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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第二章 第6讲 对数函数
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    2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习教师用书:第二章 第6讲 对数函数

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    6讲 对数函数

    一、知识梳理

    1对数函数的图象与性质

     

    a>1

    0<a<1

    图象

    性质

    定义域:(0)

    值域:R

    过定点(10)

    x>1y>0

    0<x<1y<0

    x>1y<0

    0<x<1y>0

    (0)上是增函数

    (0)上是减函数

    2.反函数

    指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数它们的图象关于直线yx对称.

    常用结论

    对数函数图象的特点

    (1)a>1对数函数的图象呈上升趋势;当0<a<1对数函数的图象呈下降趋势.

    (2)对数函数ylogax(a>0a1)的图象过定点(10)且过点(a1)函数图象只在第一、四象限.

    (3)在直线x1的右侧:当a>1底数越大图象越靠近x轴;当0<a<1底数越小图象越靠近x底大图低”.

    二、教材衍化  

    1函数y的定义域为       

    解析:要使函数有意义故满足解得<x1.

    答案

    2已知a2blog2clogabc的大小关系是       

    答案:c>a>b

    一、思考辨析

    判断正误(正确的打“√”错误的打“×”)

    (1)函数ylog2xylog3x都是对数函数.(  )

    (2)对数函数ylogax(a>0a1)(0)上是增函数.(  )

    (3)函数yln yln(1x)ln(1x)的定义域相同.(  )

    (4)对数函数ylogax(a>0a1)的图象过定点(10)且过点(a1)函数图象只经过第一、四象限.(  )

    答案:(1)× (2)× (3)× (4)

    二、易错纠偏

    (1)忽略真数大于零致误;

    (2)忽视对底数的讨论致误.

    1函数f(x)log2x2的递增区间为           

    解析:tx2因为ylog2t在定义域上是增函数所以求原函数的递增区间即求函数tx2的递增区间所以所求区间为(0)

    答案(0)

    2函数ylogax(a>0a1)[24]上的最大值与最小值的差是1a       

    解析:分两种情况讨论:a>1loga4loga21解得a20<a<1loga2loga41解得a所以a2.

    答案:2

          对数函数的图象及应用(典例迁移)

    (1)若函数ya|x|(a>0a1)的值域为{y|y1}则函数yloga|x|的图象大致是(  )

    (2)若方程4xlogax上有解则实数a的取值范围为           

    解析】 (1)由于ya|x|的值域为{y|y1}所以a>1yloga|x|(0)上是增函数又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项B.

    (2)构造函数f(x)4xg(x)logax

    a>1时不满足条件

    0<a<1画出两个函数在上的图象

    可知只需两图象在上有交点即可

    fg2logaa

    所以a的取值范围为.

    答案】 (1)B (2)

    迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为:当0<x4x<logaxa的取值范围为       

    解析:构造函数f(x)4xg(x)logaxa>1时不满足条件0<a<1画出两个函数在上的图象可知f<g2<logaa>所以a的取值范围为.

    答案:

    对于较复杂的不等式恒成立问题可借助函数图象解决具体做法为:

    (1)对不等式变形使不等号两边分别对应两函数f(x)g(x)

    (2)在同一直角坐标系下作出两个函数f(x)g(x)的图象;

    (3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值.

    1函数y2log4(1x)的图象大致是(  )

    解析:C.函数y2log4(1x)的定义域为(1)排除AB;函数y2log4(1x)在定义域上单调递减排除D.C.

    2已知函数f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根则实数a的取值范围是       

    解析:如图在同一直角坐标系中分别作出yf(x)y=-xa的图象其中a表示直线在y轴上的截距.

    由图可知a>1直线y=-xaylog2x只有一个交点.

    答案:(1)

          对数函数的性质及应用(多维探究)

    角度一 比较对数值的大小

    (2019·高考天津卷)已知alog27blog38c0.30.2abc的大小关系为(  )

    Ac<b<a        Ba<b<c

    Cb<c<a  Dc<a<b

    解析】 因为alog27>log242blog38<log392blog38>1c0.30.2<0.301所以c<b<a.故选A.

