2019版数学（理）二轮复习通用版讲义：第一板块基点抓牢



考点一　集　合
[题组练透]
1．(2018·武昌模拟)设集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|x2－3x<0}，则A∩B＝(　　)
A．{－1}　　　　　　 B．{1,2}
C．{1,2,3} D．{0，－1,3}
解析：选B　由已知，易得B＝{x|0 2．(2018·辽宁五校联考)已知集合A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}，则A∩B中元素的个数是(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选B　∵A＝{－2，－1,0,2,3}，B＝{y|y＝x2－1，x∈A}＝{3,0，－1,8}，∴A∩B＝{0,3，－1}，∴A∩B中的元素有3个，故选B.
3．(2019届高三·西安八校联考)设集合A＝{y|y＝lg x}，集合B＝{x|y＝}，则A∩B＝(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，1]
解析：选D　因为A＝{y|y＝lg x}＝{y|y∈R}，B＝{x|y＝}＝{x|1－x≥0}＝{x|x≤1}，所以A∩B＝(－∞，1]，故选D.
4．若A＝{x|2x2－px＋q＝0}，B＝{x|6x2＋(p＋2)x＋5＋q＝0}，若A∩B＝，则A∪B＝(　　)
A. B．
C. D.
解析：选A　∵A∩B＝，∴∈A，∈B，
∴解得
∴A＝，B＝，∴A∪B＝.
5．(2019届高三·郑州模拟)设集合A＝{x|1 A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}
解析：选D　由A∩B＝A，可得A⊆B，又A＝{x|1 6．(2018·洛阳模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|x2＋x－2≥0}，则A∪(∁UB)＝(　　)
A．(0,1] B．(－2,2]
C．(0,1) D．[－2,2]
解析：选B　不等式log2x≤1即log2x≤log22，由y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A＝(0,2]．由x2＋x－2≥0，得(x＋2)(x－1)≥0，B＝{x|x≤－2或x≥1}，所以∁UB＝(－2,1)，从而A∪(∁UB)＝(－2,2]．
7．(2018·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且xB}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝(　　)
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
解析：选D　∵A＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|2 8.设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A. B．
C. D.
解析：选B　A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝，故选B.
[临考指导]
集合运算中的3种常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象求解；
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[易错提醒]　在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，易忽略A＝∅的情况．
考点二　常用逻辑用语
[题组练透]
1．(2018·贵阳模拟)命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0，则綈p为(　　)
A．∀x∈R，x2＋2x＋2>0
B．∀x∈R，x2＋2x＋2≥0
C．∃x0∈R，x＋2x0＋2>0
D．∃x0∈R，x＋2x0＋2≥0
解析：选A　命题p为特称命题，所以綈p为“∀x∈R，x2＋2x＋2>0”，故选A.
2．(2018·石家庄模拟)已知p：－1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　由log2x<1，解得0 3．(2018·郑州模拟)下列说法正确的是(　　)
A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am2 C．存在x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立
D．“若sin α≠，则α≠”是真命题
解析：选D　对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，所以选项A错误；对于选项B，其逆命题为“若a3x0，故选项C错误；对于选项D，可考虑其逆否命题的真假，其逆否命题为“若α＝，则sin α＝”，是真命题，从而原命题为真命题．故选D.
4．(2018·唐山模拟)已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件，q：∃x∈R，|x＋1|≤x，则(　　)
A．綈p∨q为真命题　　　 B．p∨q为真命题
C．p∧q为真命题 D．p∧綈q为假命题
解析：选B　由函数y＝2x是R上的增函数，知命题p是真命题．对于命题q，当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|＝x＋1>x；当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|＝－x－1，由－x－1≤x，得x≥－，无解，因此命题q是假命题．所以綈p∨q为假命题，A错误；p∨q为真命题，B正确；p∧q为假命题，C错误；p∧綈q为真命题，D错误．故选B.
5．(2018·西安八校联考)在△ABC中，“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　设与的夹角为θ，因为·>0，即||·||cos θ>0，所以cos θ>0，θ<90°，又θ为△ABC内角B的补角，所以∠B>90°，△ABC是钝角三角形；当△ABC为钝角三角形时，∠B不一定是钝角．所以“·>0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.
6．(2019届高三·辽宁五校联考)已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
解析：选D　因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得0 [临考指导]
1．判定充分条件与必要条件的3种方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
[易错提醒]　“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
2．命题真假的4种判定方法
(1)一般命题p的真假结合其涉及的相关知识判定．
(2)四种命题真假的判定根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
(3)形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称命题的真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
[易错提醒]　“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
考点三　复　数
[题组练透]
1．(2018·贵阳模拟)复数等于(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．i D．－i
解析：选C　＝＝＝＝i，故选C.
2．(2018·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
解析：选A　由＝2＋i得z＝(1－i)(2＋i)＝3－i，所以＝3＋i，选A.
3．(2018·武汉模拟)设(1－i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则x＋yi在复平面内所对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵(1－i)x＝1＋yi⇒x－xi＝1＋yi⇒(x－1)－(x＋y)i＝0⇒⇒∴x＋yi＝1－i，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D.
4．(2018·长郡中学模拟)若复数z＝(其中a∈R，i为虚数单位)的虚部为1，则|z|＝(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：选C　依题意得，复数z＝＝＋i的虚部为1，所以＝1，z＝1＋i，|z|＝，故选C.
5．(2018·武昌模拟)已知复数z满足z＋|z|＝1＋i，则z＝(　　)
A．－i B．i
C．1－i D．1＋i
解析：选B　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋|z|＝(a＋)＋bi＝1＋i，所以
解得所以z＝i，故选B.
6．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p1：若复数z满足∈R，则z∈R；
p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；
p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；
p4：若复数z∈R，则∈R.
其中的真命题为(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
解析：选B　设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对于p1，
∵＝＝∈R，∴b＝0，
∴z∈R，∴p1是真命题；
对于p2，
∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，
∴a＝0或b＝0，
∴p2不是真命题；
对于p3，设z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，
则z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，
∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠2，
∴p3不是真命题；
对于p4，∵z＝a＋bi∈R，
∴b＝0，∴＝a－bi＝a∈R，
∴p4是真命题．
[临考指导]
1．复数的相关概念及运算的技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．
(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
2．与复数几何意义、模有关问题的解题技巧
(1)只要把复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量OZ―→对应起来，就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．
(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．
考点四　算　法
[题组练透]
1．(2018·湘东五校联考)若[x]表示不超过x的最大整数，则如图所示的程序框图运行之后输出的结果为(　　)

