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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第2讲 两直线的位置关系
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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第九章 第2讲 两直线的位置关系

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    2讲 两直线的位置关系

    一、知识梳理

    1两直线的平行、垂直与其斜率的关系

    条件

    两直线位置关系

    斜率的关系

    两条不重合的直线l1l2斜率分别为k1k2

    平行

    k1k2

    k1k2都不存在

    垂直

    k1k2=-1

    k1k2一个为零、另一个不存在

    2.两条直线的交点

    3种距离

    点点距

    P1(x1y1)P2(x2y2)之间的距离

    |P1P2|

    点线距

    P0(x0y0)到直线lAxByC0的距离

    d

    常用结论

    1会用两个充要条件

    (1)两直线平行或重合的充要条件

    直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20平行或重合的充要条件是A1B2A2B10.

    (2)两直线垂直的充要条件

    直线l1A1xB1yC10与直线l2A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.

    2直线系方程

    (1)与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mRmC)

    (2)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAyn0(nR)

    (3)过直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1λ(A2xB2yC2)0(λR)但不包括l2.

    3六种常用对称关系

    (1)(xy)关于原点(00)的对称点为(xy)

    (2)(xy)关于x轴的对称点为(xy)关于y轴的对称点为(xy)

    (3)(xy)关于直线yx的对称点为(yx)关于直线yx的对称点为(yx)

    (4)(xy)关于直线xa的对称点为(2axy)关于直线yb的对称点为(x2by)

    (5)(xy)关于点(ab)的对称点为(2ax2by)

    (6)(xy)关于直线xyk的对称点为(kykx)关于直线xyk的对称点为(kyxk)

    二、教材衍化  

    1.两直线4x3y102xy10的交点坐标为       

    答案:(42)

    2已知点(a2)(a0)到直线lxy30的距离为1a等于       

    答案:1

    3已知直线l1ax3y10l22x(a1)y10互相平行则实数a的值是         

    解析:由直线l1l2平行可得解得a=-3.

    答案:3

    一、思考辨析

    判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1)当直线l1l2的斜率都存在时一定有k1k2l1l2.(  )

    (2)如果两条直线l1l2垂直则它们的斜率之积一定等于-1.(  )

    (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解则两直线相交.(  )

    (4)已知直线l1A1xB1yC10l2A2xB2yC20(A1B1C1A2B2C2为常数)若直线l1l2A1A2B1B20.(  )

    (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(  )

    答案:(1)× (2)× (3) (4) (5)

    二、易错纠偏

    (1)求平行线间距离忽视xy的系数相同;

    (2)判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况.

    1两条平行直线3x4y1206x8y110之间的距离为(  )

    A.            B.

    C7  D

    解析:D.直线3x4y120可化为6x8y240所以两平行直线之间的距离为.

    2已知直线l1axy40l22xay10l1l2a       

    答案:0

          两条直线平行与垂直(师生共研)

    (一题多解)已知直线l1ax2y60和直线l2x(a1)ya210.

    (1)l1l2a的值;

    (2)l1l2a的值.

    】 (1)法一:a1l1x2y60

    l2x0l1不平行于l2

    a0l1y=-3l2xy10l1不平行于l2

    a1a0

    两直线方程可化为l1y=-x3l2yx(a1)l1l2可得解得a=-1.

    综上可知a=-1.

    法二:l1l2

    a=-1.

    (2)法一:a1l1x2y60l2x0l1l2不垂直a1不符合;

    a1l1y=-x3l2yx(a1)

    l1l2·=-1a.

    法二:因为l1l2所以A1A2B1B20

    a2(a1)0a.

    (1)两直线平行、垂直的判断方法

    若已知两直线的斜率存在.

    两直线平行两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.

    两直线垂直两直线的斜率之积等于-1.

    [提醒] 判断两条直线位置关系应注意:

    1〉注意斜率不存在的特殊情况.

    2〉注意xy的系数不能同时为零这一隐含条件.

    (2)由两条直线平行与垂直求参数的值的解题策略

    在解这类问题时一定要前思后想”.“前思就是在解题前考虑斜率不存在的可能性是否需要分情况讨论;后想就是在解题后检验答案的正确性看是否出现增解或漏解.

