2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第11章第5节　离散型随机变量及其分布列

第五节　离散型随机变量及其分布列
[最新考纲]　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．


1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量．
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
(2)分布列的性质
①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；
②pi＝1．
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，则其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布．
X
0
1
…
m
P


…


一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．(　　)
X
2
5
P
0.3
0.7
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
C　[由分布列的性质知，＋＋＋＋p＝1，∴p＝1－＝.]
2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于(　　)
A. B. C. D.
D　[P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.]
3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X的所有可能取值是________．
0，1，2，3　[因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X的可能取值为0，1，2，3.]
4．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为________．
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
[因为X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝0.1，P(X＝1)＝＝0.6，P(X＝2)＝＝0.3，所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
　]



考点1　离散型随机变量的分布列的性质
　分布列性质的2个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．
(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．
　1.随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
　　[因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.]
2．设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
(1)求a；
(2)求P；
(3)求P.
[解]　(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
所以a＝.
(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝＝.
　由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和为1求参数值时，务必要检验．
[教师备选例题]
设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求随机变量Y＝2X＋1的分布列；
(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列；
(3)求随机变量ξ＝X2的分布列．
[解]　(1)由分布列的性质知，
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
从而Y＝2X＋1的分布列为
Y
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)列表为
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
∴P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，
P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
(3)首先列表为
X
0
1
2
3
4
X2
0
1
4
9
16
从而ξ＝X2的分布列为
ξ
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3

考点2　求离散型随机变量的分布列
　离散型随机变量分布列的求解步骤
(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．
(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．
(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．
(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．
　已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
[解]　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.
(2)X的可能取值为200，300，400.
P(X＝200)＝＝，
P(X＝300)＝＝，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－－＝＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P



　求解本题的关键是明确题设限制条件：“不放回”、“直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测结束”．
[教师备选例题]
一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．
[解]　(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P＝1－＝1－＝.
(2)由题意知，X的可能取值为1，2，3，4，且
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P





　袋子中有1个白球和2个红球．
(1)每次取1个球，不放回，直到取到白球为止，求取球次数X的分布列；
(2)每次取1个球，有放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次，求取球次数X的分布列；
(3)每次取1个球，有放回，共取5次，求取到白球次数X的分布列．
[解]　(1)X可能取值1，2，3.
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X分布列为
X
1
2
3
P



(2)X可能取值为1，2，3，4，5.
P(X＝k)＝()k－1×，k＝1，2，3，4，
P(X＝5)＝()4.故X分布列为
X
1
2
3
4
5
P





(3)因为X～B(5，)，所以X的分布列为
P(X＝k)＝C()k()5－k，k＝0，1，2，3，4，5.
X
0
1
2
3
4
5
P
()5





考点3　超几何分布
　求超几何分布的分布列的步骤

　端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
[解]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则
P(A)＝＝.
(2)X的所有可能值为0，1，2，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
综上知，X的分布列为
X
1
2
3
P



[母题探究]
1．在本例条件下，求至少有一个豆沙粽的概率．
[解]　由题意知，至少有一个豆沙粽的概率
P＝P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.
2．若本例中的X表示取到的粽子的种类，求X的分布列．
[解]　由题意知X的所有可能值为1，2，3，且
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝2)＝1－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－＝.
综上可知，X的分布列为
X
1
2
3
P




　 超几何分布描述的是不放回抽样问题，其实质是古典概型，主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型．
[教师备选例题]
(2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．
①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；
②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率．
【解】　(1)由题意得，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.
P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)．
则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝3)＝＝，则P(X＝2)＝1－－－＝，
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




②设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A＝B∪C，且B与C互斥．由①知，P(B)＝P(X＝2)，P(C)＝P(X＝1)，
故P(A)＝P(B∪C)＝P(X＝2)＋P(X＝1)＝.
所以，事件A发生的概率为.
　在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
[解]　(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3.
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.
由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，
而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝.
∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.