2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布

第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布

基础知识整合

1．离散型随机变量的均值与方差

(1)若离散型随机变量X的分布列为

①均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

②方差

称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．

(2)均值与方差的性质

①E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

③E(k)＝k(k为常数)．

④E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

⑤D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

⑥若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．

⑦D(k)＝0(k为常数)．

⑧若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.

⑨若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2，特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据的每一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．

两点分布与二项分布的均值、方差

2．正态分布

(1)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值；

④曲线与x轴之间的面积为1；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(2)正态分布的三个常用数据

①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；

②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；

③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定．随机变量X是可变的，可取不同的值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态．

2．变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位．

3．方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的．

1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，则P(1<x<3)＝(　　)

A．0.6  B．0.4

C．0.3  D．0.2

答案　C

解析　由正态曲线的对称性可知，P(X<3)＝P(X>3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1<X<3)＝P(X<3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.

2．某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值约是(一年按365天计算)(　　)

A．60.82元  B．68.02元

C．58.82元  D．60.28元

答案　A

解析　E(ξ)＝100×＋(－10)×≈60.82，所以选A.

3．(2019·广西名校联考)设整数m是从不等式x2－2x－8≤0的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝m2，则ξ的数学期望E(ξ)＝(　　)

A．1  B．5

C．2 D.

答案　B

解析　由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，∴S＝{－2，－1，0,1,2,3,4}，∵ξ＝m2，∴ξ可取的值分别为0,1,4,9,16，相应的概率分别为，，，，，∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＋16×＝5.故选B.

4．(2020·孝感摸底)已知袋中有3个白球、2个红球，现从中随机取出3个球，其中取出1个白球计1分，取出1个红球计2分，记X为取出3个球的总分值，则E(X)＝(　　)

A. B.

C．4 D.

答案　B

解析　由题意，知X的所有可能取值为3,4,5，且P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

5．(2019·安徽六安毛坦厂中学月考)某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的，A学生对12个选择题中每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，选择题的得分为Y分，则D(Y)－D(X)的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　设A学生答对题的个数为m，则得分X＝5m(分)，m～B，D(m)＝12××＝，所以D(X)＝25×＝，同理设B学生答对题的个数为n，可知n～B，D(n)＝12××＝，所以D(Y)＝×25＝，所以D(Y)－D(X)＝－＝.故选A.

6．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中目标记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为________．

答案　20，

解析　记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，所以E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.

核心考向突破

精准设计考向，多角度探究突破

考向一　离散型随机变量的均值与方差

角度　　与古典概型有关的均值与方差

例1　盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)．

解　(1)取到2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，

所以P＝＝＝.

(2)随机变量X所有可能的取值为2,3,4，{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，

故P(X＝4)＝＝；

{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，

故P(X＝3)＝＝＝；

于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)

＝1－－＝.

所以随机变量X的概率分布如下，

因此，随机变量X的数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝.

求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．

[即时训练]　1.(2019·江西师大附中模拟)已知某校的数学专业开设了A，B，C，D四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．

(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；

(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A被这3名学生选修的人数X的分布列和数学期望．

解　(1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有A种，故这3名学生选择的选修课互不相同的概率P＝＝.

(2)选修课A被这3名学生选修的人数X的可能取值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列如下，

数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

角度　　与二项分布有关的期望与方差

例2　(2019·天津高考)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．

(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．

解　(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率为，

故X～B，

从而P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)＝3×＝2.

(2)设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y～B，且M＝{X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0}．

由题意，知事件{X＝3，Y＝1}与{X＝2，Y＝0}互斥，且事件{X＝3}与{Y＝1}，事件{X＝2}与{Y＝0}均相互独立，从而由(1)，知

P(M)＝P({X＝3，Y＝1}∪{X＝2，Y＝0})

＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝0)

＝P(X＝3)P(Y＝1)＋P(X＝2)P(Y＝0)

＝×＋×＝.

求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．

[即时训练]　2.张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线(如图)，L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.

(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；

(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；

(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

解　(1)设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，

则P(A)＝C×3＋C××2＝.

所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为.

(2)依题意，X的可能取值为0,1,2.

P(X＝0)＝×＝，

P(X＝1)＝×＋×＝，

P(X＝2)＝×＝.

随机变量X的分布列为

E(X)＝×0＋×1＋×2＝.

(3)设选择L1路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布，即Y～B，所以E(Y)＝3×＝.

因为E(X)<E(Y)，所以选择L2路线上班最好．

考向二　均值与方差的实际应用

例3　(2019·云南昆明质检)某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．

(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；

(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．

①求一棵B种树苗最终成活的概率；

②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？

解　(1)依题意，X的所有可能值为0,1,2,3，

P(X＝0)＝0.2(1－p)2，

P(X＝1)＝0.8×(1－p)2＋0.2×C×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝0.4p2－1.2p＋0.8，

P(X＝2)＝0.2p2＋0.8×C×p×(1－p)＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，

P(X＝3)＝0.8p2；

X的分布列为

所以E(X)＝1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.

(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．

①一棵B树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.

②记Y为n棵树苗的成活棵数，M(n)为n棵树苗的利润，

则Y～B(n,0.96)，E(Y)＝0.96n，M(n)＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，

E(M(n))＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M(n))≥200000，则有n≥699.3.

