2021高三人教B版数学一轮（经典版）教师用书：第11章第3讲　二项式定理

第3讲　二项式定理

基础知识整合

1．二项式定理的内容

(1)(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)．

(2)第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr.

(3)第r＋1项的二项式系数为C(r＝0,1，…，n)．

2．二项式系数的性质

(1)0≤r≤n时，C与C的关系是相等．

(2)二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第＋1项的二项式系数最大，最大为Cn，当n为奇数时第＋1或＋1项的二项式系数最大，最大为Cn或Cn.

(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝2n－1，C＋C＋C＋…＝2n－1.

1．注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题．

2．解题时，要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同．

3．切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念．

1．(2020·东莞调研测试)二项式6的展开式的常数项为(　　)

A．±15   B．15 

C．±20   D．－20

答案　B

解析　二项式6的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx6－r·r＝C·(－1)r·x6－3r.令6－3r＝0，求得r＝2，∴展开式的常数项是C＝15，故选B.

2．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)

A．12  B．16

C．20  D．24

答案　A

解析　解法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C＋2C＝12.故选A.

解法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.

3．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)

A．9  B．8

C．7  D．6

答案　B

解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝8.

4．(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为(　　)

A．－10  B．－5

C．5  D．10

答案　B

解析　(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x5－r·yr，令5－r＝1，得r＝4，令5－r＝2，得r＝3，∴(x－y)(x＋y)5的展开式中x2y4的系数为C×1＋(－1)×C＝－5.故选B.

5．设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3的系数为(　　)

A．500  B．－500

C．150  D．－150

答案　C

解析　由题意可得N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项Tr＋1＝C·(5x)4－r·(－)r＝(－1)r·C·54－r·x4－.令4－＝3，即r＝2，此时C·52·(－1)2＝150.

6．(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

答案　16　5

解析　由二项展开式的通项公式可知Tr＋1＝C·()9－r·xr，r∈N,0≤r≤9，当为常数项时，r＝0，T1＝C·()9·x0＝()9＝16.

当项的系数为有理数时，9－r为偶数，

可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.

核心考向突破

考向一　求展开式中的特定项或特定项系数

例1　(1)18的展开式中含x15的项的系数为(　　)

A．153  B．－153

C．17  D．－17

答案　C

解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝rC·x18－r，令18－r＝15，解得r＝2，所以含x15的项的系数为2C＝17.

(2)(2019·山东枣庄模拟)若(x2－a)10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)

A.  B.

C．1  D．2

答案　D

解析　10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为C；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6的系数为C，所以(x2－a)10的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2.故选D.

(3)(2019·天津高考)8的展开式中的常数项为________．

答案　28

解析　8的展开式的通项为Tr＋1＝

C8－r·r＝C28－rr·x8－4r.

令8－4r＝0，得r＝2，

∴展开式中的常数项为T3＝C262＝28.

求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路

(1)利用通项公式将Tr＋1项写出并化简．

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出r.

(3)代回通项公式得所求．

[即时训练]　1.(2019·广州调研)9的展开式中x3的系数为(　　)

A．－  B．－

C.   D.

答案　A

解析　二项展开式的通项Tr＋1＝Cx9－rr＝rCx9－2r，令9－2r＝3，得r＝3，所以展开式中x3的系数为3C＝－×＝－.故选A.

2．(2020·河南信阳摸底)(x2＋1)5的展开式的常数项是(　　)

A．5  B．－10

C．－32  D．－42

答案　D

解析　由于5的展开式的通项为C·5－r·(－2)r＝C(－2)r·x，故(x2＋1)·5的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42.故选D.

3．已知9的展开式中x3的系数为，则a＝________.

答案　4

解析　9的展开式的通项公式为Tr＋1＝C9－r·r＝(－1)r·a9－r·2－·C·xr－9.令r－9＝3，得r＝8，则(－1)8·a·2－4·C＝，解得a＝4.

精准设计考向，多角度探究突破

考向二　二项式系数与各项的系数问题

角度　　二项展开式中系数的和

例2　(1)(2019·郑州一中测试)若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为(　　)

A．－1  B．1

C．27  D．－27

答案　A

解析　由题意，得C＋C＋…＋C＝2n＝8，即n＝3，

所以3的展开式的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.

(2)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝________，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝________，a2＋a4＋a6＝________.

答案　126　2187　1092

解析　令x＝0，得a0＝1.

令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a7.①

又a7＝C(－2)7＝(－2)7，

∴a1＋a2＋…＋a6＝－1－a0－a7＝126.

令x＝－1，得

a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37＝2187.②

，得a0＋a2＋a4＋a6＝1093，

∴a2＋a4＋a6＝1092.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　赋值法的应用

(1)对形如(ax＋b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1.

(2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1.

