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2019版二轮复习数学（理·重点生）通用版讲义：第二部分第二板块贯通4大数学思想——解得稳
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第二板块 贯通4大数学思想——解得稳
思想(一) 函数方程 稳妥实用
函数与方程思想的概念
函数与方程思想的应用
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题
在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
[解] (1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＝.
令f (x)＝2x＋(x≥1)，则f ′(x)＝2－，
当x≥1时，f ′(x)>0恒成立，
所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f (x)min＝f (1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则需使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
[技法领悟]
数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
[应用体验]
1．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝.
令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，
令y′＝0，解得h＝2.易知当h＝2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13<0，则S1，S2，S3，…，S12中的最大项为________．
解析：由a3＝12，得a1＝12－2d，
所以S12＝144＋42d>0.
S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－＜d＜－3.
Sn＝na1＋d＝dn2＋n，
由d＜0，Sn是关于n的二次函数，知对称轴方程为n＝－.
又由－＜d＜－3，得6＜－＜，
所以当n＝6时，Sn最大．
答案：S6
3．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
解析：可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得
S△ABC＝AB·BC·sin B＝x.
由余弦定理得cos B＝＝.
则S△ABC＝x ＝ .
由解得2－2＜x＜2＋2.
故当x＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为2.
答案：2
转换“函数关系”，利用函数思想解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
已知函数f (x)＝lg，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f (x)有意义，则实数a的取值范围为________．
[解析] 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．
由＞0，且a2－a＋1＝2＋＞0，
得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－.
当x∈(－∞，1]时，y＝与y＝都是减函数，
因此，函数y＝－在(－∞，1]上是增函数，
所以－max＝－，所以a＞－.
故实数a的取值范围是.
[答案]
发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－＋的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．
[技法领悟]
[应用体验]
4．设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．
解析：问题可以变成关于m的不等式
(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，
设f (m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
则
即
解得
答案：
5．已知椭圆C的离心率为，过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾斜角为，直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．
解：(1)因为e＝＝，＝，b＝1，所以a＝2，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l过点E(－1,0)，
所以可设直线l的方程为x＝my－1或y＝0(舍去)．
联立消去x并整理，
得(m2＋4)y2－2my－3＝0，
Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y2－y1|＝，
所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝
＝.
设t＝，则g(t)＝t＋，t≥，
所以g′(t)＝1－＞0，
所以g(t)在区间[，＋∞)上为增函数，
所以g(t)≥，
所以S△AOB≤，当且仅当m＝0时等号成立．
所以△AOB的面积存在最大值，为.
构造“函数关系”，利用函数思想解决问题
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f (x)＞1.
[解] (1)f ′(x)＝aex＋(x＞0)，
由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)，
所以即解得
(2)证明：由(1)知f (x)＝exln x＋(x＞0)，
从而f (x)＞1等价于xln x＞xe－x－.
构造函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，
所以当x∈时，g′(x)＜0，当x∈，＋∞时，g′(x)＞0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
构造函数h(x)＝xe－x－，
则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f (x)＞1.
[技法领悟]
对于第(2)问“aexln x＋＞1”的证明，若直接构造函数h(x)＝aexln x＋－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexln x＋＞1”合理拆分为“xln x＞xe－x－”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．
[应用体验]
6．已知函数y＝f (x)对于任意的x∈满足f ′(x)·cos x＋f (x)sin x＝1＋ln x，其中f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列不等式成立的是( )
A.ff
C.f >f D.f
则g′(x)＝＝.
由解得
因为>>，所以g>g，
所以>，
即f >f ，故选B.
7．若0
令f ′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f (x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．
设g(x)＝(0
又0g(x2)，
∴x2e>x1e，故选C.
构造“方程形式”，利用方程思想解决问题
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．
已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
[解] 存在．显然F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)．
当k＝0时，l与C只有一个交点不合题意，因此，k≠0.
将y＝k(x＋1)代入y2＝4x，
得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ①
依题意，x1，x2是①式不相等的两个根，
则
以AB为直径的圆过F⇔AF⊥BF⇔kAF·kBF＝－1
⇔·＝－1⇔x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0
⇔x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0
⇔(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0.③
把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③式，
得2k2－1＝0.∴k＝±，经检验，k＝±适合②式．
综上所述，k＝±为所求．
[技法领悟]
“是否存在符合题意的实数k”，按思路的自然流向应变为“关于k的方程是否有解”．另外，解得k＝±后，必须经过②式的检验，就是说，k＝±时 ，直线l与抛物线C要确实有两个不同的交点．
[应用体验]
8. 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围为________．
解析：|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝≤＝.
所以a与b的夹角θ的取值范围为.
答案：
9．已知x∈，则函数y＝的最小值为________．
解析：将原函数变形为y2x2－5x＋2＝0，x∈.设f (x)＝y2x2－5x＋2，该方程有解的充要条件为
f ·f (2)≤0或
解得≤y≤，所以ymin＝，此时x＝或x＝2.
答案：
转换“方程形式”，利用方程思想解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．
已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝.
从而＝＝.
法二：令x＝.因为＝，
且＝＝＝＝.
所以得到方程＝.
解这个方程得＝x＝.
[技法领悟]
本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值．
[应用体验]
10．已知函数f (x)满足条件f (x)＋2f ＝x，则f (x)＝________.
解析：用代换条件式中的x得f ＋2f (x)＝，
因此f (x)与f 满足方程组
②×2－①得3f (x)＝，解得f (x)＝.
答案：
11．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：联立消去y，得x2－10x＋9＝0，
解得或
所以|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
梯形APQB的面积为48.
答案：48
[总结升华]
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．
(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
思想(二) 数形结合 直观快捷
充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．
数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数
以数助形
即借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何方法
即借助数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助几何轨迹所遵循的数量关系；借助运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．
利用数形结合求解f (x)＝k型问题
方法一：直接作图
(1)已知函数f (x)＝|lg x|.若0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
[解析] (1)先作出f (x)＝|lg x|的图象如图所示，通过图象可知，如果f (a)＝f (b)，则0＜a＜1＜b，且b＝，所以a＋2b＝a＋，令h(a)＝a＋，由对勾函数的性质知函数h(a)在(0,1)上为减函数，所以h(a)>h(1)＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．故选C.
(2)f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，化简得f (x)＝作出f (x)的图象及直线y＝k，由图象知当1＜k＜3时，函数f (x)与直线y＝k有且仅有两个交点．
[答案] (1)C (2)(1,3)
[技法领悟]
如本例(1)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键．本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即ab＝1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性．本例(2)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况．但有些题中的这条水平线就不容易能看出来．
特别提醒：务必注意水平直线与函数图象的交点的横坐标之间的联系．例如，一条水平直线与二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线与三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性等等．
[应用体验]
1．已知f (x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f (x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析： 原方程等价于f (x)＝其图象如图所示，要使a＝f (x)有零点，则a≥1，因此a的最小值为1.