    1已知直线4xmy60与直线5x2yn0垂直垂足为(t1)n的值为(  )

    A7  B9 

    C11  D7

    解析:A.由直线4xmy60与直线5x2yn0垂直得202m0m10.直线4x10y60过点(t1)所以4t1060t=-1.(11)又在直线5x2yn0所以-52n0n7.

    2求满足下列条件的直线方程.

    (1)过点P(13)且平行于直线x2y30

    (2)已知A(12)B(31)线段AB的垂直平分线.

    解:(1)设直线方程为x2yc0P(13)代入直线方程得c7

    所以直线方程为x2y70.

    (2)AB的中点为

    直线AB的斜率kAB=-

    故线段AB垂直平分线的斜率k2

    所以其方程为y2(x2)4x2y50.

         两条直线的交点与距离问题(多维探究)

    角度一 两直线的交点与直线过定点

    (1)对于任给的实数m直线(m1)x(2m1)ym5都通过一定点则该定点的坐标为(  )

    A(94)  B(94) 

    C(94)  D(94)

    (2)经过两直线l1x2y40l2xy20的交点P且与直线l33x4y50垂直的直线l的方程为       

    解析】 (1)(m1)x(2m1)ym5即为m(x2y1)(xy5)0故此直线过直线x2y10和-xy50的交点.由得定点的坐标为(94).故选A.

    (2)由方程组P(02).因为ll3所以直线l的斜率k=-所以直线l的方程为y2=-x4x3y60.

    答案】 (1)A (2)4x3y60

    角度二 三种距离问题

    (1)已知点P(11)A(10)B(01)ABP的面积为       

    (2)若两平行直线l1x2ym0(m>0)l22xny60之间的距离是mn       

    解析】 (1)因为A(10)B(01)所以|AB|直线AB的方程为xy10则点P(11)到直线AB的距离d所以ABP的面积为××.

    (2)因为l1l2平行所以1×n2×(2)1×(6)2×m解得n=-4m3所以直线l2x2y30.l1l2之间的距离是所以m2m=-8(舍去)所以mn=-2.

    答案】 (1) (2)2

    两种距离的求解思路

    (1)点到直线的距离的求法

    可直接利用点到直线的距离公式来求但要注意此时直线方程必须为一般式.

    (2)两平行直线间的距离的求法

    转化法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;

    利用两平行线间的距离公式(利用公式前需把两平行线方程中xy的系数化为相同的形式)

    1与直线l13x2y60和直线l26x4y30等距离的直线方程是       

    解析:l26x4y30化为3x2y0

    所以l1l2平行设与l1l2等距离的直线l的方程为3x2yc0

    |c6||c|

    解得c=-

    所以l的方程为12x8y150.

    答案:12x8y150

    2l1l2是分别经过A(11)B(01)两点的两条平行直线l1l2间的距离最大时直线l1的方程是       

    解析:当两条平行直线与AB两点连线垂直时两条平行直线间的距离最大.又kAB2所以两条平行直线的斜率为k=-所以直线l1的方程是y1=-(x1)x2y30.

    答案:x2y30

          对称问题(典例迁移)

    已知直线l2x3y10A(12).求:

    (1)A关于直线l的对称点A的坐标;

    (2)直线m3x2y60关于直线l的对称直线m的方程.

    】 (1)A′(xy)由已知得

    解得所以A.

    (2)在直线m上取一点M(20)

    M(20)关于直线l的对称点M必在直线m上.

    M′(ab)

    解得M.

    设直线m与直线l的交点为N

    则由N(43)

    又因为m经过点N(43)

    所以由两点式得直线m的方程为9x46y1020.

    迁移探究】 (变问法)在本例条件下求直线l关于点A(12) 对称的直线l的方程.

    解:P(xy)l上任意一点P(xy)关于点A(12)的对称点为P′(2x4y)

    因为P在直线l

    所以2(2x)3(4y)10

    2x3y90.

    1与直线3x4y50关于x轴对称的直线方程为       

    解析:A(xy)为所求直线上的任意一点

    A′(xy)在直线3x4y503x4(y)50故所求直线方程为3x4y50.

