2021版高考文科数学（北师大版）一轮复习教师用书：第二章　第6讲　对数函数

第6讲　对数函数

一、知识梳理

1．对数函数的图象与性质

2.反函数

指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

常用结论

对数函数图象的特点

(1)当a>1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，对数函数的图象呈下降趋势．

(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．

(3)在直线x＝1的右侧：当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．

二、教材衍化  

1．函数y＝的定义域为        ．

解析：要使函数有意义，故满足解得<x≤1.

答案：

2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则a，b，c的大小关系是        ．

答案：c>a>b

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数．(　　)

(2)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　)

(3)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)

(4)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，函数图象只经过第一、四象限．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、易错纠偏

(1)忽略真数大于零致误；

(2)忽视对底数的讨论致误．

1．函数f(x)＝log2x2的递增区间为            ．

解析：设t＝x2，因为y＝log2t在定义域上是增函数，所以求原函数的递增区间，即求函数t＝x2的递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

2．函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝        ．

解析：分两种情况讨论：①当a>1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0<a<1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝，所以a＝2或.

答案：2或

　　　　　　对数函数的图象及应用(典例迁移)

(1)若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是(　　)

(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为            ．

【解析】　(1)由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝loga|x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B.

(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，

当a>1时不满足条件，

当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，

可知，只需两图象在上有交点即可，

则f≥g，即2≥loga，则a≤，

所以a的取值范围为.

【答案】　(1)B　(2)

【迁移探究】　(变条件)若本例(2)的条件变为：当0<x≤时，4x<logax，则a的取值范围为        ．

解析：构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出两个函数在上的图象，可知f<g，即2<loga，则a>，所以a的取值范围为.

答案：

对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为：

(1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f(x)，g(x)；

(2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)与g(x)的图象；

(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．

1．函数y＝2log4(1－x)的图象大致是(　　)

解析：选C.函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；函数y＝2log4(1－x)在定义域上单调递减，排除D.选C.

2．已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是        ．

解析：如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．

由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

答案：(1，＋∞)

　　　　　　对数函数的性质及应用(多维探究)

角度一　比较对数值的大小

(2019·高考天津卷)已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．c<b<a　　　　　　　 B．a<b<c

C．b<c<a  D．c<a<b

【解析】　因为a＝log27>log24＝2，b＝log38<log39＝2，且b＝log38>1，c＝0.30.2<0.30＝1，所以c<b<a.故选A.

【答案】　A

比较对数值的大小的方法

角度二　解简单的对数不等式或方程

(一题多解)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f<f，则f>0的解集为(　　)

A．(0，1)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(0，＋∞)

【解析】　法一：因为函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上为单调函数，而<且f<f，所以f(x)＝logax在(0，＋∞)上是增加的，结合对数函数的图象与性质可得f(2x－1)>0⇒2x－1>1，所以x>1.

法二：由f<f知loga>loga，

所以loga2－1<loga3－1，所以loga2<loga3，

所以a>1，由f(2x－1)>0得loga(2x－1)>0，所以2x－1>1，即x>1.

【答案】　C

解对数不等式的函数及方法

(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论；

(2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．　

角度三　对数型函数的综合问题

已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的最小值为0，求a的值．

【解】　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，即a＝－1，

所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3>0得－1<x<3，即函数f(x)的定义域为(－1，3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3.

则g(x)在(－1，1)上是增加的，在[1，3)上是减少的．

又y＝log4x在(0，＋∞)上是增加的，

所以f(x)的递增区间是(－1，1)，递减区间是[1，3)．

(2)若f(x)的最小值为0，

则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，

因此应有

解得a＝.

故实数a的值为.

解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a＜b＜c　　　　 B．a＜c＜b

C．c＜a＜b  D．b＜c＜a

解析：选B.因为a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1，c＝0.20.3<0.20＝1且c>0，所以a<c<b，故选B.

2．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　)

A．[－1，2]  B．[0，2]

C．[1，＋∞)  D．[0，＋∞)

解析：选D.当x≤1时，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1；当x>1时，1－log2x≤2，解得x≥，所以x>1.综上可知x≥0.

思想方法系列4　分类讨论思想研究指数、对数函数的性质

已知函数f(x)＝loga(2x－a)(a>0且a≠1)在区间[，]上恒有f(x)>0，则实数a的取值范围是(　　)

A．(，1)　　　　　　　 B．[，1)

C．(，1)  D．[，1)

【解析】　当0<a<1时，函数f(x)在区间[，]上是减函数，所以loga(－a)>0，即0<－a<1，解得<a<，故<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间[，]上是增函数，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是(，1)．

【答案】　A

本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．

　已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数的值域．

解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，

则y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.

当a>1时，因为x≥0，所以t≥1，所以当a>1时，y≥2.

当0<a<1时，因为x≥0，所以0<t≤1.

因为g(0)＝－1，g(1)＝2，所以当0<a<1时，－1<y≤2.

综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；

当0<a<1时，函数的值域是(－1，2]．

 [基础题组练]

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．[1，2]　　　　　　　　 B．[1，2)

C.  D.

解析：选C.由即

解得x≥.故选C.

2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x   B.

C．logx  D．2x－2

解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A.

3．(2020·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.48，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<c<b  B．a<b<c

C．c<b<a  D．b<c<a

解析：选B.a＝log2<log21＝0，即a<0，b＝0.48<0.4<，又0.48>0，所以0<b<，c＝ln 2＝ln>ln＝，即c>，所以a<b<c.故选B.

4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上是增加的，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)>f(2)  B．f(a＋1)<f(2)

C．f(a＋1)＝f(2)  D．不能确定

解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上是减少的，所以f(a＋1)>f(2)．

5．(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则(　　)

A．f(x)在(－∞，0)上是减函数

B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数

C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数

D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数

解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0<a<1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D.

6．已知函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝        ．

解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1.

答案：－1

7．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为            ．

解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝.

答案：

8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上是增加的，则a的取值范围是        ．

解析：由于a>0，且a≠1，

所以u＝ax－3为增函数，

所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数，

所以a>1.

又u＝ax－3在[1，3]上恒为正，

所以a－3>0，即a>3.

答案：(3，＋∞)

9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，

所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．

(2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称．

所以f(x)是奇函数．

10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2.

由得－1<x<3，

所以函数f(x)的定义域为(－1，3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

[综合题组练]

1．(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(1，＋∞)

C．(－∞，0)  D．(－∞，1)

解析：选C.由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1，

即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C.

2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是        ．

解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上是增加的，且a<b<10，所以lg a＝－lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)．

答案：(0，1)

3．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

解：(1)由x＋－2>0，得>0.

因为x>0，所以x2－2x＋a>0.

当a>1时，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；

当0<a<1时，定义域为(0，1－)∪(1＋，＋∞)．

(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，

即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，

记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.

而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.