答案：1
2．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝设f (x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
解析：f (x)＝(2x－1)⊕(x－1)
＝
⇒f (x)＝
故关于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点．
作出函数f (x)的大致图象如图所示，从图中不难得知0
当x>0时，－x2＋x＝m，
即x2－x＋m＝0，
由此可得x2x3＝m.当x<0时，
由2x2－x＝，得x＝.
当m在上递增时，
|x1|也在上递增．
从而m|x1|随着m的递增而递增，
而x1<0，所以x1x2x3∈为所求．
答案：
方法二：先变形后作图
(1)若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围为________．
(2)已知函数g(x)＝a－x2－2x，f (x)＝且函数y＝f (x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)利用分离参数思想，直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，等价于方程1－a＝x2－|x|有四个不同的根，令g(x)＝x2－|x|，画出g(x)的图象，如图所示．将水平直线y＝1－a从上往下平移，当1－a＝0，即a＝1时，有3个交点，再往下平移，有4个交点，继续往下平移，当1－a＝－，即a＝时，有两个交点．因此a的取值范围为.
(2)f (x)＝y＝f (x)－x恰有3个不同的零点等价于y＝f (x)与y＝x的图象有三个不同的交点，试想将曲线f (x)上下平移使之与y＝x有三个交点是何等的复杂，故把原函数变形，
由f (x)－x＝
可得f (x)－x＝a＋
所以y＝f (x)－x有三个零点等价于
a＝有三个根．
令h(x)＝
画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a∈[－1,0)．
[答案] (1) (2)[－1,0)
[技法领悟]
如果对本例(1)不变形，也可求出参数的取值范围，变形只是让作图更简单易行．然而多数情况下，变形是解题的关键，如本例(2)．如果不变形，恐怕不是复杂一点点的问题了．
[应用体验]
3．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 显然x＝0不是f (x)的零点，将f (x)＝0变形得a＝－，由题意得直线y＝a与函数y＝－的图象有唯一交点且交点在y轴右边．由于函数g(x)＝－为奇函数，考虑当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝，g(x)在x＝1处取得极大值，且当x趋近于0时，g(x)趋近于－∞；且当x趋近于＋∞时，g(x)趋近于0，画出y＝g(x)的图象如图所示，平移直线y＝a，由图象知a的取值范围是(－∞，－2)．
4．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．
解析：x＝0，显然是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2可化为
＝(x＋4)|x|(x≠－4)，
设f (x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．
则f (x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图，易得0<<4，
解得k>.
所以k的取值范围为.
答案：
利用数形结合求解kx＋b＝f (x)型问题
方法一：旋转动直线
若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向．
(1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝若|f (x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
[解析] (1)由题意得函数f (x)的图象与函数g(x)的图象有两个不同的交点，分别画出函数图象如图所示．直线g(x)＝kx过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数f (x)＝|x－2|＋1只有一个交点，此时k＝＝，然后直线绕着原点逆时针旋转，当与f (x)在x>2时的图象平行时，就只有一个交点，所以
题意矛盾，所以a≤0.故只需满足动直线g(x)＝ax在区间(－∞，0)内落在f (x)＝x2－2x之下即可．其临界情形是g(x)＝ax与f (x)＝x2－2x相切，即x2－2x＝ax只有一个实数解，可得a＝－2.如图所示，动直线g(x)＝ax逆时针旋转满足题意，因此a∈[－2,0]．
[答案] (1)B (2)D
[技法领悟]
解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析．
[应用体验]
5．已知方程－ax－4＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析：方程－ax－4＝0有两个不相等的实数根等价于函数y＝与y＝ax＋4有两个不同的交点，y＝ 是一个半圆，直线y＝ax＋4是绕点(0,4)旋转的动直线，画出y＝的图象，如图所示，要使＝ax＋4有两个不同的实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时a的值，由⇒(a2＋1)x2＋(8a－4)x＋16＝0，Δ＝0⇒a＝－.由图可知，直线y＝ax＋4绕点(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当－1≤a＜－时，直线与曲线有两个交点，于是a的取值范围为.
答案：
6．用max{a，b}表示a，b两个数中最大数，设f (x)＝max{－x2＋8x－4，log2x}，若g(x)＝f (x)－kx有两个零点，则k的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,4) D．[0,4]
解析：选C 法一：画出f (x)的图象如图所示，g(x)有两个零点，即y＝f (x)的图象与y＝kx的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时－x2＋8x－4＝kx，Δ＝(k－8)2－16＝0⇒k1＝4，k2＝12(舍去，此时与下方相切)，所以当0
方法二：平移动直线
(1)已知函数f (x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f (x)＝x2.如果直线y＝x＋a与曲线y＝f (x)恰有两个交点，则实数a的值是( )
A．0
B．2k(k∈Z)
C．2k或2k＋(k∈Z)
D．2k或2k－(k∈Z)
(2)若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是________．
[解析] (1)画出函数y＝f (x)的图象，如图所示，y＝x＋a是斜率恒为1的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与y＝f (x)的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与y＝f (x)，x∈[0,1]相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立⇒x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0⇒a＝－，所以在一个周期内得到满足条件的a的值为a＝0或a＝－，又因为周期为2，所以a＝2k或a＝－＋2k(k∈Z)．
(2)令f (x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|，由于g(x)＝|x－a|的图象是V形．首先将这个V形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a＝2.然后再将V形尖点向左平移，即如图中的箭头所示．由图可知，向左平移的临界情况是V形尖点右支与f (x)相切，此时联立知x2＋x－a－2＝0有一个解，Δ＝1＋4(2＋a)＝0⇒a＝－.要特别注意，此时g(x)＝|x－a|的图象与f (x)＝2－x2的图象相切，但不等式取不到等号，因此a≠－，注意到a＝2时无负数根，因此a的取值范围为.
[答案] (1)D (2)
[技法领悟]
对于平移的动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会．
[应用体验]
7．已知函数f (x)＝且关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(－1,3)
C．(－∞，1) D．(2,4)
解析：选A 画出f (x)的图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f (x)的图象与直线y＝－x＋a的图象只有一个交点．首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f (x)图象与直线y＝－x＋a只有一个交点，所以a的取值范围是(1，＋∞)．
8．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 注意本题只有在(－1，＋∞)内才是周期为1的函数，根据函数的解析式首先画出在(－∞，0]内的图象，然后截取(－1,0]的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f (x)的图象，如图所示．y＝x＋a是斜率为1的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足f (x)图象与直线y＝x＋a有两个交点，所以a的取值范围是(－∞，1).
利用数形结合求解解析几何问题
(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
[解析] (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
(2)如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.
[答案] (1)B (2)D
[技法领悟]
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
[应用体验]
9．已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．
解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝·|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
答案：2
10．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
解析：因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
答案：
[总结升华]
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
思想(三) 分类讨论 巧分善合
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了．因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法．其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起．这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．
分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用．
由概念、法则、公式引起的分类讨论
(2018·武昌调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )
A．－3 B．1
C．－3或1 D．1或3
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，
代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或
故a1＝1或－3.
