2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第12章第5讲数学归纳法

第十二章  算法初步、复数、推理与证明

第5讲　数学归纳法

基础知识整合

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立，这一步是为归纳奠基．

(2)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立，这一步是归纳递推．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对一切n∈N*，n≥n0，命题成立．

2．数学归纳法的框图表示

数学归纳法是一种重要的数学思想方法，只适用于与正整数有关的命题，证明过程的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，当n＝k＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”．

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　)

A．1  B．2

C．3  D．0

答案　C

解析　凸n边形的边最少有三条，故第一个值n0取3.

2．(2019·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为(　　)

A．1  B．1＋2

C．1＋2＋22  D．1＋2＋22＋23

答案　D

解析　当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.

3．已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(　　)

A．n＝k＋1时命题成立

B．n＝k＋2时命题成立

C．n＝2k＋2时命题成立

D．n＝2(k＋2)时命题成立

答案　B

解析　因n是正偶数，故只需证命题对所有正偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2，故选B.

4．用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>(n∈N*)成立，其初始值至少应取(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

答案　B

解析　1＋＋＋…＋＝>，整理，得2n>128，解得n>7.所以初始值至少应取8.

5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)时命题为真，进而需证n＝________时，命题亦真．

答案　2k＋1

解析　n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．

6．用数学归纳法证明：(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(n＋n)＝(n∈N*)的第二步中，当n＝k＋1时等式左边与n＝k时的等式左边的差等于________．

答案　3k＋2

解析　当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)＋(k＋3)＋…＋(2k＋2)；当n＝k时，左边＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋2k，其差为(2k＋1)＋(2k＋2)－(k＋1)＝3k＋2.

核心考向突破

考向一　数学归纳法证明恒等式

例1　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＝(其中n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，等式左边＝＝.

等式右边＝＝，∴等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，

即＋＋…＋＝成立，

那么当n＝k＋1时，

＋＋＋…＋＋

＝＋

＝

＝

＝，

即n＝k＋1时等式成立．

由(1)和(2)可知，对任意n∈N*等式均成立．

利用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题

(1)在证明过程中突出两个“凑”字，即一“凑”假设，二“凑”结论，关键是在证明n＝k＋1时要用上n＝k时的假设，其次要明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时，命题形式之间的区别和联系，化异为同．中间的计算过程千万不能省略．

(2)注意“两个步骤、一个结论”一个也不能少，切勿忘记归纳结论．

[即时训练]　1.求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝，左边＝右边．

(2)假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，

则当n＝k＋1时，

1－＋－＋…＋－＋

＝＋＋…＋＋

＝＋＋…＋＋.

即当n＝k＋1时等式也成立．

综合(1)和(2)可知对一切n∈N*，等式成立．

考向二　数学归纳法证明不等式

例2　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．

证明　(1)当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝，左边>右边，∴不等式成立．

(2)假设n＝k(k为大于1的自然数)时，不等式成立，

即…>，

那么当n＝k＋1时，

…>·＝

＝>

＝

＝，

∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)，知对一切大于1的自然数n，不等式都成立．

用数学归纳法证明不等式的两种形式

用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式，一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，第二种形式往往要先对n取前几个值分别验证比较，然后猜出从某个n值开始都成立的结论．

[即时训练]　2.用数学归纳法证明：

＋＋…＋<(n∈N*)．

证明　(1)当n＝1时，显然不等式成立．

当n＝2时，左边＝＋＝，

右边＝.

由＋1<2，得<，

即n＝2时，不等式也成立．

(2)假设n＝k(k≥2)时，不等式成立，即

＋＋…＋<.

当n＝k＋1时，两边同加，得

＋＋…＋<＋，

只需证＋<即可．

而－>

⇔>

⇔>＋

⇔(－1)>，

∴对k≥2成立，即当n＝k＋1时，不等式成立．

由(1)(2)，知不等式对n∈N*都成立．

考向三　归纳—猜想—证明

例3　(2019·杭州模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.

(1)求a1，a2，a3的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解　(1)依题意，有

解得a1＝3，a2＝5，a3＝7.

(2)猜想an＝2n＋1.

由Sn＝2nan＋1－3n2－4n，得

Sn－1＝2(n－1)an－3(n－1)2－4(n－1)(n≥2)，

两式相减，整理，得an＝2nan＋1－2(n－1)an－6n－1，an＋1＝an＋，当n＝1时也成立，建立了an与an＋1的递推关系(n∈N*)；

因为当n＝1时，a1＝3，假设n＝k时成立，即ak＝2k＋1成立，那么n＝k＋1时，ak＋1＝ak＋＝·(2k＋1)＋＝2k＋3＝2(k＋1)＋1，

综上对于n∈N*，有an＝2n＋1，

所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.

“归纳—猜想—证明”的一般步骤

(1)计算(根据条件，计算若干项)．

(2)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．

(3)证明(用数学归纳法证明)．

这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用，其关键是归纳猜想出结论．

[即时训练]　3.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝＋－1且an>0，n∈N*.

求a1，a2，a3，猜想{an}的通项公式并证明．

解　当n＝1时，

由已知，得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.

∴a1＝－1(a1>0)．

当n＝2时，由已知，得a1＋a2＝＋－1，

将a1＝－1代入并整理，得a＋2a2－2＝0.

∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.

猜想an＝－(n∈N*)．

(1)当n＝1,2,3时，通项公式成立．

(2)假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，

即ak＝－.

由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，

将ak＝－代入上式并整理，得

a＋2ak＋1－2＝0.

解得ak＋1＝－(an>0)．

即当n＝k＋1时，通项公式也成立．

由(1)和(2)，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．