所以该农户至少引种B种树苗700棵，就可获利不低于20万元．

均值与方差的实际应用

(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用来描述X的分散程度．

 (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．

[即时训练]　3.(2019·湖南师大附中考前演练五)随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，某快递收取快递费的标准是：重量不超过1 kg的包裹收费10元；重量超过1 kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元．某县该快递分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：

对近60天，每天揽件数量统计如下表：

以上数据已做近似处理，将频率视为概率．

(1)计算该代办点未来5天内不少于2天揽件数在101～300之间的概率；

(2)①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；

②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用．目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资110元．代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？

解　(1)由题意，可得样本中每天揽件数在101～300之间的天数为36，频率f＝＝，故可估计每天揽件数在101～300之间的概率为，显然未来5天中，每天揽件数在101～300之间的天数X服从二项分布，即X～B，故所求概率为1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－C×5－C××4＝.

(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：

故样本中每件包裹收取的快递费的平均值为

＝15，

故估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值为15元．

②代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：

根据题意及(2)①，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15(元)，

若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：

故代办点平均每日利润的期望值为260×15×－3×110＝970(元)，

若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：

则代办点平均每日利润的期望值为235×15×－2×110＝955(元)，

故代办点不应将前台工作人员裁员1人．

考向三　正态分布

例4　(1)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值为(　　)

A．5  B．3

C. D.

答案　D

解析　因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以x＝2a－3与x＝a＋2关于x＝3对称，所以＝3，即3a＝7，解得a＝.故选D.

(2)(2019·山东淄博模拟)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800,502)．则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为(　　)

参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

A．0.9772  B．0.6826

C．0.9974  D．0.9544

答案　A

解析　∵X～N(800,502)，∴P(700<X≤900)＝0.9544，∴P(X>900)＝＝0.0228，∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772.故选A.

正态分布下的概率计算常见的两类问题

(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1的性质．

(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．

[即时训练]　4.若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝(　　)

A．0.025  B．0.050

C．0.950  D．0.975

答案　C

解析　由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.

5．设X～N(1,1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是(　　)

注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.44%.

A．7539  B．6038

C．7028  D．6587

答案　D

解析　∵X～N(1,1)，∴μ＝1，σ＝1，∵P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.26%，∴则P(0<X<2)＝68.26%，则P(1<X<2)＝34.13%，∴阴影部分的面积为1－0.3413＝0.6587.∴向正方形ABCD中随机投掷10000个点，落入阴影部分的点的个数的估计值是10000×＝6587.故选D.

学科素养培优（二十三）

正态分布与概率、统计的综合题

(2019·安徽六校教育研究会第一次素质测试)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表，记作xi，i＝1,2，…，7)；

(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①若使84.13%的产品的质量指标值高于企业制定的合格标准，则合格标准的质量指标值大约为多少？

②若该企业又生产了这种产品1000件，且每件产品相互独立，则这1000件产品质量指标值不低于12.14的件数最有可能是多少？

附：参考数据与公式：(xi－)2hi＝3.46,3.46≈×2.632；若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ－σ)＝0.6826；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.

解　(1)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.4，

s2＝(xi－)2hi×2＝3.46×2＝6.92.

(2)①由题意X～N(17.4,692)，

则P(X>μ－σ)＝＋≈0.8413，

∴当μ－σ＝17.4－2.63＝14.77时，满足题意，即合格标准的质量指标值约为14.77.

②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)＝0.5＋≈0.9772，可知每件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率为0.9772，记这1000件产品的质量指标值不低于12.14的件数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.9772，

∴恰有k件产品的质量指标值不低于12.14的事件概率P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)1000－k，则＝>1，解得k<1001p＝978.1772，∴当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，当979≤k≤1000时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)，由此可知，在这1000件产品中，质量指标值不低于12.14的件数最有可能是978.

答题启示

本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题．正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高．此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点．

对点训练

(2019·山东青岛模拟)“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人的立德之源、立功之本．”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律．爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x(亿元)与科技改造直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当0<x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：

模型①：＝4.1x＋11.8；模型②：＝21.3－14.4；

当x>17时，y与x满足的线性回归方程为

＝－0.7x＋a.

(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤17时模型①、②的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益；

(2)为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；

(3)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布N(0.52,0.012)，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予奖励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励5万元．求每台发动机获得奖励的数学期望．

附：刻画回归效果的相关指数R2＝1－，≈4.1.

用最小二乘法求线性回归方程y＝bx＋a的系数公式＝＝，＝－ .

随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.

解　(1)由表格中的数据，有182.4>79.2，即>，

所以模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好．所以当x＝17亿元时，科技改造直接收益的预测值为＝21.3×－14.4≈21.3×4.1－14.4＝72.93(亿元)．

(2)由已知，得－20＝＝3，所以＝23，－60＝＝7.2，则＝67.2.

所以a＝＋0.7＝67.2＋0.7×23＝83.3，即当x>17亿元时，y与x满足的线性回归方程为＝－0.7x＋83.3.所以当x＝20亿元时，科技改造直接收益的预测值＝－0.7×20＋83.3＝69.3.

当x＝20亿元时，实际收益的预测值为69.3＋10＝79.3亿元>72.93亿元，即科技改造投入20亿元时，公司的实际收益的更大．

(3)因为P(0.52－0.02<X<0.52＋0.02)＝0.9544，

所以P(X>0.50)＝＝0.9772，

P(X≤0.50)＝＝0.0228，

又P(0.52－0.01<X<0.52＋0.01)＝0.6826，

所以P(X>0.53)＝＝0.1587，

则P(0.50<X≤0.53)＝0.9772－0.1587＝0.8185.

设每台发动机获得的奖励为Y(万元)，则Y的分布列如下，

则每台发动机获得奖励的数学期望为E(Y)＝0×0.0228＋2×0.8185＋5×0.1587＝2.4305(万元)．

＝－1200金．