2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第九章　第5讲　第1课时　椭圆及其性质

第5讲　椭　圆

一、知识梳理

1．椭圆的定义

[注意]　若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a<|F1F2|，则动点的轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

常用结论

1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系

(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.

(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.

(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.

2．椭圆的常用性质

(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.

(2)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦长为.

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.

(4)设P，A，B是椭圆上不同的三点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为定值－.

二、教材衍化  

1．椭圆16x2＋25y2＝400的长轴的长        ，离心率        ．

答案：10　

2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是        ．

答案：＋＝1

3．椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A、B两点，则△F1AB的周长为        ，△AF1F2的周长为        ．

答案：20　16

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　　)

(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　)

(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(　　)

(4)＋＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．(　　)

(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

二、易错纠偏

(1)忽视椭圆定义中的限制条件；

(2)忽视椭圆标准方程焦点位置的讨论．

1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是        ．

解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．

答案：线段F1F2

2．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为        ．

答案：＋＝1或＋＝1

第1课时　椭圆及其性质

　　　　　　椭圆的定义及应用(典例迁移)

(1)(2020·黑龙江哈尔滨六中二模)设椭圆C：＋y2＝1的左焦点为F，直线l：y＝kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|＋|BF|的值是(　　)

A．2  B．2 

C．4  D．4

(2)(2020·宿州模拟)已知F1、F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b＝        ．

【解析】　(1)设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，

因为OA＝OB，OF＝OF1，

所以四边形AFBF1是平行四边形．

所以|BF|＝|AF1|，

所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF1|＝2a＝4，故选C.

(2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，

则

所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，

所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.

【答案】　(1)C　(2)3

【迁移探究】　(变条件)本例(2)中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．

解：由原题得b2＝a2－c2＝9，又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，故椭圆的方程为＋＝1.

椭圆定义的应用主要有两个方面： 一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．

1．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为(　　)

A．2  B．3 

C．5  D．7

解析：选D.因为a2＝25，所以2a＝10，所以由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.

2．(2020·安徽马鞍山模拟)已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则S△F1PF2＝        ．

解析：由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝×4sin 60°＝.

答案：

　　　　　　椭圆的标准方程(师生共研)

(1)(一题多解)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

(2)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为        ．

【解析】　(1)法一(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.

由椭圆的定义知，2a＝＋，解得a＝2.

由c2＝a2－b2，可得b2＝4.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法二(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(k<9)，将点(，－)的坐标代入，可得＋＝1，解得k＝5或k＝21(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

法三(待定系数法)：设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．由题意得，解得，

所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)直线与坐标轴的交点为(0，1)，(－2，0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，

所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.

当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，

所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1.

【答案】　(1)C　(2)＋y2＝1或＋＝1

(1)用定义法求椭圆的标准方程

先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：

①b2＝a2－c2；

②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；

③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.

(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

[提醒]　当椭圆焦点位置不明确时，可设为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，且A≠B)．

1．已知动点M到两个定点A(－2，0)，B(2，0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋x2＝1  D．＋＝1

解析：选D.由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1.故选D.

2．设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2，0)，离心率为，则此椭圆的方程为        ．

解析：椭圆的右焦点为(2，0)，所以m2－n2＝4，e＝＝，所以m＝2，代入m2－n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为＋＝1.

答案：＋＝1

3．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是        ．

解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．

由题意知

解得a2＝16，b2＝12.

所以椭圆C的方程为＋＝1.

答案：＋＝1

　　　　　　椭圆的几何性质(多维探究)

角度一　椭圆的长轴、短轴、焦距

(2020·抚州质检)已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)

A．8  B．7 

C．6  D．5

【解析】　因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，

所以解得6<m<10.

因为焦距为4，所以c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8.

【答案】　A

角度二　求椭圆离心率的值(范围)

(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)

A．1－  B．2－ 

C.  D．－1

(2)在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)

A.   B.

C.  D．

【解析】　(1)由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.

由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，

所以(＋1)c＝2a，

故椭圆C的离心率e＝＝＝－1.故选D.

(2)因为OPMN是平行四边形，

所以MN∥OP且MN＝OP，

故yN＝，代入椭圆方程可得xN＝，

所以kON＝＝tan α.

又α∈，所以<<1，

所以a<b，a2<3(a2－c2)，解得0<<，故选A.

【答案】　(1)D　(2)A

求椭圆离心率或其取值范围的方法

(1)求出a，b或a，c的值，代入e2＝＝＝1－直接求．

(2)先根据条件得到关于a，b，c的齐次等式(不等式)，结合b2＝a2－c2转化为关于a，c的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式)，再解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

角度三　与椭圆性质有关的最值问题

已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0，4)，则|PA|的最大值为(　　)

A.   B. 

C．5  D．2

【解析】　设P(x0，y0)，则由题意得x2＝4(1－y2)，

所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16

＝－3y－8y0＋20＝－3＋，

又－1≤y0≤1，

所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，

即|PA|的最大值为5.故选C.