[答案] C
[技法领悟]
本题易忽略对q的取值情况进行讨论，而直接利用Sn＝，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．
[应用体验]
1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为( )
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
解析：选C 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
2．已知双曲线的渐近线方程是2x±y＝0，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.或
解析：选D 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±2x.
①若双曲线的焦点在x轴上，则因双曲线的渐近线方程为y＝±x，故有＝2，所以离心率e＝ ＝；
②若双曲线的焦点在y轴上，则因双曲线的渐近线方程为y＝±x，故有＝2，即＝，
所以离心率e＝ ＝.
综上，离心率e＝或.
由运算、性质引起的分类讨论
已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
[解析] ∵a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，
∴当a＞1，即a－1＞0时，
不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
当0＜a＜1，即a－1＜0时，
不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
综上可知，选D.
[答案] D
[技法领悟]
应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
[应用体验]
3．若函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；若0
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解：(1)由cos 2C＝1－2sin2C＝－，得sin C＝.
(2)由2sin A＝sin C及正弦定理，得2a＝c，所以c＝4.
由sin C＝，得cos C＝±.
下面分两种情况：
①当cos C＝时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2－b－12＝0，解得b＝2.
②当cos C＝－时，同理可得b＝.
综上c＝4，b＝2或b＝.
由参数变化引起的分类讨论
设函数f (x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f (x)的单调区间．
[解] 由f (x)＝x3－ax－b，可得f ′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f ′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，
解得x＝或x＝－.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f (x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.
[技法领悟]
(1)本题研究函数性质需对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a>0两种情况．
(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
[应用体验]
5．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x)＝若f (a)＝3，则f (a－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A 当a＞0时，若f (a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f (a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f (a－2)＝f (0)＝4－2－1＝－.
6．设函数f (x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f (x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)
解析：选A 由f (x)＝x2－ax＋a＋3，知f (0)＝a＋3，f (1)＝4.又存在x0∈R，使得f (x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过(2,0)．故当a>6时，作出函数f (x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f (x)和g(x)的图象如图2所示．
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f (x0)<0，则需解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f (x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<0，
故函数f (x)在区间上为增函数，
又f (1)＝4，∴f (x0)<0不成立．
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
根据图形位置或形状分类讨论
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
[解] ①若∠PF2F1＝90°.
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
②若∠F1PF2＝90°，
则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.
综上知，＝或2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)根据图形位置或形状分类讨论问题的步骤．
①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
[应用体验]
7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A. B．4
C. D．4或
解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝×2×2××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝××××6＝.
8．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )
A．－ B.
C．0 D．0或－
解析：选D 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
结合图形可知斜率k的值为0或－.
9．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；
当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，
所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．
综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.
[总结升华]
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
思想(四) 转化与化归 峰回路转
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等．
正与反的转化
若对任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是______________．
[解析] 由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，
则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数时，m的取值范围为.
[答案]
[技法领悟]
(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．
(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法(正与反的转化)多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
[应用体验]
1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
解析：选C 由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}，若a∈R，b∈R，则A∩B≠∅的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形，如图，正方形的面积为4.令函数f (x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f ′(x)＝a＋bln 2·2x.因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f ′(x)>0，即f (x)在[－1,0]上是单调递增函数，所以f (x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.要使A∩B＝∅，只需f (x)min＝－a＋－1≥0，即2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域为如图所示的阴影部分．
易知S阴影＝×1×＝，所以A∩B＝∅的概率为＝，故A∩B≠∅的概率为1－＝.
常量与变量的转化
对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是___________________________________________________________________．
[解析] 不等式x2＋px>4x＋p－3对p∈[0,4]恒成立可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0对p∈[0,4]恒成立，
设f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f (p)＝0.所以x≠1.
f (p)在0≤p≤4上恒为正等价于
即解得x>3或x<－1.
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
[技法领悟]
(1)本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很烦琐，若以p为主元，即将原问题化归在区间[0,4]上，求使一次函数f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3>0成立的x的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决．
(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，实现主与次的转化，即常量与变量的转化，从而达到减元的目的．
[应用体验]
3．设f (x)是定义在R上的单调递增函数，若f (1－ax－x2)≤f (2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________．
解析：∵f (x)是R上的单调递增函数，
∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．
可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，
则g(a)≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．
则
解得x≥0或x≤－1.
即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[0，＋∞)
4．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取正值，则x的取值范围是__________________．
解析：设y＝f (t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f (t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f (t)＞0恒成立，则
即解得log2x＜－1或log2x＞3.
即0＜x＜或x＞8，
故x的取值范围是∪.
答案：∪(8，＋∞)
特殊与一般的转化
(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝____________________________________________________.
(2)已知f (x)＝，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝____________.
[解析] (1)显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝.
(2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，
所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，
所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018.
[答案] (1) (2)2 018
[技法领悟]
(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．
(2)破解此类题的关键点：
①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．
②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．
③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．
④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论．
[应用体验]
5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8
解析：选B 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a8
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：选C 法一：(特例法)
若四边形ABCD为矩形，建系如图．
由＝3，＝2，
知M(6,3)，N(4,4)，
∴＝(6,3)，＝(2，－1)
∴·＝6×2＋3×(－1)＝9.
法二：如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，
＝－＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
函数、方程、不等式间的转化
(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________________．
(2)设函数f (x)＝x2－1，对任意x∈，f －4m2f (x)≤f (x－1)＋4f (m)恒成立，则实数m的取值范围是__________________．
[解析] (1)设t＝3x(t>0)，则原题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)·t＋4＝0有正解．
分离变量a，得a＋4＝－，
因为t>0，所以－≤－4，所以a≤－8，
即实数a的取值范围是(－∞，－8]．
(2)不等式化为f (x－1)＋4f (m)－f ＋4m2f (x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，
整理得x2－2x－3≥0，
法一：因为x2>0，所以1－＋4m2≥.
设g(x)＝，x∈.
于是原不等式化为1－＋4m2≥g(x)，对任意x∈恒成立的问题．
为此需求g(x)＝，x∈的最大值．
设u＝，则0
所以1－＋4m2≥g(x)max＝，
整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，
所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，
因此实数m的取值范围是－∞，－∪.
法二：令F(x)＝x2－2x－3.
由于F(0)＝－3<0，则其判别式Δ>0，
所以为使F(x)≥0对任意x∈恒成立，必须使F为最小值，即实数m应满足解得m2≥，所以m≥或m≤－.
因此实数m的取值范围是∪.
[答案] (1)(－∞，－8]
(2)∪
[技法领悟]
(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围．
[应用体验]
7．已知函数f (x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f ′(x)－ax－5，其中f ′(x)是f (x)的导函数．对任意a∈[－1,1]，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________________．
解析：由题意，知f ′(x)＝3x2＋3a，
则g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.