    答案】 A

    比较对数值的大小的方法

     

    角度二 解简单的对数不等式或方程

    (题多解)已知函数f(x)logax(a>0a1)满足f<ff>0的解集为(  )

    A(01)  B(1)

    C(1)  D(0)

    解析 法一:因为函数f(x)logax(a>0a1)(0)上为单调函数<f<f所以f(x)logax(0)是增加的结合对数函数的图象与性质可得f(2x1)>02x1>1所以x>1.

    法二:由f<floga>loga

    所以loga21<loga31所以loga2<loga3

    所以a>1f(2x1)>0loga(2x1)>0所以2x1>1x>1.

    答案】 C

    解对数不等式的函数及方法

    (1)形如logax>logab的不等式借助ylogax的单调性求解如果a的取值不确定需分a>10<a<1两种情况讨论;

    (2)形如logax>b的不等式需先将b化为以a为底的对数式的形式. 

    角度三 对数型函数的综合问题

    已知函数f(x)log4(ax22x3)

    (1)f(1)1f(x)的单调区间;

    (2)f(x)的最小值为0a的值.

    】 (1)因为f(1)1所以log4(a5)1因此a54a=-1

    所以f(x)log4(x22x3)

    由-x22x3>0得-1<x<3即函数f(x)的定义域为(13)

    g(x)=-x22x3.

    g(x)(11)是增加的[13)是减少的

    ylog4x(0)是增加的

    所以f(x)的递增区间是(11)递减区间是[13)

    (2)f(x)的最小值为0

    h(x)ax22x3应有最小值1

    因此应有

    解得a.

    故实数a的值为.

    解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

     

    1(2019·高考全国卷)已知alog20.2b20.2c0.20.3(  )

    Aabc     Bacb

    Ccab  Dbca

    解析:B.因为alog20.2<log210b20.2>201c0.20.3<0.201c>0所以a<c<b故选B.

    2设函数f(x)则满足f(x)2x的取值范围是(  )

    A[12]  B[02]

    C[1)  D[0)

    解析:D.x121x2解得x0所以0x1;当x>11log2x2解得x所以x>1.综上可知x0.

    想方法系列4 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质

    已知函数f(x)loga(2xa)(a>0a1)在区间[]上恒有f(x)>0则实数a的取值范围是(  )

    A(1)        B[1)

    C(1)  D[1)

    解析】 0<a<1函数f(x)在区间[]上是减函数所以loga(a)>00<a<1解得<a<<a<1;当a>1函数f(x)在区间[]上是增函数所以loga(1a)>01a>1解得a<0此时无解.综上所述实数a的取值范围是(1)

    答案】 A

    本题利用了分类讨论思想在研究指数、对数函数的性质时常对底数a的值进行分类讨论实质上分类讨论就是化整为零各个击破再集零为整的数学思想.

     已知函数ya2x2ax1(a>0a1)x0求函数的值域.

    解:ya2x2ax1tax

    yg(t)t22t1(t1)22.

    a>1因为x0所以t1所以当a>1y2.

    0<a<1因为x0所以0<t1.

    因为g(0)=-1g(1)2所以当0<a<11<y2.

    综上所述a>1函数的值域是[2)

    0<a<1函数的值域是(12]

     [基础题组练]

    1函数y的定义域是(  )

    A[12]         B[12)

    C.  D.

    析:C.

    解得x.故选C.

    2若函数yf(x)是函数yax(a>0a1)的反函数f(2)1f(x)(  )

    Alog2x   B.

    Clogx  D2x2

    解析:A.由题意知f(x)logax(a>0a1)因为f(2)1所以loga21所以a2.所以f(x)log2x.故选A.

    3(2020·东北三省四市一模)alog2b0.48cln 2abc的大小关系是(  )

    Aa<c<b  Ba<b<c

    Cc<b<a  Db<c<a

    解析:B.alog2<log210a<0b0.48<0.4<0.48>0所以0<b<cln 2ln>lnc>所以a<b<c.故选B.