(3)一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，

则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，

(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，

(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．

[即时训练]　4.(2019·东北三校联考)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(　　)

A．0  B．1

C．32  D．－1

答案　A

解析　由(1－x)5的展开式的通项公式Tr＋1＝(－1)rCxr，可得a1，a3，a5为负数，a0，a2，a4为正数，故有|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(1－1)5＝0.故选A.

5．(2019·郑州一测)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为________．

答案　90

解析　令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90.

角度　　二项式系数的最值问题

例3　(1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)

A．5  B．6

C．7  D．8

答案　B

解析　由题意，得a＝C，b＝C，

则13C＝7C，

∴＝，

∴＝13，解得m＝6，

经检验m＝6为原方程的解，故选B.

(2)(2019·安徽马鞍山模拟)二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)

A．3  B．5

C．6  D．7

答案　D

解析　根据n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴n的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·r＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数为整数的项共有7项．故选D.

求二项式系数最大项

(1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大．

(2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等并最大．

[即时训练]　6.已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)

A．212  B．211

C．210  D．29

答案　D

解析　因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以C＝C，解得n＝10，所以根据二项式系数和的相关公式可知，奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.

7．若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是(　　)

A．180  B．120

C．90  D．45

答案　A

解析　由只有第6项的二项式系数最大，可知n＝10，于是展开式的通项为Tr＋1＝C()10－rr＝2rC·x5－，令5－＝0，得r＝2，所以展开式中的常数项是22C＝180.故选A.

角度　　项的系数的最值问题

例4　(1)(2020·承德摸底)若(1＋2x)6的展开式中第二项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)

A.<x<   .<x<

C.<x<   .<x<

答案　A

解析　∵∴即<x<.

(2)若n的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为(　　)

A．210  B．10

C．462  D．252

答案　A

解析　∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9,10,11.

设常数项为Tr＋1＝Cx3(n－r)x－2r＝Cx3n－5r，

则3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N，

∴n＝10，r＝6，故不含x的项为T7＝C＝210.

求展开式系数最大项

如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用从而解出k来，即得．

[即时训练]　8.(2020·宜昌高三测试)已知(x＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；

(2)求展开式中系数最大的项．

解　令x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n，

∴＝2n＝32，n＝5.

(1)∵n＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，

T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.

(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，

则由Tk＋1＝C(x)5－k(3x2)k＝3kCx，得

∴≤k≤，∴k＝4，

∴第5项系数最大，即展开式中系数最大的项为T5＝C(x)(3x2)4＝405x.

考向三　二项式定理的应用

例5　(1)(2019·潍坊模拟)设a∈Z，且0≤a<13，若512020＋a能被13整除，则a＝(　　)

A．0  B．1

C．11  D．12

答案　D

解析　由于51＝52－1，(52－1)2020＝C522020－C522019＋…－C521＋1，又由于13能整除52，所以只需13能整除1＋a，0≤a<13，a∈Z，所以a＝12.

(2)0.9910的第一位小数为n1，第二位小数为n2，第三位小数为n3，则n1，n2，n3分别为(　　)

A．9,0,4  B．9,4,0

C．9,2,0  D．9,0,2

答案　A

解析　0.9910＝(1－0.01)10＝C×110×(－0.01)0＋C×19×(－0.01)1＋C×18×(－0.01)2＋…＝1－0.1＋0.0045＋…≈0.9045.

二项式定理应用的题型及解法

(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．

(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.

[即时训练]　9.1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)

A．－1  B．1

C．－87  D．87

答案　B

解析　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C×889＋…＋C×88＋1.∵前10项均能被88整除，∴余数是1.

10．1.028的近似值是________(精确到小数点后三位)．

答案　1.172

解析　1.028＝(1＋0.02)8≈C＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023≈1.172.

学科素养培优（二十二）

二项式定理破解三项式问题

1．(2020·柳州摸底)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)

A．10  B．20

C．30  D．60

答案　C

解析　由二项展开式通项易知Tr＋1＝C(x2＋x)5－ryr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，对于二项式(x2＋x)3，由Tt＋1＝C(x2)3－t·xt＝Cx6－t，令t＝1，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.

2.5的展开式中的常数项为________(用数字作答)．

答案　

解析　解法一：原式＝5＝·[(x＋)2]5＝(x＋)10.

求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.

所以所求的常数项为＝.

解法二：要得到常数项，可以对5个括号中的选取情况进行分类：

①5个括号中都选取常数项，这样得到的常数项为()5.

②5个括号中的1个选，1个选，3个选，这样得到的常数项为CCC()3.

③5个括号中的2个选，2个选，1个选，这样得到的常数项为C2C.

因此展开式的常数项为

()5＋CCC()3＋C2C＝.

答题启示

二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．

对点训练

1．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为(　　)

A．－210  B．210

C．30  D．－30

答案　A

解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，所以展开式中x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210.故选A.

2.3的展开式中x2的系数是________(用数字作答)．

答案　15

解析　因为3＝6，所以Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)rx6－2r，令6－2r＝2，解得r＝2，所以展开式中x2的系数是C(－1)2＝15.