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    2021版新高考数学一轮教师用书:第4章第7节 正弦定理、余弦定理的综合应用

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    第七节 正弦定理、余弦定理的综合应用

    [考点要求] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

    (对应学生用书第84)

    1仰角和俯角

    与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方叫仰角目标视线在水平视线下方叫俯角(如图).

           图

    2方向角

    相对于某正方向的水平角如南偏东30°北偏西45°等.

    3方位角

    指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角B点的方位角为α(如图).

    4坡度(又称坡比)

    坡面的垂直高度与水平长度之比.

    一、思考辨析(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1)A处望B处的仰角为αB处望A处的俯角为βαβ的关系为αβ180°.(  )

    (2)俯角是铅垂线与视线所成的角其范围为[0].(  )

    (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(  )

    (4)方位角大小的范围是[02π)方向角大小的范围一般是[0).(  )

    [答案] (1)× (2)× (3) (4)

    二、教材改编

    1如图所示AB两点在河的两岸一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C测出AC的距离为50 mACB45°CAB105°就可以计算出AB两点的距离为________m.

    50 [由正弦定理得

    B30°AB50(m).]

    2.如图在山脚A测得山顶P的仰角为30°沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到BB处测得山顶P的仰角为60°则山高h________米.

    a [由题图可得PAQα30°

    BAQβ15°PABPABαβ15°

    PBCγ60°

    ∴∠BPA(90°α)(90°γ)γα30°

    PBa

    PQPCCQPB·sin γa sin β

    a×sin 60°a sin 15°a.]

     

    3.如图所示DCB三点在地面的同一条直线上DCaCD两点测得A点的仰角分别为60°30°A点离地面的高度AB________

    a [由已知得DAC30°ADC为等腰三角形ACa所以在RtACBABAC·sin ACBa.]

    (对应学生用书第85)

    考点1 解三角形中的实际问题

     利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤

    (1)分析——理解题意分清已知与未知画出示意图.

    (2)建模——根据已知条件与求解目标把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中建立一个解斜三角形的数学模型.

    (3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形求得数学模型的解.

    (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义从而得出实际问题的解.

     (1)江岸边有一炮台高30 m江中有两条船船与炮台底部在同一水平面上由炮台顶部测得俯角分别为45°60°而且两条船与炮台底部连线成30°则两条船相距________m.

    (2)如图高山上原有一条笔直的山路BC现在又新架设了一条索道AC小李在山脚 B处看索道AC发现张角ABC120°;从B处攀登400到达D回头看索道AC发现张角ADC150°;从D处再攀登800可到达C则索道AC的长为________米.

    (1)10 (2)400 [(1)如图OMAO tan 45°30(m)

    ONAO tan 30°×30

    10(m)

    MON由余弦定理得

    MN

    10(m).

    (2)ABDBD400ABD120°.

    因为ADC150°

    所以ADB30°.

    所以DAB180°120°30°30°.

    由正弦定理可得

    所以

    AD400().

    ADCDC800ADC150°由余弦定理得AC2AD2CD2AD·CD·cos ADC(400)280022×400×800×cos 150°4002×13

    解得AC400().

    故索道AC的长为400]

     

     

     (1)实际测量中的常见问题

    AB

    图形

    需要测量的元素

    解法

    求竖直高度

    底部可达

    ACBαBCa

    解直角三角形ABa tan α

    底部不可达

    ACBαADBβCDa

    解两个直角三角形AB

    求水平距离

    山两侧

    ACBαACbBCa

    用余弦定理AB

    河两岸

    ACBαABCβCBa

    用正弦定理AB

    河对岸

    ADCαBDCβBCDδACDγCDa

    ADCAC;在BDCBC;在ABC应用余弦定理求AB

    (2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图)并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等).

     1.一船以每小时15 km的速度向东航行船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°的方向上行驶4 h船到达C看到这个灯塔在北偏东15°的方向上这时船与灯塔的距离为________km.

    30 [如图由题意知BAC30°ACB105°

    B45°AC60

    由正弦定理得

    BC30(km).]

    2.如图所示位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里B处有一艘渔船遇险在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里C处的乙船现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援cos θ的值为________

     [ABCAB40AC20BAC120°

    由余弦定理得

    BC2AB2AC22AB·AC·cos 120°2 800

    BC20.

    由正弦定理

    sin ACB·sin BAC.

    BAC120°ACB为锐角

    cos ACB.

    θACB30°cos θcos (ACB30°)

    cos ACB cos 30°sin ACB sin 30°.]

