2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第7讲　离散型随机变量及分布列

第7讲　离散型随机变量及分布列

基础知识整合

1．离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．

(2)离散型随机变量的分布列的性质

①pi≥0(i＝1,2，…，n)；

②.

3．常见的离散型随机变量的分布列

1．随机变量的线性关系

若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．

2．分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．

(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．

1．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是(　　)

A．第5次击中目标  B．第5次未击中目标

C．前4次未击中目标  D．第4次击中目标

答案　C

解析　因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，故选C.

2．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　)

A．24  B．20

C．18  D．4

答案　A

解析　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24(种)．

3．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2，…，则P(2<X≤4)等于(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.

4．(2019·山西联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　B

解析　设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝＝.

5．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a值为(　　)

A. B.

C．110  D．55

答案　B

解析　∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝.

6．设随机变量X的概率分布列为

则P(|X－3|＝1)＝________.

答案　

解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.

核心考向突破

考向一　离散型随机变量分布列的性质

例1　(1)(2020·河南南阳摸底)随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案　D

解析　∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，∴＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝.

(2)已知随机变量X的概率分布如下：

则P(X＝10)＝(　　)

A. B.

C. D.

答案　C

解析　由离散型随机变量分布列的性质，得＋＋＋…＋＋m＝1，得m＝1－＝1－2·＝9＝.

离散型随机变量分布列性质的应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．

(2)求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．

[即时训练]　1.某电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这部电话的人数时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P(n)，P(n)与时刻t无关，统计得到：P(n)＝那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率P(0)的值为(　　)

A. B.

C. D.

答案　A

解析　由P(0)＋P(1)＋P(2)＋P(3)＋P(4)＋P(5)＝1，得P(0)＝1，解得P(0)＝.

2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝(　　)

A．q2＋  B．q2－

C．1－  D．1＋

答案　C

解析　由离散型随机变量分布列的性质，得

解得q＝1－，所以E(ξ)＝－1×＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－＝1－.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　求离散型随机变量的分布列

角度　　与互斥事件有关的分布列

例2　大型亲子真人秀《爸爸去哪儿》(第五季)暖心回归，节目组要求五位明星爸爸在72小时的户外体验中，单独照顾子女的饮食起居，共同完成节目组设置的一系列任务．经过一季13期的录制，六位萌娃Neinei和Max、嗯哼、Jasper、小泡芙、小山竹收获了一大批的粉丝，同时也带动各自星爸的事业发展．在第五季第8期的节目录制中，节目组请来了萌娃的妈妈们，并让萌娃和妈妈们一起玩“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让萌娃们去猜哪一个花轿里是自己的妈妈．假设各位萌娃都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的．

(1)已知嗯哼的妈妈在某个花轿里，如果给嗯哼两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自己妈妈的概率；

(2)如果四位妈妈所对应的四位萌娃一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为X，求X的分布列．

解　(1)记“嗯哼选到自己妈妈”为事件A，

则P(A)＝＋×＝.

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,4，

P(X＝4)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝0)＝1－P(X＝4)－P(X＝2)－P(X＝1)＝.

所以随机变量X的分布列为

角度　　与独立事件有关的分布列

例3　(2020·正定摸底)某中学根据2006～2018年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2019年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、、n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且m>n.

(1)求m与n的值；

(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列．

解　(1)依题意，得

解得

(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.

而P(X＝0)＝××＝；P(X＝1)＝××＝；P(X＝2)＝××＝；P(X＝3)＝××＋××＝；P(X＝4)＝××＝；P(X＝5)＝××＝；P(X＝6)＝××＝.

X的分布列如下．

离散型随机变量分布列的求解步骤

(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些？及每一个取值所表示的意义．

(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．

(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．

(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．

[即时训练]　3.银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．

(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；

(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列．

解　(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件A，则P(A)＝＝.

(2)依题意，得X所有可能的取值是1,2,3，

又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

所以X的分布列如下．

4．某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛．每三局比赛为一轮．

(1)若在第一局比赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；

(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人在下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分．求此轮比赛中甲得分X的概率分布列．

解　(1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，

甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，

第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有2＋4＝6(种)，而2张黑桃A的位置共有C＝10(种)．

所以P(M)＝＝.

(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.

由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为，则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为.

当X＝0时，即三局甲都输，P(X＝0)＝××＝；

当X＝1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X＝1)＝××＋××＋××＝；

当X＝2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，

P(X＝2)＝××＝；

当X＝3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X＝3)＝××＋××＝＝；

当X＝5时，即三局甲都胜，

P(X＝5)＝××＝.

所以此轮比赛中甲得分X的概率分布列如下．

考向三　超几何分布问题

例4　(2019·辽宁辽南协作体一模)从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为.

(1)求a，b的值；

(2)若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有的学生裸眼视力不低于5.0.现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)报考B专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列．

解　(1)由频率分布直方图的性质，得

解得b＝0.5，a＝1.

(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人裸眼视力不低于5.0，在这15人中，抽取3人，

在[5.1,5.3)中，共有5人，抽取1人，

随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，

P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，

P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，

∴ξ的分布列如下．

超几何分布的特点

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．

(2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布．

(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．

[即时训练]　5.(2020·天津河西新华中学月考)某中学用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其社会实践次数进行调查，结果如下：

若将社会实践次数不低于12次的学生称为“社会实践标兵”．

(1)将频率视为概率，估计该校1600名学生中“社会实践标兵”有多少人？

(2)从已抽取的8名“社会实践标兵”中随机抽取4位同学参加社会实践表彰活动．

①设A为事件“抽取的4位同学中既有男同学又有女同学”，求事件A发生的概率；

②用X表示抽取的“社会实践标兵”中男生的人数，求随机变量X的分布列．

解　(1)样本中“社会实践标兵”有8人，∴该校学生中“社会实践标兵”估计有1600×＝128人．

(2)8名“社会实践标兵”中有男同学3人，女同学5人．

①记为“抽取的4位同学全是女同学”，

则P()＝＝，∴P(A)＝1－P()＝1－＝.

②由题意，得X所有可能的取值为0,1,2,3.

P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.

则X的分布列如下．