由题意得即
解得－
8．已知函数f (x)＝3e|x|，若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f (x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
解析：∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
∴f (x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m)．
∵h′(x)＝－1≤0，
∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
∴要使得对任意的x∈[1，m]，t值恒存在，
只需1＋ln m－m≥－1.
∵h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln
∴满足条件的最大整数m的值为3.
答案：3
形体位置关系的相互转化
如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为( )
A．40 B．80
C．160 D．240
[解析] 因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，
易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得
⇒
从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDG－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
[答案] C
[技法领悟]
破解此类题的关键点：
(1)分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．
(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．
(3)得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．
[应用体验]
9.如图，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A．是变量且有最大值
B．是变量且有最小值
C．是变量且有最大值和最小值
D．是常数
解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．
10．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
解析：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．
通过计算可得AB＝A1B1＝，A1B＝，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.
由余弦定理可求得A1C＝5.
答案：5
[总结升华]
1．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
2．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．
(2)化归到何处去，即化归目标．
(3)如何进行化归，即化归方法．
转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．
思想(一) 函数方程 稳妥实用
函数与方程思想的概念
函数与方程思想的应用
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解．方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的.
函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的.
借助“显化函数关系”，利用函数思想解决问题
在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设数列{an}的前n项和为Sn，bn＝＋＋…＋，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．
[解] (1)因为a1＝2，a＝a2(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，所以公差d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
解得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(2)由(1)知Sn＝n(n＋1)，
则bn＝＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＝.
令f (x)＝2x＋(x≥1)，则f ′(x)＝2－，
当x≥1时，f ′(x)>0恒成立，
所以f (x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f (x)min＝f (1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则需使k≥(bn)max＝，
所以实数k的最小值为.
[技法领悟]
数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式、前n项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于n的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．
[应用体验]
1．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D 设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2＋＝9，即a2＝9－，那么正六棱柱的体积V＝×h＝h＝.
令y＝－＋9h，则y′＝－＋9，
令y′＝0，解得h＝2.易知当h＝2时，y取最大值，即正六棱柱的体积最大．
2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13<0，则S1，S2，S3，…，S12中的最大项为________．
解析：由a3＝12，得a1＝12－2d，
所以S12＝144＋42d>0.
S13＝13a1＋78d＝156＋52d＜0，所以－＜d＜－3.
Sn＝na1＋d＝dn2＋n，
由d＜0，Sn是关于n的二次函数，知对称轴方程为n＝－.
又由－＜d＜－3，得6＜－＜，
所以当n＝6时，Sn最大．
答案：S6
3．满足条件AB＝2，AC＝BC的三角形ABC的面积的最大值是________．
解析：可设BC＝x，则AC＝x，根据面积公式得
S△ABC＝AB·BC·sin B＝x.
由余弦定理得cos B＝＝.
则S△ABC＝x ＝ .
由解得2－2＜x＜2＋2.
故当x＝2时，S△ABC取得最大值，最大值为2.
答案：2
转换“函数关系”，利用函数思想解决问题
在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
已知函数f (x)＝lg，其中a为常数，若当x∈(－∞，1]时，f (x)有意义，则实数a的取值范围为________．
[解析] 参数a深含在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于a的不等式(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把a分离出来，重新认识a与变元x的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明”．
由＞0，且a2－a＋1＝2＋＞0，
得1＋2x＋4x·a＞0，故a＞－.
当x∈(－∞，1]时，y＝与y＝都是减函数，
因此，函数y＝－在(－∞，1]上是增函数，
所以－max＝－，所以a＞－.
故实数a的取值范围是.
[答案]
发掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝－＋的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法．
[技法领悟]
[应用体验]
4．设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为________．
解析：问题可以变成关于m的不等式
(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，
设f (m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
则
即
解得
答案：
5．已知椭圆C的离心率为，过上顶点(0,1)和左焦点的直线的倾斜角为，直线l过点E(－1,0)且与椭圆C交于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)△AOB的面积是否有最大值？若有，求出此最大值；若没有，请说明理由．
解：(1)因为e＝＝，＝，b＝1，所以a＝2，
故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)因为直线l过点E(－1,0)，
所以可设直线l的方程为x＝my－1或y＝0(舍去)．
联立消去x并整理，
得(m2＋4)y2－2my－3＝0，
Δ＝(－2m)2＋12(m2＋4)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1>y2，
则y1＋y2＝，y1y2＝，
所以|y2－y1|＝，
所以S△AOB＝|OE||y2－y1|＝
＝.
设t＝，则g(t)＝t＋，t≥，
所以g′(t)＝1－＞0，
所以g(t)在区间[，＋∞)上为增函数，
所以g(t)≥，
所以S△AOB≤，当且仅当m＝0时等号成立．
所以△AOB的面积存在最大值，为.
构造“函数关系”，利用函数思想解决问题
在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
设函数f (x)＝aexln x＋，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线为y＝e(x－1)＋2.
(1)求a，b；
(2)证明：f (x)＞1.
[解] (1)f ′(x)＝aex＋(x＞0)，
由于直线y＝e(x－1)＋2的斜率为e，图象过点(1,2)，
所以即解得
(2)证明：由(1)知f (x)＝exln x＋(x＞0)，
从而f (x)＞1等价于xln x＞xe－x－.
构造函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，
所以当x∈时，g′(x)＜0，当x∈，＋∞时，g′(x)＞0，故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.
构造函数h(x)＝xe－x－，
则h′(x)＝e－x(1－x)．
所以当x∈(0,1)时，h′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0；
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.
综上，当x＞0时，g(x)＞h(x)，即f (x)＞1.
[技法领悟]
对于第(2)问“aexln x＋＞1”的证明，若直接构造函数h(x)＝aexln x＋－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式“aexln x＋＞1”合理拆分为“xln x＞xe－x－”，再分别对左右两边构造函数，进而达到证明原不等式的目的．
[应用体验]
6．已知函数y＝f (x)对于任意的x∈满足f ′(x)·cos x＋f (x)sin x＝1＋ln x，其中f ′(x)是函数f (x)的导函数，则下列不等式成立的是( )
A.f
C.f >f D.f
则g′(x)＝＝.
由解得
因为>>，所以g>g，
所以>，
即f >f ，故选B.
7．若0
令f ′(x)＝0，得xex－1＝0.
根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈(0,1)，因此函数f (x)在(0,1)上不是单调函数，故A、B选项不正确．
设g(x)＝(0
又0
∴x2e>x1e，故选C.
构造“方程形式”，利用方程思想解决问题
分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面．
已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x交于不同的两点A，B，问：是否存在实数k，使以AB为直径的圆过抛物线C的焦点F？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
[解] 存在．显然F的坐标为(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝k(x1＋1)，y2＝k(x2＋1)．
当k＝0时，l与C只有一个交点不合题意，因此，k≠0.