    答案:3x4y50

    2已知点A(13)关于直线ykxb对称的点是B(21)则直线ykxbx轴上的截距是       

    解析:由题意得线段AB的中点在直线ykxb解得k=-b所以直线方程为y=-x.y0即-x0解得x故直线ykxbx轴上的截距为.

    答案:

    思想方法系列13 妙用直线系求直线方程

    一、平行直线系

    由于两直线平行它们的斜率相等或它们的斜率都不存在因此两直线平行时它们的一次项系数与常数项有必然的联系.

    求与直线3x4y10平行且过点(12)的直线l的方程.

    】 依题意设所求直线方程为3x4yC10(C11)因为直线过点(12)

    所以3×14×2C10

    解得C1=-11.

    因此所求直线方程为3x4y110.

    先设与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10(C1C)再由其他条件求C1. 

    二、垂直直线系

    由于直线A1xB1yC10A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20因此当两直线垂直时它们的一次项系数有必然的联系可以考虑用直线系方程求解.

    求经过A(21)且与直线2xy100垂直的直线l的方程.

    】 因为所求直线与直线2xy100垂直所以设该直线方程为x2yC10又直线过点(21)所以有22×1C10解得C10所以所求直线方程为x2y0.

    先设与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10再由其他条件求出C1.

    三、过直线交点的直线系

    求经过直线l13x2y10l25x2y10的交点且垂直于直线l33x5y60的直线l的方程.

    】 法一:将直线l1l2的方程联立

    解得即直线l1l2的交点为(12)

    由题意得直线l3的斜率为

    又直线ll3所以直线l的斜率为-

    则直线l的方程是y2=-(x1)

    5x3y10.

    法二:由于ll3所以可设直线l的方程是5x3yC0将直线l1l2的方程联立

    解得即直线l1l2的交点为(12)

    则点(12)在直线l所以5×(1)3×2C0解得C=-1

    所以直线l的方程为5x3y10.

    法三:设直线l的方程为3x2y1λ(5x2y1)0

    整理得(35λ)x(22λ)y(1λ)0.

    由于ll3所以3(35λ)5(22λ)0解得λ

    所以直线l的方程为5x3y10.

    本题中的解法二、解法三均是利用直线系设出直线l的方程而解法三是利用相交直线系设出方程避免了求直线l1l2的交点坐标方便简捷是最优解法.

     直线l1xy40l2xy20的交点为P直线l2xy10.

    (1)Pl平行的直线方程为           

    (2)Pl垂直的直线方程为           

    解析:

    所以l1l2的交点为(13)

    (1)设直线方程为2xyc0

    23c0

    所以c1

    所以所求直线方程为2xy10.

    (2)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc012×3c0

    所以c=-7

    所以所求直线方程为x2y70.

    答案:(1)2xy10 (2)x2y70

    [基础题组练]

    1已知直线ax2y203xy20平行则系数a(  )

    A3  B.-6 

    C.-  D

    解析:B.由直线ax2y20与直线3xy20平行知3a=-6.

    2已知点A(51)B(mm)C(23)ABC为直角三角形且AC边最长则整数m的值为(  )

    A4  B3 

    C2  D1

    解析:D.由题意得B90°

    ABBCkAB·kBC=-1

    所以·=-1.

    解得m1m故整数m的值为1故选D.

    3(2020·安庆模拟)若直线l1x3ym0(m>0)与直线l22x6y30的距离为m(  )

    A7   B. 

    C14  D17

    解析:B.直线l1x3ym0(m>0)2x6y2m0因为它与直线l22x6y30的距离为所以求得m.

    4已知点P(4a)到直线4x3y10的距离不大于3a的取值范围是(  )

    A[1010]  B[105]

    C[55]  D[010]

    解析:D.由题意得P到直线的距离为

    .

    3

    |153a|15

    解得0a10所以a的取值范围是[010]

    5已知坐标原点关于直线l1xy10的对称点为A设直线l2经过点A则当点B(21)到直线l2的距离最大时直线l2的方程为(  )

    A2x3y50  B3x2y50

    C3x2y50  D2x3y50

    解析:B.A(x0y0)依题意可得解得A(11).设点B(21)到直线l2的距离为dd|AB|时取得最大值此时直线l2垂直于直线AB所以直线l2的方程为y1(x1)3x2y50.