【答案】　C

求解最值、取值范围问题的技巧

(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．

(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b，0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．

(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解．

1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)

A．(－3，0)  B．(－4，0) 

C．(－10，0)  D．(－5，0)

解析：选D.因为圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，

所以圆心坐标为(3，0)，所以c＝3.又b＝4，

所以a＝＝5.

因为椭圆的焦点在x轴上，

所以椭圆的左顶点为(－5，0)．

2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2  B．3 

C．6  D．8

解析：选C.由椭圆＋＝1可得F(－1，0)，点O(0，0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，

则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3

＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，

当且仅当x＝2时，·取得最大值6.

3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F是椭圆的右焦点，A为左顶点，点P在椭圆上，PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则椭圆的离心率为        ．

解析：因为点P在椭圆上，且PF⊥x轴，所以|PF|＝，

又因为|AF|＝a＋c，|PF|＝|AF|，

所以4(a2－c2)＝a(a＋c)，即4(a－c)＝a，则3a＝4c，

即＝.

答案：

[基础题组练]

1．已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋＝1的焦点坐标为(　　)

A．(±，0)  B．(0，±)

C．(±，0)或(±，0)  D．(0，±)或(±，0)

解析：选B.因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，即m＝4，所以椭圆x2＋＝1的焦点坐标为(0，±)，故选B.

2．(2019·高考北京卷)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则(　　)

A．a2＝2b2  B．3a2＝4b2 

C．a＝2b  D．3a＝4b

解析：选B.由题意得，＝，所以＝，又a2＝b2＋c2，所以＝，＝，所以4b2＝3a2.故选B.

3．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<144)的(　　)

A．长轴长相等  B．短轴长相等

C．离心率相等  D．焦距相等

解析：选D.曲线＋＝1中c2＝169－k－(144－k)＝25，所以c＝5，所以两曲线的焦距相等．

4．(2020·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

解析：选D.由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选D.

5．(2020·昆明市诊断测试)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若△BAF2为等腰三角形，则＝(　　)

A.   B. 

C.  D．3

解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|＋|BF2|＝2a，|AF1|＋|AF2|＝2a，由题意知|AB|＝|AF2|，所以|BF1|＝|BF2|＝a，|AF1|＝，|AF2|＝.所以＝.故选A.

6．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为        ．

解析：由题意可得b＝c，则b2＝a2－c2＝c2，a＝c，

故椭圆的离心率e＝＝.

答案：

7．(2020·江西南昌模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为4，则椭圆的标准方程为        ．

解析：由题意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，

所以解得

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

答案：＋＝1

8．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为            ．

解析：通解：由椭圆C：＋＝1，得c＝＝4，不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由椭圆的定义得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底边MF2上的高h＝＝＝2，所以|MF2|·h＝|F1F2|·yM，即×4×2＝×8×yM，解得yM＝，代入椭圆方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故点M的坐标为(3，)．

优解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，则由题意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由椭圆的焦半径公式得|MF1|＝exM＋6＝xM＋6＝8，解得xM＝3，代入椭圆方程得yM＝，故点M的坐标为(3，)．

答案：(3，)

9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．

解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，

依题意得因此a＝5，b＝4，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2)易知|yP|＝4，又c＝3，

所以S△F1PF2＝|yP|×2c＝×4×6＝12.

10．分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程．

(1)与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－)；

(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5，3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点．

解：(1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t1或＋＝t2(t1，t2＞0)，因为椭圆过点(2，－)，所以t1＝＋＝2，或t2＝＋＝.

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，

由已知条件得

解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.

故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

[综合题组练]

1．(2020·合肥市第二次质量检测)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP，则该椭圆的离心率是(　　)

A.   B. 

C.  D．

解析：选D.如图，由题意知，P为以F1A为直径的圆上一点，所以F1P⊥AP，结合F2B∥AP知F1P⊥F2B.又|F1B|＝|F2B|，所以△BF1F2为等腰直角三角形，所以|OB|＝|OF2|，即b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，即a＝c，所以椭圆的离心率e＝＝，故选D.

2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为(　　)

A.＋y2＝1   B.＋＝1

C.＋＝1  D．＋＝1

解析：选B.由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2()2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.

3．已知椭圆C：x2＋2y2＝4.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1.

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.

故椭圆C的离心率e＝＝.

(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·＝0，

即tx0＋2y0＝0，

解得t＝－.又x＋2y＝4，

所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2

＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0<x≤4)．

因为＋≥4(0<x≤4)，

当且仅当x＝4时等号成立，

所以|AB|2≥8.

故线段AB长度的最小值为2.

4．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．

(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；

(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．

解：(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(＋1)c，故C的离心率e＝＝－1.

(2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当

|y|·2c＝16，·＝－1，＋＝1，

即c|y|＝16，①

x2＋y2＝c2，②

＋＝1.③

由②③及a2＝b2＋c2得y2＝，又由①知y2＝，故b＝4.

由②③得x2＝(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.

当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.

所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞)．