将y＝k(x＋1)代入y2＝4x，
得k2x2＋2(k2－2)x＋k2＝0， ①
依题意，x1，x2是①式不相等的两个根，
则
以AB为直径的圆过F⇔AF⊥BF⇔kAF·kBF＝－1
⇔·＝－1⇔x1x2＋y1y2－(x1＋x2)＋1＝0
⇔x1x2＋k2(x1＋1)(x2＋1)－(x1＋x2)＋1＝0
⇔(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋1＋k2＝0.③
把x1＋x2＝，x1x2＝1代入③式，
得2k2－1＝0.∴k＝±，经检验，k＝±适合②式．
综上所述，k＝±为所求．
[技法领悟]
“是否存在符合题意的实数k”，按思路的自然流向应变为“关于k的方程是否有解”．另外，解得k＝±后，必须经过②式的检验，就是说，k＝±时 ，直线l与抛物线C要确实有两个不同的交点．
[应用体验]
8. 已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b夹角的取值范围为________．
解析：|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝≤＝.
所以a与b的夹角θ的取值范围为.
答案：
9．已知x∈，则函数y＝的最小值为________．
解析：将原函数变形为y2x2－5x＋2＝0，x∈.设f (x)＝y2x2－5x＋2，该方程有解的充要条件为
f ·f (2)≤0或
解得≤y≤，所以ymin＝，此时x＝或x＝2.
答案：
转换“方程形式”，利用方程思想解决问题
把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．
已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，求的值．
[解] 法一：由已知条件及正弦的和(差)角公式，得
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝.
从而＝＝.
法二：令x＝.因为＝，
且＝＝＝＝.
所以得到方程＝.
解这个方程得＝x＝.
[技法领悟]
本例解法二运用方程的思想，把已知条件通过变形看作关于sin αcos β与cos αsin β的方程来求解，从而获得欲求的三角表达式的值．
[应用体验]
10．已知函数f (x)满足条件f (x)＋2f ＝x，则f (x)＝________.
解析：用代换条件式中的x得f ＋2f (x)＝，
因此f (x)与f 满足方程组
②×2－①得3f (x)＝，解得f (x)＝.
答案：
11．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为________．
解析：联立消去y，得x2－10x＋9＝0，
解得或
所以|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
梯形APQB的面积为48.
答案：48
[总结升华]
函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识
(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．
(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．
(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．
(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
思想(二) 数形结合 直观快捷
充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法．
数形结合思想的应用包括以下两个方面：
以形助数
以数助形
即借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助解析几何方法
即借助数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助几何轨迹所遵循的数量关系；借助运算结果与几何定理的结合
由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化．
利用数形结合求解f (x)＝k型问题
方法一：直接作图
(1)已知函数f (x)＝|lg x|.若0
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．
[解析] (1)先作出f (x)＝|lg x|的图象如图所示，通过图象可知，如果f (a)＝f (b)，则0＜a＜1＜b，且b＝，所以a＋2b＝a＋，令h(a)＝a＋，由对勾函数的性质知函数h(a)在(0,1)上为减函数，所以h(a)>h(1)＝3，即a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．故选C.
(2)f (x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，化简得f (x)＝作出f (x)的图象及直线y＝k，由图象知当1＜k＜3时，函数f (x)与直线y＝k有且仅有两个交点．
[答案] (1)C (2)(1,3)
[技法领悟]
如本例(1)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键．本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而是满足一定的关系，即ab＝1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性．本例(2)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况．但有些题中的这条水平线就不容易能看出来．
特别提醒：务必注意水平直线与函数图象的交点的横坐标之间的联系．例如，一条水平直线与二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线与三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性等等．
[应用体验]
1．已知f (x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f (x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为________．
解析： 原方程等价于f (x)＝其图象如图所示，要使a＝f (x)有零点，则a≥1，因此a的最小值为1.
答案：1
2．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b＝设f (x)＝(2x－1)*(x－1)，且关于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是________．
解析：f (x)＝(2x－1)⊕(x－1)
＝
⇒f (x)＝
故关于x的方程f (x)＝m(m∈R)恰有三个互不相等的实根x1，x2，x3，等价于函数f (x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点．
作出函数f (x)的大致图象如图所示，从图中不难得知0
当x>0时，－x2＋x＝m，
即x2－x＋m＝0，
由此可得x2x3＝m.当x<0时，
由2x2－x＝，得x＝.
当m在上递增时，
|x1|也在上递增．
从而m|x1|随着m的递增而递增，
而x1<0，所以x1x2x3∈为所求．
答案：
方法二：先变形后作图
(1)若直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围为________．
(2)已知函数g(x)＝a－x2－2x，f (x)＝且函数y＝f (x)－x恰有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[解析] (1)利用分离参数思想，直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，等价于方程1－a＝x2－|x|有四个不同的根，令g(x)＝x2－|x|，画出g(x)的图象，如图所示．将水平直线y＝1－a从上往下平移，当1－a＝0，即a＝1时，有3个交点，再往下平移，有4个交点，继续往下平移，当1－a＝－，即a＝时，有两个交点．因此a的取值范围为.
(2)f (x)＝y＝f (x)－x恰有3个不同的零点等价于y＝f (x)与y＝x的图象有三个不同的交点，试想将曲线f (x)上下平移使之与y＝x有三个交点是何等的复杂，故把原函数变形，
由f (x)－x＝
可得f (x)－x＝a＋
所以y＝f (x)－x有三个零点等价于
a＝有三个根．
令h(x)＝
画出y＝h(x)的图象如图所示，将水平直线y＝a从上向下平移，当a＝0时，有两个交点，再向下平移，有三个交点，当a＝－1时，有三个交点，再向下就只有两个交点了，因此a∈[－1,0)．
[答案] (1) (2)[－1,0)
[技法领悟]
如果对本例(1)不变形，也可求出参数的取值范围，变形只是让作图更简单易行．然而多数情况下，变形是解题的关键，如本例(2)．如果不变形，恐怕不是复杂一点点的问题了．
[应用体验]
3．已知函数f (x)＝ax3－3x2＋1，若f (x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)
解析：选B 显然x＝0不是f (x)的零点，将f (x)＝0变形得a＝－，由题意得直线y＝a与函数y＝－的图象有唯一交点且交点在y轴右边．由于函数g(x)＝－为奇函数，考虑当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＝，g(x)在x＝1处取得极大值，且当x趋近于0时，g(x)趋近于－∞；且当x趋近于＋∞时，g(x)趋近于0，画出y＝g(x)的图象如图所示，平移直线y＝a，由图象知a的取值范围是(－∞，－2)．
4．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为________．
解析：x＝0，显然是方程的一个实数解；
当x≠0时，方程＝kx2可化为
＝(x＋4)|x|(x≠－4)，
设f (x)＝(x＋4)|x|(x≠－4且x≠0)，y＝，原题可以转化为两函数有三个非零交点．
则f (x)＝(x＋4)|x|＝的大致图象如图所示，
由图，易得0<<4，
解得k>.