    4设函数f(x)loga|x|(0)是增加的f(a1)f(2)的大小关系是(  )

    Af(a1)>f(2)  Bf(a1)<f(2)

    Cf(a1)f(2)  D.不能确定

    解析:A.由已知得0<a<1所以1<a1<2又易知函数f(x)偶函数故可以判断f(x)(0)是减少的所以f(a1)>f(2)

    5(2020·河南平顶山模拟)函数f(x)loga|x1|(a>0a1)x(10)恒有f(x)>0(  )

    Af(x)(0)上是减函数

    Bf(x)(1)上是减函数

    Cf(x)(0)上是增函数

    Df(x)(1)上是增函数

    解析:D.由题意函数f(x)loga|x1|(a>0a1)则说明函数f(x)关于直线x=-1对称x(10)恒有f(x)>0|x1|(01)f(x)>00<a<1.u|x1|(1)上是减函数(1)上是增函数结合复合函数的单调性可知f(x)(1)上是增函数D.

    6已知函数yloga(x1)(a>0a1)的图象过定点A若点A也在函数f(x)2xb的图象上,则f(log23)       

    解析:由题意得A(20)因此f(2)4b0b=-4从而f(log23)34=-1.

    答案:1

    7若函数f(x)logax(0<a<1)在区间[a2a]上的最大值是最小值的3a的值为           

    解析:因为0<a<1所以函数f(x)是定义域上的减函数所以f(x)maxlogaa1f(x)minloga2a所以13loga2aa(2a)38a21a.

    答案

    8已知函数f(x)loga(ax3)[13]是增加的a的取值范围是       

    解析:由于a>0a1

    所以uax3为增函数

    所以若函数f(x)为增函数f(x)logau必为增函数

    所以a>1.

    uax3[13]上恒为正

    所以a3>0a>3.

    答案:(3)

    9已知函数f(x3)loga(a>0a1)

    (1)f(x)的解析式;

    (2)判断f(x)的奇偶性并说明理由.

    解:(1)x3uxu3于是f(u)loga(a>0a13<u<3)

    所以f(x)loga(a>0a13<x<3)

    (2)因为f(x)f(x)logalogaloga10

    所以f(x)=-f(x)又定义域(33)关于原点对称.

    所以f(x)是奇函数.

    10f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0a1)f(1)2.

    (1)求实数a的值及f(x)的定义域;

    (2)f(x)在区间上的最大值.

    解:(1)因为f(1)2所以loga42(a>0a1)所以a2.

    得-1<x<3

    所以函数f(x)定义域为(13)

    (2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2[(1x)(3x)]log2[(x1)24]

    所以当x(11]f(x)是增函数;当x(13)f(x)是减函数

    故函数f(x)上的最大值是f(1)log242.

    [综合题组练]

    1(2020·河南新乡二模)已知函数f(x)log3(9x1)mx是偶函数则不等式f(x)4x<log32的解集为(  )

    A(0)  B(1)

    C(0)  D(1)

    解析:C.f(x)log3(9x1)mx是偶函数f(x)f(x)log3(9x1)m(x)log3(9x1)mx变形可得m=-1

    f(x)log3(9x1)xg(x)f(x)4xlog3(9x1)3x易得g(x)R上为增函数g(0)log3(901)log32f(x)4x<log32g(x)<g(0)则有x<0即不等式的解集为(0).故选C.

    2设实数ab是关于x的方程|lg x|c的两个不同实数根a<b<10abc的取值范围是       

    解析:由题意知(010)函数y|lg x|的图象和直线yc有两个不同交点所以|lg a||lg b|又因为ylg x(0)是增加的a<b<10所以lg a=-lg b所以lg alg b0所以ab10<c<lg 101所以abc的取值范围是(01)

    答案:(01)

    3已知函数f(x)lg其中x>0a>0.

    (1)求函数f(x)的定义域;

    (2)若对任意x[2)恒有f(x)>0试确定a的取值范围.

    解:(1)x2>0>0.

    因为x>0所以x22xa>0.

    a>1定义域为(0)

    a1定义域为(01)(1)

    0<a<1定义域为(01)(1)

    (2)对任意x[2)恒有f(x)>0

    x2>1x[2)恒成立

    a>x23xx[2)恒成立

    h(x)=-x23xx[2)则只需a>h(x)max.

    h(x)=-x23x=-[2)上是减函数所以h(x)maxh(2)2a>2.

     

     

     

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