2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第4章第6节　正弦定理、余弦定理

第六节　正弦定理、余弦定理
[最新考纲]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．


1．正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R.
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(3)＝＝2R.
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝

2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin_B＝bcsin_A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

1．在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B．
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C.

4．角平分线定理：在△ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　)
(2)在△ABC中，若sin A＞sin B，则A＞B.(　　)
(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
(4)当b2＋c2－a2＞0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，△ABC为钝角三角形．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　 B．1
C. D.
D　[由＝得b＝＝＝×2＝.]
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　)
A．无解　　 B．两解
C．一解 D．解的个数不确定
B　[∵bsin A＝24sin 45°＝12，
∴12＜18＜24，即bsin A＜a＜b.
∴此三角形有两解．]
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
等腰三角形或直角三角形　[由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]
4．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
2　[因为＝，所以sin B＝1，所以 B＝90°，
所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.]

考点1　利用正、余弦定理解三角形问题
　解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
　(1)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　 B．5
C．4 D．3
(2)(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
①求A；
②若a＋b＝2c，求sin C.
(1)A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.
故选A.]
(2)[解]　①由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
②由①知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，
故sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝.
　解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据．
[教师备选例题]
(2018·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos(B－)．
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
[解]　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，
可得bsin A＝asin B，
又由bsin A＝acos(B－)，
得asin B＝acos(B－)，
即sin B＝cos(B－)，
可得tan B＝.
又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos(B－)，可得sin A＝.
因为a＜c，故cos A＝.
因此sin 2A＝2sin Acos A＝，
cos 2A＝2cos2A－1＝，
所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.
　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．
　[∵bsin A＋acos B＝0，∴＝.由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝.]
2．在△ABC中，AB＝4，AC＝7，BC边上中线AD＝，则BC＝________．
9　[设BD＝DC＝x，∠ADC＝α，∠ADB＝π－α，
在△ADC中，72＝x2＋()2－2x×cos α，①
在△ABD中，42＝x2＋()2－2x×cos(π－α)，②
①＋②得x＝，
∴BC＝9.]
3．(2019·贵阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
[解]　(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
absin∠ACB＝c×CD，
所以CD＝＝＝，
即AB边上的高CD＝.
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得＝＝，
即sin A＝，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，
即AB边上的高CD＝.
考点2　与三角形面积有关的问题
　三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.
(1)求c；
(2)[一题多解]设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
[解]　(1)由已知条件可得tan A＝－，A∈(0，π)，所以A＝，在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos ，即c2＋2c－24＝0，
解得c＝－6(舍去)，或c＝4.
(2)法一：如图，由题设可得∠CAD＝，
所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，
故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1，
又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，
所以△ABD的面积为.
法二：由余弦定理得cos C＝，
在Rt△ACD中，cos C＝，
所以CD＝，所以AD＝，DB＝CD＝，
所以S△ABD＝S△ACD＝×2××sin C＝×＝.
法三：∠BAD＝，由余弦定理得cos C＝，
所以CD＝，所以AD＝，
所以S△ABD＝×4××sin∠DAB＝.
　(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．
[教师备选例题]
已知△ABC的面积为3，AC＝2，BC＝6，延长BC至D，使∠ADC＝45°.
(1)求AB的长；
(2)求△ACD的面积．
[解]　(1)因为S△ABC＝×6×2×sin∠ACB＝3，
所以sin∠ACB＝，∠ACB＝30°或150°，
又∠ACB＞∠ADC，且∠ADC＝45°，所以∠ACB＝150°，
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝12＋36－2×2×6cos 150°＝84，所以AB＝＝2.
(2)在△ACD中，因为∠ACB＝150°，∠ADC＝45°，
所以∠CAD＝105°，
由正弦定理得＝，
所以CD＝3＋，
又∠ACD＝180°－150°＝30°，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×2×(3＋)×＝.
　1.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为____________．
6　[法一：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×2×sin ＝6.
法二：因为a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面积S＝×2×6＝6.]
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.
(1)证明：A＝2B；
(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小．
[解]　(1)证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin Acos B，
故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)
＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B，
于是sin B＝sin(A－B)．
又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，
所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，
因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.
(2)由S＝，得absin C＝，
故有sin Bsin C＝sin A＝sin 2B＝sin Bcos B，
由sin B≠0，得sin C＝cos B.
又B，C∈(0，π)．所以C＝±B.
当B＋C＝时，A＝；
当C－B＝时，A＝.
综上，A＝或A＝.
考点3　判断三角形的形状
　判断三角形形状的2种思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
B　[由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形．]
[母题探究]
1．(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos B＝sin C，判断△ABC的形状．
[解]　∵2sin Acos B＝sin C＝sin(A＋B)，
∴2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
∴sin(A－B)＝0.
又A，B为△ABC的内角．
∴A＝B，∴△ABC为等腰三角形．
2．(变条件)本例中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状．
[解]　∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0＜C＜π，∴C＝，
又由2cos Asin B＝sin C得sin(B－A)＝0，∴A＝B，
故△ABC为等边三角形．
　在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解．
　1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形
B．等腰非等边三角形
C．等边三角形
D．钝角三角形
C　[因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．]
2．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC的形状是(　　)
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
C　[因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号．所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以C＝90°.又因为sin A＝sin B，所以A＝B.故三角形为等腰直角三角形．故选C.]