所以k的取值范围为.
答案：
利用数形结合求解kx＋b＝f (x)型问题
方法一：旋转动直线
若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向．
(1)已知函数f (x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若f (x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
(2)已知函数f (x)＝若|f (x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
[解析] (1)由题意得函数f (x)的图象与函数g(x)的图象有两个不同的交点，分别画出函数图象如图所示．直线g(x)＝kx过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数f (x)＝|x－2|＋1只有一个交点，此时k＝＝，然后直线绕着原点逆时针旋转，当与f (x)在x>2时的图象平行时，就只有一个交点，所以
题意矛盾，所以a≤0.故只需满足动直线g(x)＝ax在区间(－∞，0)内落在f (x)＝x2－2x之下即可．其临界情形是g(x)＝ax与f (x)＝x2－2x相切，即x2－2x＝ax只有一个实数解，可得a＝－2.如图所示，动直线g(x)＝ax逆时针旋转满足题意，因此a∈[－2,0]．
[答案] (1)B (2)D
[技法领悟]
解决此类问题，初始位置(临界情况)的选取相当重要，一般来说，初始位置要么恰好满足题意，要么恰好不满足题意，具体情况还得具体分析．
[应用体验]
5．已知方程－ax－4＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．
解析：方程－ax－4＝0有两个不相等的实数根等价于函数y＝与y＝ax＋4有两个不同的交点，y＝ 是一个半圆，直线y＝ax＋4是绕点(0,4)旋转的动直线，画出y＝的图象，如图所示，要使＝ax＋4有两个不同的实数解，当它们相切时是临界情形，可计算出此时a的值，由⇒(a2＋1)x2＋(8a－4)x＋16＝0，Δ＝0⇒a＝－.由图可知，直线y＝ax＋4绕点(0,4)顺时针旋转到直线过点(4,0)时是另一个临界条件，所以当－1≤a＜－时，直线与曲线有两个交点，于是a的取值范围为.
答案：
6．用max{a，b}表示a，b两个数中最大数，设f (x)＝max{－x2＋8x－4，log2x}，若g(x)＝f (x)－kx有两个零点，则k的取值范围是( )
A．(0,3) B．(0,3]
C．(0,4) D．[0,4]
解析：选C 法一：画出f (x)的图象如图所示，g(x)有两个零点，即y＝f (x)的图象与y＝kx的图象有两个交点，从图象上看，当直线与二次函数上方相切时有一个交点，此时－x2＋8x－4＝kx，Δ＝(k－8)2－16＝0⇒k1＝4，k2＝12(舍去，此时与下方相切)，所以当0
方法二：平移动直线
(1)已知函数f (x)是定义在R上且以2为周期的偶函数，当0≤x≤1时，f (x)＝x2.如果直线y＝x＋a与曲线y＝f (x)恰有两个交点，则实数a的值是( )
A．0
B．2k(k∈Z)
C．2k或2k＋(k∈Z)
D．2k或2k－(k∈Z)
(2)若关于x的不等式2－x2>|x－a|至少有一个负数解，则a的取值范围是________．
[解析] (1)画出函数y＝f (x)的图象，如图所示，y＝x＋a是斜率恒为1的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与y＝f (x)的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与y＝f (x)，x∈[0,1]相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立⇒x2－x－a＝0，Δ＝1＋4a＝0⇒a＝－，所以在一个周期内得到满足条件的a的值为a＝0或a＝－，又因为周期为2，所以a＝2k或a＝－＋2k(k∈Z)．
(2)令f (x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|，由于g(x)＝|x－a|的图象是V形．首先将这个V形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时a＝2.然后再将V形尖点向左平移，即如图中的箭头所示．由图可知，向左平移的临界情况是V形尖点右支与f (x)相切，此时联立知x2＋x－a－2＝0有一个解，Δ＝1＋4(2＋a)＝0⇒a＝－.要特别注意，此时g(x)＝|x－a|的图象与f (x)＝2－x2的图象相切，但不等式取不到等号，因此a≠－，注意到a＝2时无负数根，因此a的取值范围为.
[答案] (1)D (2)
[技法领悟]
对于平移的动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会．
[应用体验]
7．已知函数f (x)＝且关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(－1,3)
C．(－∞，1) D．(2,4)
解析：选A 画出f (x)的图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得f (x)的图象与直线y＝－x＋a的图象只有一个交点．首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足f (x)图象与直线y＝－x＋a只有一个交点，所以a的取值范围是(1，＋∞)．
8．已知函数f (x)＝若方程f (x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 注意本题只有在(－1，＋∞)内才是周期为1的函数，根据函数的解析式首先画出在(－∞，0]内的图象，然后截取(－1,0]的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到f (x)的图象，如图所示．y＝x＋a是斜率为1的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足f (x)图象与直线y＝x＋a有两个交点，所以a的取值范围是(－∞，1).
利用数形结合求解解析几何问题
(1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C 上存在点P，使得 ∠APB＝90°，则 m的最大值为( )
A．7 B．6
C．5 D．4
(2)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P.若以A1A2为直径的圆与直线PF2相切，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C．2 D.
[解析] (1)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1，且|AB|＝2m.因为∠APB＝90°，连接OP，易知|OP|＝|AB|＝m.
要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC|＝ ＝5，所以|OP|max＝|OC|＋r＝6，即m的最大值为6.
(2)如图所示，设以A1A2为直径的圆与直线PF2的切点为Q，连接OQ，则OQ⊥PF2.又PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|PF1|＝2|OQ|＝2a.又|PF2|－|PF1|＝2a，所以|PF2|＝4a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2⇒4a2＋16a2＝20a2＝4c2⇒e＝＝.
[答案] (1)B (2)D
[技法领悟]
(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便．
(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
[应用体验]
9．已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．
解析：由题意知圆的圆心C(1,1)，半径为1，从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S△PAC＝·|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直于直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC|＝＝3，从而|PA|＝＝2，所以(S四边形PACB)min＝2××|PA|×|AC|＝2.
答案：2
10．已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点，点A(－2,4)，在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．
解析：因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部，
如图，设抛物线的准线为l，
过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，
由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，
当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.
因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时，点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝，
故使△APF的周长最小的点P的坐标为.
答案：
[总结升华]
运用数形结合思想分析解决问题的3个原则
(1)等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．
(2)双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
(3)简单性原则
找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
思想(三) 分类讨论 巧分善合
在解题时，我们常常遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行了．因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题．这里集中体现的是由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊的解决问题的方法．其研究方向基本是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们总合在一起．这种“合—分—合”的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法．
分类讨论是许多考生的弱点，也是高考的热点和难点．分类讨论思想在函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、概率等数学问题求解中有广泛的应用．
由概念、法则、公式引起的分类讨论
(2018·武昌调研)等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为( )
A．－3 B．1
C．－3或1 D．1或3
[解析] 设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝，Sn＋2＝，
代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或
故a1＝1或－3.
