.

    ABABC的内角.

    AB∴△ABC为等腰三角形.

    2(变条件)本例中,若将条件变为a2b2c2ab,且2cos Asin Bsin C,判断ABC的形状.

    [] a2b2c2abcos C

    0CπC

    又由2cos Asin Bsin Csin(BA)0AB

    ABC为等边三角形.

     在判断三角形的形状时,一定要注意解是否唯一,并注重挖掘隐含条件.另外,在变形过程中要注意角ABC的范围对三角函数值的影响,在等式变形中,一般两边不要约去公因式,应提取公因式,以免漏解.

     1.ABC中,角ABC的对边分别为abc,若(bca)(bca)3bc,则ABC的形状是(  )

    A.直角三角形   B.等腰非等边三角形

    C.等边三角形   D.钝角三角形

    C [因为,所以.所以bc.(bca)(bca)3bc,所以b2c2a2bc,所以cos A.因为A(0π),所以A.所以ABC是等边三角形.]

    2.已知ABC中,角ABC的对边分别是abc,若2c,则ABC的形状是(  )

    A.等边三角形   B.锐角三角形

    C.等腰直角三角形   D.钝角三角形

    C [因为2c,所以由正弦定理可得2sin C,而22,当且仅当sin Asin B时取等号.所以2sin C2,即sin C1.sin C1,故可得sin C1,所以C90°.又因为sin Asin B,所以AB.故三角形为等腰直角三角形.故选C.]

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