A．600　　　　　　　　 B．400
C．15 D．10
解析：选B　根据题意，得＝[4.975]＝4，所以该程序框图运行后输出的结果是40个0,40个1,40个2,40个3,40个4的和，所以输出的结果为S＝40＋40×2＋40×3＋40×4＝400.故选B.
2．(2019届高三·成都模拟)“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示．若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为(　　)

A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C　执行程序框图，x＝4，y＝6，k＝1，
k＝k＋1＝2，x>y不成立，x＝y不成立，y＝y－x＝2；
k＝k＋1＝3，x>y成立，x＝x－y＝2；
k＝k＋1＝4，x>y不成立，x＝y成立，输出k＝4.
3．(2018·开封模拟)“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯到公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝(　　)
A．0 B．25
C．50 D．75
解析：选B　初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时满足c＝0，退出循环．输出a的值为25，故选B.
　　　
　　　 第3题图　　　　　　 　第4题图
4．(2018·广州模拟)在如图所示的程序框图中，fi′(x)为fi(x)的导函数，若f0(x)＝sin x，则输出的结果是(　　)
A．－sin x B．cos x
C．sin x D．－cos x
解析：选D　依题意可得f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，f5(x)＝f4′(x)＝cos x，故易知fk(x)＝fk＋4(x)，k∈N，当i＝2 019时循环结束，故输出的f2 019(x)＝f3(x)＝－cos x，选D.
5．(2018·杭州模拟)如图所示的程序框图来源于中国古代数学著作《孙子算经》，其中定义[x]表示不超过x的最大整数，例如[0.6]＝0，[2]＝2，[3.6]＝3.执行该程序框图，则输出的a＝(　　)
A．9 B．16
C．23 D．30
解析：选C　执行程序框图，k＝1，a＝9,9－3·＝0≠2；k＝2，a＝16,16－3·＝1≠2；k＝3，a＝23,23－3· ＝2,23－5·＝3，满足条件，退出循环．则输出的a＝23.故选C.
　　　
　　 　 第5题图　　　　 　　　　第6题图
6．(2018·河北五个一名校联考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，条件框内应填写(　　)
A．i>3? B．i<5?
C．i>4? D．i<4?
解析：选D　由程序框图可知，S＝10，i＝1；S＝8，i＝2；S＝4，i＝3；S＝－4，i＝4.由于输出的S＝－4.故应跳出循环，故选D.
[临考指导]
解答程序框图(流程图)问题的方法
(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．
(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．
(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．
[易错提醒]　循环结构的两个注意点：(1)注意区分计数变量与循环变量．(2)注意哪一步结束循环．
考点五　推理与证明
[题组练透]
1．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是(　　)
A．假设a，b，c都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
C．假设a，b，c至多有一个偶数
D．假设a，b，c至多有两个偶数
解析：选B　“至少有一个”反面应为“没有一个”，也就是说本题应假设a，b，c都不是偶数．
2．(2018·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是(　　)
A．甲　　　　　　　　 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选D　根据题意，6名选手比赛结果甲、乙、丙、丁猜测如下表：