[答案] C
[技法领悟]
本题易忽略对q的取值情况进行讨论，而直接利用Sn＝，很容易造成漏解或增解，若本题是解答题，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．
[应用体验]
1．一条直线过点(5,2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为( )
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
解析：选C 设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
2．已知双曲线的渐近线方程是2x±y＝0，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.或
解析：选D 依题意，双曲线的渐近线方程是y＝±2x.
①若双曲线的焦点在x轴上，则因双曲线的渐近线方程为y＝±x，故有＝2，所以离心率e＝ ＝；
②若双曲线的焦点在y轴上，则因双曲线的渐近线方程为y＝±x，故有＝2，即＝，
所以离心率e＝ ＝.
综上，离心率e＝或.
由运算、性质引起的分类讨论
已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则( )
A．(a－1)(b－1)＜0 B．(a－1)(a－b)＞0
C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0
[解析] ∵a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，
∴当a＞1，即a－1＞0时，
不等式logab＞1可化为alogab＞a1，即b＞a＞1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
当0＜a＜1，即a－1＜0时，
不等式logab＞1可化为alogab＜a1，即0＜b＜a＜1，
∴(a－1)(a－b)＜0，(a－1)(b－1)＞0，(b－1)(b－a)＞0.
综上可知，选D.
[答案] D
[技法领悟]
应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
[应用体验]
3．若函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝，此时g(x)＝－为减函数，不合题意；若0
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos 2C＝－.
(1)求sin C的值；
(2)当a＝2,2sin A＝sin C时，求b及c的长．
解：(1)由cos 2C＝1－2sin2C＝－，得sin C＝.
(2)由2sin A＝sin C及正弦定理，得2a＝c，所以c＝4.
由sin C＝，得cos C＝±.
下面分两种情况：
①当cos C＝时，由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2－b－12＝0，解得b＝2.
②当cos C＝－时，同理可得b＝.
综上c＝4，b＝2或b＝.
由参数变化引起的分类讨论
设函数f (x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R，求f (x)的单调区间．
[解] 由f (x)＝x3－ax－b，可得f ′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：①当a≤0时，有f ′(x)＝3x2－a≥0恒成立，所以f (x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，
解得x＝或x＝－.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，)
(，＋∞)
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以f (x)的单调递减区间为－，，单调递增区间为－∞，－，，＋∞.
[技法领悟]
(1)本题研究函数性质需对参数a进行分类讨论，分为a≤0和a>0两种情况．
(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏．
[应用体验]
5．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知函数f (x)＝若f (a)＝3，则f (a－2)＝( )
A．－ B．3
C．－或3 D．－或3
解析：选A 当a＞0时，若f (a)＝3，则log2a＋a＝3，解得a＝2(满足a＞0)；当a≤0时，若f (a)＝3，则4a－2－1＝3，解得a＝3，不满足a≤0，所以舍去．于是，可得a＝2.故f (a－2)＝f (0)＝4－2－1＝－.
6．设函数f (x)＝x2－ax＋a＋3，g(x)＝ax－2a，若存在x0∈R，使得f (x0)<0和g(x0)<0同时成立，则实数a的取值范围为( )
A．(7，＋∞) B．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
C．(－∞，－2) D．(－∞，－2)∪(7，＋∞)
解析：选A 由f (x)＝x2－ax＋a＋3，知f (0)＝a＋3，f (1)＝4.又存在x0∈R，使得f (x0)<0，所以Δ＝a2－4(a＋3)>0，解得a<－2或a>6.又g(x)＝ax－2a的图象恒过(2,0)．故当a>6时，作出函数f (x)和g(x)的图象如图1所示，当a<－2时，作出函数f (x)和g(x)的图象如图2所示．
由函数的图象知，当a>6时，若g(x0)<0，则x0<2，
∴要使f (x0)<0，则需解得a>7.
当a<－2时，若g(x0)<0，则x0>2，此时函数f (x)＝x2－ax＋a＋3的图象的对称轴x＝<0，
故函数f (x)在区间上为增函数，
又f (1)＝4，∴f (x0)<0不成立．
综上，实数a的取值范围为(7，＋∞).
根据图形位置或形状分类讨论
设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求的值．
[解] ①若∠PF2F1＝90°.
则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，
又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2，
解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝.
②若∠F1PF2＝90°，
则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，
∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
∴＝2.
综上知，＝或2.
[技法领悟]
(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．
(2)根据图形位置或形状分类讨论问题的步骤．
①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理．
[应用体验]
7．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为( )
A. B．4
C. D．4或
解析：选D 当矩形长、宽分别为6和4时，体积V＝×2×2××4＝4；当长、宽分别为4和6时，体积V＝××××6＝.
8．已知变量x，y满足的不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝( )
A．－ B.
C．0 D．0或－
解析：选D 不等式组表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．
结合图形可知斜率k的值为0或－.
9．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C 因为双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，所以当直线l与双曲线左、右两支各有一个交点时，过双曲线的右焦点一定有两条直线满足条件要求；
当直线l与实轴垂直时，有3－＝1，解得y＝2或y＝－2，
所以此时直线AB的长度是4，即只与双曲线右支有两个交点的所截弦长为4的直线仅有一条．
综上，可知有3条直线满足|AB|＝4.
[总结升华]
1．分类讨论的原则
(1)不重不漏；
(2)标准要统一，层次要分明；
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
2．分类讨论的本质与思维流程
(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．
(2)分类讨论的思维流程：
明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
思想(四) 转化与化归 峰回路转
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙．事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．
转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等．
正与反的转化
若对任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是______________．
[解析] 由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，
若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，
则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t,3)上恒成立，∴m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t,3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
∴函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数时，m的取值范围为.
[答案]
[技法领悟]
(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则．
(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑比较简单，因此，间接法(正与反的转化)多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中．
[应用体验]
1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，2)
C．1 D．2
解析：选C 由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.
2．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}，若a∈R，b∈R，则A∩B≠∅的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：选D 因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)对应的区域为边长为2的正方形，如图，正方形的面积为4.令函数f (x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1,0]，则f ′(x)＝a＋bln 2·2x.因为a∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f ′(x)>0，即f (x)在[－1,0]上是单调递增函数，所以f (x)在[－1,0]上的最小值为－a＋－1.要使A∩B＝∅，只需f (x)min＝－a＋－1≥0，即2a－b＋2≤0，所以满足A∩B＝∅的(a，b)对应的区域为如图所示的阴影部分．
易知S阴影＝×1×＝，所以A∩B＝∅的概率为＝，故A∩B≠∅的概率为1－＝.
常量与变量的转化
对于满足0≤p≤4的所有实数p，使不等式x2＋px>4x＋p－3成立的x的取值范围是___________________________________________________________________．
[解析] 不等式x2＋px>4x＋p－3对p∈[0,4]恒成立可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0对p∈[0,4]恒成立，
设f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，
则当x＝1时，f (p)＝0.所以x≠1.
f (p)在0≤p≤4上恒为正等价于
即解得x>3或x<－1.