    考点2 平面几何中的解三角形问题

     与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路

    求解平面图形中的计算问题关键是梳理条件和所求问题的类型然后将数据化归到三角形中利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.

    具体解题思路如下:

    (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解;

    (2)寻找各个三角形之间的联系交叉使用公共条件求出结果.

     如图在平面四边形ABCDABCABADAB1.

    (1)ACABC的面积;

    (2)ADCCD4sin CAD.

    [] (1)ABC由余弦定理得AC2AB2BC22AB·BC·cos ABC

    51BC2BC解得BC

    所以ABC的面积SABCAB·BC·sin ABC×1××.

    (2)CADθACD由正弦定理得

    ABCBACθBCAπ(θ)θ

    由正弦定理得

    ①②两式相除

    4(sin θcos θ)sin θ整理得sin θ2cos θ.

    又因为sin2θcos2θ1

    所以sinθsin CAD.

     做题过程中要用到平面几何中的一些知识点如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合才能顺利解决问题.

     (2019·湖南衡阳第三次联考)如图在平面四边形ABCD0DABAD2AB3ABD的面积为ABBC.

    (1)sin ABD的值;

    (2)BCDBC的长.

    [] (1)因为ABD的面积SAD×AB sin DAB×2×3sinDAB

    所以sin DAB.

    0DAB

    所以DAB

    所以cos DABcos .

    由余弦定理得

    BD

    由正弦定理得sin ABD.

    (2)因为ABBC所以ABC

    sin DBCsin (ABD)cos ABD.

    BCD由正弦定理可得CD.

    由余弦定理DC2BC22DC·BC cos DCBBD2

    可得3BC24BC50

    解得BCBC=-(舍去).

    BC的长为.

    考点3 与三角形有关的最值(范围)问题

     解三角形问题中求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为:

    要建立所求量(式子)与已知角或边的关系然后把角或边作为自变量所求量(式子)的值作为函数值转化为函数关系将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制以及三角形自身范围限制要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善避免结果的范围过大.

     (2019·全国卷)ABC的内角ABC的对边分别为abc.已知a sin b sin A.

    (1)B

    (2)ABC为锐角三角形c1ABC面积的取值范围.

    [] (1)由题设及正弦定理得sin A sin

    sin B sin A.

    因为sin A0所以sin sin B.

    ABC180°可得sin cos cos 2sin cos .

    因为cos 0sin 因此B60°.

    (2)由题设及(1)ABC的面积SABCa.

    由正弦定理得a.

    由于ABC为锐角三角形0°<A<90°0°<C<90°.(1)AC120°所以30°C<90°a2从而SABC.

    因此ABC面积的取值范围是.

     求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点

    (1)涉及求范围的问题一定要搞清已知变量的范围利用已知的范围进行求解已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化.

    (2)注意题目中的隐含条件如本例中锐角三角形的条件又如ABCπ0Aπbcabc三角形中大边对大角等.

    [教师备选例题]

    ABC的内角ABC的对边分别为abcab tan AB为钝角.

    (1)证明:BA

    (2)sin Asin C的取值范围.

    [] (1)证明:ab tan A及正弦定理

    所以sin Bcos Asin Bsin (A).

    因为B为钝角所以A为锐角

    所以A(π)

    BABA.

    (2)(1)Cπ(AB)π(2A)2A0所以A(0).

    于是sin Asin Csin Asin (2A)

    sin Acos 2A=-2sin2AsinA1

    =-2(sin A)2.

    因为0A所以0sin A

    因此<-2(sin A)2.

    由此可知sin Asin C的取值范围是(].

     1.在钝角ABCABC所对的边分别为abcB为钝角a cos Ab sin Asin Asin C的最大值为(  )

    A   B   C1   D

    B [a cos Ab sin A由正弦定理可得sin A cos Asin Bsin Asin A0cos Asin BB为钝角

    BAsin Asin Csin Asin (AB)sin Acos 2Asin A12sin2A=-2(sinA)2

    sin Asin C的最大值为.]

    2ABCbB60°(1)ABC周长l的范围;

    (2)ABC面积最大值.

    [] (1)lac

    b23a2c22ac cos 60°a2c2ac

    (ac)23ac3

    (ac)233ac3×()2

    ac2

    当仅仅当ac

    ac2l3.

    (2)b23a2c2ac2acac

    ac3

    当且仅当ac

    SABCac sin B×3×sin 60°

    ∴△ABC面积最大值为.

     

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