2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第七章第二节空间点、直线、平面之间的位置关系
展开第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
突破点一 平面的基本性质
1．公理1～3
| 文字语言 | 图形语言 | 符号语言 |
公理1 | 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 | ⇒l⊂α | |
公理2 | 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 | A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α | |
公理3 | 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 | P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l |
[点拨] 公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．
2．公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( )
(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( )
(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.( )
(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
二、填空题
1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________．
答案：4
2．下列命题中，真命题是________．
(1)空间不同三点确定一个平面；
(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；
(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；
(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．
解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．
答案：(4)
3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)
①P∈a，P∈α⇒a⊂α；
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.
答案：③
1．正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝，故选D.
2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．
求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点．
证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝A1B.
又∵A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．
(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，
设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，
又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点．
共面、共线、共点问题的证明方法
(1)证明点或线共面问题的两种方法：
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
(2)证明点共线问题的两种方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在同一条特定直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法：
先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )
解析：选D A，B，C图中四点一定共面，D中四 点不共面．
2.如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( )
A．A，M，O三点共线
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
解析：选A 连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．
突破点二 空间中两直线的位置关系
1．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
(2)公理4和等角定理
①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2．异面直线所成的角
(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)范围：.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．( )
(2)没有公共点的两条直线是异面直线．( )
(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线．( )
(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
二、填空题
1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是____________．
答案：相交、平行或异面
2．长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成的角为________．
答案：
3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．
答案：3
考法一 空间两直线位置关系的判定
[例1] (1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)
[解析] (1)法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．
法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．
[答案] (1)B (2)②④
[方法技巧] 空间两直线位置关系的判定方法
考法二 异面直线所成的角
[例2] (2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
[解析] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBAE1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．
连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.
在△DFB1中，由余弦定理，得
DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，
即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，
∴cos∠DB1F＝.
[答案] C
[方法技巧] 平移法求异面直线所成角的步骤
平移 | 平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移 |
证明 | 证明所作的角是异面直线所成的角或其补角 |
寻找 | 在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之 |
取舍 | 因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 |
1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
解析：选D 构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选A 由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．
3.如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选C 如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.
4.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解析：选C 如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．
因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝＝，
所以cos∠B1AD1＝＝.