[答案] (－∞，－1)∪(3，＋∞)
[技法领悟]
(1)本题若按常规法视x为主元来解，需要分类讨论，这样会很烦琐，若以p为主元，即将原问题化归在区间[0,4]上，求使一次函数f (p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3>0成立的x的取值范围，再借助一次函数的单调性就很容易使问题得以解决．
(2)在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看作是“主元”，实现主与次的转化，即常量与变量的转化，从而达到减元的目的．
[应用体验]
3．设f (x)是定义在R上的单调递增函数，若f (1－ax－x2)≤f (2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则x的取值范围为______________．
解析：∵f (x)是R上的单调递增函数，
∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]．
可化为(x－1)a＋x2＋1≥0，
令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1，
则g(a)≥0对任意a∈[－1,1]恒成立．
则
解得x≥0或x≤－1.
即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[0，＋∞)
4．设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t∈[－2,2]时，y恒取正值，则x的取值范围是__________________．
解析：设y＝f (t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f (t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f (t)＞0恒成立，则
即解得log2x＜－1或log2x＞3.
即0＜x＜或x＞8，
故x的取值范围是∪.
答案：∪(8，＋∞)
特殊与一般的转化
(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝____________________________________________________.
(2)已知f (x)＝，则f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝____________.
[解析] (1)显然△ABC为等边三角形时符合题设条件，所以＝＝＝.
(2)f (x)＋f (1－x)＝＋＝＋＝＝1，
所以f (0)＋f (1)＝1，f (－2 017)＋f (2 018)＝1，
所以f (－2 017)＋f (－2 016)＋…＋f (0)＋f (1)＋…＋f (2 018)＝2 018.
[答案] (1) (2)2 018
[技法领悟]
(1)一般与特殊之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．此方法多用于选择题和填空题的解答．
(2)破解此类题的关键点：
①确立转化对象，一般将要解决的问题作为转化对象．
②寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；由特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．
③转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素”的关系，将其转化为新的需要解决的问题．
④得出结论，求解新问题，根据所得结果求解原问题，得出结论．
[应用体验]
5．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( )
A．a1a8>a4a5 B．a1a8
解析：选B 取特殊数列1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有1×8<4×5成立，即a1a8
A．20 B．15
C．9 D．6
解析：选C 法一：(特例法)
若四边形ABCD为矩形，建系如图．
由＝3，＝2，
知M(6,3)，N(4,4)，
∴＝(6,3)，＝(2，－1)
∴·＝6×2＋3×(－1)＝9.
法二：如图所示，由题设知，
＝＋＝＋，
＝－＝－，
∴·＝·
＝||2－||2＋·－·
＝×36－×16＝9.
函数、方程、不等式间的转化
(1)若关于x的方程9x＋(4＋a)·3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________________．
(2)设函数f (x)＝x2－1，对任意x∈，f －4m2f (x)≤f (x－1)＋4f (m)恒成立，则实数m的取值范围是__________________．
[解析] (1)设t＝3x(t>0)，则原题等价于关于t的方程t2＋(4＋a)·t＋4＝0有正解．
分离变量a，得a＋4＝－，
因为t>0，所以－≤－4，所以a≤－8，
即实数a的取值范围是(－∞，－8]．
(2)不等式化为f (x－1)＋4f (m)－f ＋4m2f (x)≥0，即(x－1)2－1＋4m2－4－＋1＋4m2x2－4m2≥0，
整理得x2－2x－3≥0，
法一：因为x2>0，所以1－＋4m2≥.
设g(x)＝，x∈.
于是原不等式化为1－＋4m2≥g(x)，对任意x∈恒成立的问题．
为此需求g(x)＝，x∈的最大值．
设u＝，则0
所以1－＋4m2≥g(x)max＝，
整理得12m4－5m2－3≥0，即(4m2－3)(3m2＋1)≥0，
所以4m2－3≥0，解得m≤－或m≥，
因此实数m的取值范围是－∞，－∪.
法二：令F(x)＝x2－2x－3.
由于F(0)＝－3<0，则其判别式Δ>0，
所以为使F(x)≥0对任意x∈恒成立，必须使F为最小值，即实数m应满足解得m2≥，所以m≥或m≤－.
因此实数m的取值范围是∪.
[答案] (1)(－∞，－8]
(2)∪
[技法领悟]
(1)函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求参变量的范围．
[应用体验]
7．已知函数f (x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f ′(x)－ax－5，其中f ′(x)是f (x)的导函数．对任意a∈[－1,1]，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________________．
解析：由题意，知f ′(x)＝3x2＋3a，
则g(x)＝3x2－ax＋3a－5，
令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.
由题意得即
解得－
8．已知函数f (x)＝3e|x|，若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，m∈Z且m＞1，都有f (x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
解析：∵当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0，
∴f (x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x.
∴原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x对任意x∈[1，m]恒成立．
令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m)．
∵h′(x)＝－1≤0，
∴函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，
又x∈[1，m]，∴h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m.
∴要使得对任意的x∈[1，m]，t值恒存在，
只需1＋ln m－m≥－1.
∵h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，
h(4)＝ln 4－3＝ln
∴满足条件的最大整数m的值为3.
答案：3
形体位置关系的相互转化
如图所示，已知三棱锥PABC，PA＝BC＝2，PB＝AC＝10，PC＝AB＝2，则三棱锥PABC的体积为( )
A．40 B．80
C．160 D．240
[解析] 因为三棱锥PABC的三组对边两两相等，则可将此三棱锥放在一个特定的长方体中(如图所示)，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，
易知三棱锥PABC的各边分别是此长方体的面对角线．
不妨令PE＝x，EB＝y，EA＝z，则由已知，可得
⇒
从而知VPABC＝VAEBGFPDC－VPAEB－VCABG－VBPDG－VAFPC＝VAEBGFPDC－4VPAEB＝6×8×10－4××6×8×10＝160.
[答案] C
[技法领悟]
破解此类题的关键点：
(1)分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象．
(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征．
(3)得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．
[应用体验]
9.如图，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积( )
A．是变量且有最大值
B．是变量且有最小值
C．是变量且有最大值和最小值
D．是常数
解析：选D 点Q到棱AB的距离为常数，所以△EFQ的面积为定值．由C1D1∥EF，可得棱C1D1∥平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数，于是可得四面体PQEF的体积为常数．
10．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．
解析：连接A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．
通过计算可得AB＝A1B1＝，A1B＝，A1C1＝6，BC1＝2，所以∠A1C1B＝90°，又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°.
由余弦定理可求得A1C＝5.
答案：5
[总结升华]
1．转化与化归的原则
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
2．转化与化归的指导思想
(1)把什么问题进行转化，即化归对象．
(2)化归到何处去，即化归目标．
(3)如何进行化归，即化归方法．
转化与化归思想是一切数学思想方法的核心．
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