2019版高中数学二轮复习教师用书：专题一第1讲 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量
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第1讲 集合与常用逻辑用语、复数与平面向量
年份 | 卷别 | 小题考查 |
2018 | 全国卷Ⅰ | T1·集合的交集运算；T2·复数的运算、复数的模；T7·平面向量的线性运算 |
全国卷Ⅱ | T1·复数的乘法运算；T2·集合的交集运算；T4·平面向量的模及数量积运算 | |
全国卷Ⅲ | T1·集合的交集运算；T2·复数的乘法运算；T13·平面向量的坐标运算及向量共线的坐标关系 | |
2017 | 全国卷Ⅰ | T1·集合的运算；T3·复数的运算、复数的概念；T13·平面向量的垂直及数量积的坐标运算 |
全国卷Ⅱ | T1·集合的并集；T2·复数的乘法运算；T4·平面向量的概念及几何意义 | |
全国卷Ⅲ | T1·集合的交集运算、集合的概念；T2·复数的乘法运算、复数的几何意义 | |
2016 | 全国卷Ⅰ | T1·集合的交集运算；T2·复数的运算、复数的概念；T13·平面向量数量积的应用 |
全国卷Ⅱ | T1·集合的交集运算、一元二次不等式的解法；T2·复数的减法运算、共轭复数；T13·向量共线定理及向量坐标表示 | |
全国卷Ⅲ | T1·集合的补集运算；T2·共轭复数、复数的模及复数的除法运算；T3·平面向量的数量积的定义及坐标表示 |
一、选择题
1．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 ∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．
∴A∩B中元素的个数为2.故选B．
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( C )
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
解析 ∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．故选C．
3．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( D )
A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
解析 ∵x2＜9，∴－3＜x＜3，
∴B＝{x|－3＜x＜3}．
又A＝{1,2,3}，
∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}．故选D．
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( A )
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
解析 因为B＝{x|3－2x>0}＝，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故选A．
5．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( D )
A．－3－i B．－3＋i
C．3－i D．3＋i
解析 (1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i．
故选D．
6．(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是( C )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
解析 A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．
C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选C．
7．(2017·全国卷Ⅲ)复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C．
8．(2016·全国卷Ⅱ)设复数z满足z＋i＝3－i，则＝( C )
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
解析 由z＋i＝3－i得z＝3－2i，∴＝3＋2i，故选C．
9．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝1＋2i，则＝( C )
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析 因为z＝1＋2i，则＝1－2i，所以z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则＝＝i.故选C．
10．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝( D )
A．－8 B．－6
C．6 D．8
解析 方法一 因为a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
所以a＋b＝(4，m－2)．
因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8．
方法二 因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8．
11．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( A )
A．a⊥b B．|a|＝|b|
C．a∥b D．|a|>|b|
解析 方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2．
∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b．
∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A．
方法二 利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设＝a，＝b，
由|a＋b|＝|a－b|知||＝||，
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A．
12．(2016·全国卷Ⅲ)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( A )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析 因为＝，＝，所以·＝＋＝.又因为·＝||||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A．
二、填空题
13．(2017·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝__2__．
解析 ∵a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，
∴a·b＝0，即－2×3＋3m＝0，解得m＝2．
14．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__－6__．
解析 ∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，
∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6．
15．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝__7__．
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(m,1)，
∴a＋b＝(－1＋m,2＋1)＝(m－1,3)．
又a＋b与a垂直，∴(a＋b)·a＝0，
即(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7．
16．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝____．
解析 由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝．
