2019版高中数学二轮复习教师用书：专题八第1讲　小题考法——函数的图象与性质

第1讲　小题考法——函数的图象与性质

一、主干知识要记牢

函数的奇偶性、周期性

(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)．

(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意一个x的值：若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，则f(x)是周期函数，T是它的一个周期．

二、二级结论要用好

1．函数单调性和奇偶性的重要结论

(1)当f(x)，g(x)同为增(减)函数时，f(x)＋g(x)为增(减)函数．

(2)奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.

(3)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称；

f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．

(4)偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与偶函数的积、商是奇函数．

(5)定义在(－∞，＋∞)上的奇函数的图象必过原点，即有f(0)＝0.存在既是奇函数，又是偶函数的函数：f(x)＝0．

(6)f(x)＋f(－x)＝0⇔f(x)为奇函数；f(x)－f(－x)＝0⇔f(x)为偶函数．

2．抽象函数的周期性与对称性的结论

(1)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，T＝2a．

②若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期函数，T＝2a．

③若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)是周期函数，T＝2a．

(2)函数图象的对称性

①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．

③若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称．

3．函数图象平移变换的相关结论

(1)把y＝f(x)的图象沿x轴左右平移|c|个单位(c＞0时向左移，c＜0时向右移)得到函数y＝f(x＋c)的图象(c为常数)．

(2)把y＝f(x)的图象沿y轴上下平移|b|个单位(b＞0时向上移，b＜0时向下移)得到函数y＝f(x)＋b的图象(b为常数)．

三、易错易混要明了

1．求函数的定义域时，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不能遗漏．

2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

3．判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

4．用换元法求解析式时，要注意新元的取值范围，即函数的定义域问题．

5．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数．

考点一　函数的概念及表示

1．函数定义域的求法

求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．

2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略

1．(2018·邵阳模拟)设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f的定义域为(　B　)

A．(1,2] B．(2,4]

C．[1,2] D．[2,4)

解析　f(x)的定义域为⇒1＜x≤2, 故1＜≤2,2＜x≤4, 所以选B．

2．(2018·南充三联)已知函数f(x)＝则f(2 018)＝__1_008__．

解析　函数f(x)＝则f(2 018)＝f(2 016)＋1＝f(2 014)＋2＝…＝f(0)＋1 009＝1－2＋1 009＝1 008, 故答案为1 008．

3．(2018·百校联盟4月联考)已知f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)(a＞0)，则实数a的值为__1__．

解析　∵a＞0，∴1－a＜1,1＋a＞1，由f(1－a)＝f(1＋a)得2－a＝，即a2－2a＋1＝0，所以a＝1．

考点二　函数的图象及应用

由函数解析式识别函数图象的策略

1．(2018·郴州二模)函数f(x)＝lnx－x2的大致图象是(　A　)

解析　因为f′(x)＝－x＝，所以0＜x＜2，f′(x)＞0，x＞2，f′(x)＜0，函数在(0,2)上是增函数，(2，＋∞)上是减函数，故C，D选项错误，又f(2)＝ln 2－＝ln 2－ln e＝ln ＞ln 1＝0，故选A．

2．(2018·江门一模)函数y＝·sin x的部分图象大致为(　A　)

解析　设f(x)＝·sin x，

由1＋ln |x|≠0得x≠±，则函数的定义域为

∪∪．

∵f(－x)＝·sin (－x)

＝－·sin x＝－f(x)，

∴函数f(x)为奇函数，排除D．

又1＞，且f(1)＝sin 1＞0，故可排除B．＜，

且f＝·sin ＝·sin ＝－3·sin ＜0，故可排除C．选A．

3．已知f(x)＝则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0解的个数是__5__．

解析　方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知方程解的个数为5．

考点三　函数的性质及应用

函数3个性质的应用

(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．

(2)单调性：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性．

(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．

1．(2018·山西联考)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(2))＝(　D　)

A．－2  B．－1

C．0  D．2

解析　设x＞0，则－x＜0，故f(－x)＝2x－2＝－f(x)，故x＞0时，f(x)＝2－2x，由g(2)＝f(2)＝2－4＝－2，故f(g(2))＝ f(－2)＝－f(2)＝2，故选D．

2．(2018·雅安三诊)已知函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，若f(a2)＋f(a－2)＞0，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(－∞，1)  B．(－∞，3)

C．(－1,2)  D．(－2,1)

解析　∵函数f(x)＝－x3－7x＋sin x，

∴f(－x)＝x3＋7x－sin x＝－f(x)，即函数f(x)在R上为奇函数．

∵f′(x)＝－3x2－7＋cos x，

∴f′(x)＝－3x2－7＋cos x＜0恒成立，

即函数f(x)在R上为减函数．

∵f(a2)＋

f(a－2)＞0，∴f(a2)＞

－f(a－2)＝f(2－a)，

∴a2＜2－a，即a2＋a－2＜0．

∴－2＜a＜1，故选D．

3．(2018·石嘴山二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当0＜x＜2时，f(x)＝2x－1，则f(－21)＋f(16)＝__－1__．

解析　f(－21)＝f(－1)

＝－f(1)

＝－1，f(16)

＝f(0)＝0，

∴f(－21)＋f(16)＝－1，故答案为－1．

4．(2018·延边模拟)若函数f(x)＝

(a＞0，a≠1)，当x1，x2∈R，x1≠x2，时有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，则a的取值范围是__(2,3]__．

解析　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，得函数f(x)是增函数，∴解得2＜a≤3.故答案为(2,3]．