    6过两直线l1x3y40l22xy50的交点和原点的直线方程为       

    解析:过两直线交点的直线系方程为x3y4λ(2xy5)0代入原点坐标求得λ=-故所求直线方程为x3y4(2xy5)03x19y0.

    答案:3x19y0

    7已知点A(32)B(14)到直线axy10的距离相等a的值为       

    解析:由点到直线的距离公式可得解得aa=-4.

    答案:或-4

    8已知点A(13)B(52)x轴上有一点P|AP||BP|最大P点坐标为       

    解析:作出A点关于x轴的对称点A′(13)AB所在直线方程为x4y130.y0x13所以点P的坐标为(130)

    答案:(130)

    9已知两直线l1axby40l2(a1)xyb0求满足下列条件的ab的值.

    (1)l1l2且直线l1过点(31)

    (2)l1l2且坐标原点到这两条直线的距离相等.

    解:(1)因为l1l2所以a(a1)b0.

    又因为直线l1过点(31)

    所以-3ab40.

    a2b2.

    (2)因为直线l2的斜率存在l1l2

    所以直线l1的斜率存在.所以1a.

    又因为坐标原点到这两条直线的距离相等

    所以l1l2y轴上的截距互为相反数b.

    联立①②可得a2b=-2ab2.

    10已知ABC的顶点A(51)AB边上的中线CM所在直线的方程为2xy50AC边上的高BH所在直线的方程为x2y50求直线BC的方程.

    解:依题意知kAC=-2A(51)

    所以直线AC的方程为2xy110

    联立直线AC和直线CM的方程

    所以C(43)

    B(x0y0)AB的中点M

    代入2xy502x0y010

    所以所以B(13)所以kBC所以BC的方程为y3(x4)6x5y90.

    [综合题组练]

    1已知直线l1xy10动直线l2(k1)xkyk0(kR)则下列结论中正确的是(  )

    存在k使得l2的倾斜角为90°

    对任意的kl1l2都有公共点

    对任意的kl1l2都不重合

    对任意的kl1l2都不垂直

    A①②④  B①③ 

    C①②③  D②④

    解析:A.对于动直线l2(k1)xkyk0(kR)k0斜率不存在倾斜角为90°正确;由方程组可得(2k1)x0对任意的k此方程有解可得l1l2有交点正确;因为当k=-成立此时l1l2重合错误;

    由于直线l1xy10的斜率为1动直线l2的斜率为=-11故对任意的kl1l2都不垂直正确.

    2mR过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(xy)|PA|·|PB|的最大值是       

    解析:易知定点A(00)B(13)且无论m取何值两直线垂直.

    所以无论PAB重合与否均有|PA|2|PB|2|AB|210(P在以AB为直径的圆上)

    所以|PA|·|PB|(|PA|2|PB|2)5.

    当且仅当|PA||PB|时等号成立.

    答案:5

    3已知直线lxy30.

    (1)求点A(21)关于直线lxy30的对称点A

    (2)求直线l1x2y60关于直线l的对称直线l2的方程.

    解:(1)设点A′(xy′)

    由题知解得

    所以A′(25)

    (2)在直线l1上取一点M(60)M(60)关于直线l的对称点M必在l2上.设对称点为M′(ab)解得M′(39).设l1l的交点为N则由N(129).又因为l2经过点N(129)所以直线l2的方程为

    y9(x3)2xy150.

    4已知方程(2λ)x(1λ)y2(32λ)0与点P(22)

    (1)证明对任意的实数λ该方程都表示直线且这些直线都经过同一定点并求出这一定点的坐标;

    (2)证明:该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

    解:(1)显然2λ与-(1λ)不可能同时为零对任意的实数λ该方程都表示直线.

    因为方程可变形为2xy6λ(xy4)0

    所以解得

    故直线经过的定点为M(22)

    (2)证明:过点P作直线的垂线段PQ由垂线段小于斜线段知|PQ||PM|当且仅当QM重合时|PQ||PM| 

    此时对应的直线方程是y2x2xy40.

    但直线系方程唯独不能表示直线xy40

    所以MQ不可能重合|PM|4

    所以|PQ|<4故所证成立.

     

     

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