2019版高中数学二轮复习教师用书：专题六第1讲 大题考法——坐标系与参数方程
展开专题六 系列4选讲
第1讲 大题考法——坐标系与参数方程
卷别 | 年份 | 考查内容 | 命题规律及备考策略 |
全国卷Ⅰ | 2018 | 极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系 | 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．由于本部分在高考中考查的知识点较为稳定，在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题. |
2017 | 椭圆与直线的参数方程与普通方程的互化、直线与椭圆的位置关系 | ||
2016 | 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 | ||
全国卷Ⅱ | 2018 | 曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义、直线与椭圆的位置关系及其应用 | |
2017 | 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题 | ||
2016 | 极坐标方程与直角坐标方程互化及应用、直线与圆的位置关系 | ||
全国卷Ⅲ | 2018 | 参数方程与直角坐标方程的互化 | |
2017 | 直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法 | ||
2016 | 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值 |
考向 极坐标方程与参数方程的综合应用
【典例】 (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的(t为参数)，直线l2的(m为参数)．
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，
，求M的极径．
[审题指导]
①看到直线l1，l2的方程，想到消参、化为普通方程是常用方法
②看到l1，l2的交点问题时，想到联立方程再求解
③看到l3与C的交点问题，想到先求C的极坐标方程再联立求解
[规范解答] (1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)； 1分
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2). 2分
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)❶， 3分
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0). 4分
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π). 5分
联立❷ 6分
得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．
故tan θ＝－， 7分
从而cos2θ＝，sin2θ＝. 8分
代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5， 9分
所以交点M的极径为. 10分
❶处消去k后，注意等价性，易忽视y≠0而失误．
❷处联立极坐标方程后，注意运算技巧，先求cos2θ，sin2θ，再求ρ.若直接消去θ不太容易做到．
[技法总结] 求解极坐标方程与参数方程综合问题需过“三关”
一是互化关，即会把曲线的极坐标方程、直角坐标方程、参数方程进行互化；
二是几何意义关，即理解参数方程中的参数的几何意义，在解题中能加快解题速度；
三是运算关，思路流畅，还需运算认真，才能不失分．
[变式提升]
1．(2018·淮北二模)已知直线l的参数方程： (t为参数)，曲线C的参数方程：(α为参数)，且直线l交曲线C于A，B两点．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程，并求θ＝时，|AB|的长度；
(2)已知点P(1,0)，求当直线倾斜角θ变化时，|PA|·|PB|的范围．
解 (1)曲线C的参数方程：(α为参数)，
曲线C的普通方程为＋y2＝1．
当θ＝时，直线AB的方程为y＝x－1，
代入＋y2＝1，可得2x2－3x＝0，
∴x1＝0，x2＝.∴|AB|＝×|－0|＝．
(2)直线参数方程代入＋y2＝1，得
(cos2 θ＋3sin2 θ)t2＋2cos θ·t－2＝0．
设A，B对应的参数为t1，t2，
∴|PA|·|PB|＝－t1·t2＝＝∈．
2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．
(2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d，求d的最大值与最小值．
解 (1)曲线C的参数方程(θ为参数)，直线l的普通方程2x＋y－11＝0．
(2)曲线C上任意一点P到直线l的距离 d＝|3cos θ＋4sin θ－11|，
即d＝|5sin(θ＋α)－11|，其中α为锐角，且tan α＝，
当sin(θ＋α)＝－1时，最大值为；
当sin(θ＋α)＝1时，最小值为．