1号
2号
3号
4号
5号
6号
甲
不可能
不可能
不可能
可能
可能
不可能
乙
可能
可能
不可能
可能
可能
可能
丙
可能
可能
不可能
不可能
不可能
可能
丁
可能
可能
可能
不可能
不可能
不可能
由表知，只有丁猜对了比赛结果，故选D.
3．(2018·安徽江淮十校联考)我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程＝x确定x＝2，则1＋＝(　　)
A. B．
C. D.
解析：选C　令1＋＝x，即1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故选C.
4．法国数学家费马观察到221＋1＝5,222＋1＝17,223＋1＝257,224＋1＝65 537都是质数，于是他提出猜想：任何形如22n＋1(n∈N*)的数都是质数，这就是著名的费马猜想．半个世纪之后，善于发现的欧拉发现第5个费马数225＋1＝4 294 967 297＝641×6 700 417不是质数，从而推翻了费马猜想，这一案例说明(　　)
A．归纳推理的结果一定不正确
B．归纳推理的结果不一定正确
C．类比推理的结果一定不正确
D．类比推理的结果不一定正确
解析：选B　费马的猜想过程是归纳推理，由特殊到一般，但由于没有验证对所有的n∈N*，猜想都正确．故选项B正确．
5．(2018·贵阳模拟)已知不等式1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，照此规律总结出第n个不等式为____________________________________．
解析：由已知，三个不等式可以写成1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，
所以照此规律可得到第n个不等式为1＋＋＋…＋＋<＝.
答案：1＋＋＋…＋＋<
6．(2018·宝鸡质检)我市在“录像课评比”活动中，评审组将从录像课的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A录像课的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B录像课，则称A录像课不亚于B录像课．假设共有5节录像课参评，如果某节录像课不亚于其他4节，就称此节录像课为优秀录像课．那么在这5节录像课中，最多可能有________节优秀录像课．
解析：记这5节录像课为A1～A5，先考虑2节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量，且A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有2节；再考虑3节录像课的情形，若A1的点播量>A2的点播量>A3的点播量，且A3的专家评分>A2的专家评分>A1的专家评分，则优秀录像课最多可能有3节．以此类推可知：这5节录像课中，优秀录像课最多可能有5节．
答案：5
[临考指导]
归纳推理的2种常见类型及相应的解决方法
(1)数的归纳：包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．
(2)形的归纳：主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．解决此类问题的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．
[易错提醒]　在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．

“5个送分考点”组合训练(一)
考点一　集合
1．(2018·山西八校联考)设集合A＝{x∈Z|x2－3x－4<0}，B＝{x|2x≥4}，则A∩B＝(　　)
A．[2,4)　　　　　　　 B．{2,4}
C．{3} D．{2,3}
解析：选D　由x2－3x－4<0得，－1 2．(2018·广州模拟)若全集U＝R，集合A＝{x|1<2x<4}，B＝{x|x－1≥0}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．{x|1 C．{x|0 解析：选C　A＝{x|0 3．(2018·开封模拟)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|x≥1}，则A∪(∁UB)＝(　　)
A．(0，＋∞) B．(－∞，1)
C．(－∞，2) D．(0,1)
解析：选C　因为A＝{x|x2－2x<0}＝{x|0 4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁IM)＝∅，则M∪N＝(　　)
A．M B．N
C．I D．∅
解析：选A　∵N∩(∁IM)＝∅，∴N⊆M.又M≠N，∴NM，∴M∪N＝M.故选A.
5．(2018·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}．若A∩B≠∅，则a的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或2
解析：选B　当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B.

6．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：选D　依题意得A＝{x|x<－1或x>4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，故选D.
考点二　常用逻辑用语
1．(2018·昆明模拟)设命题p：∀n∈N，n2≤2n，则綈p为(　　)
A．∃n∈N，n2≤2n B．∀n∈N，n2>2n
C．∃n∈N，n2>2n D．∀n∈N，n2≥2n
解析：选C　根据定义得綈p为∃n∈N，n2>2n，故选C.
2．(2018·湖北百所重点学校联考)已知命题p：∀x∈(0，＋∞)，log4x A．p∧q B．(綈p)∧(綈q)
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
解析：选D　对于命题p：当x＝1时，log4x＝log8x＝0，所以命题p是假命题；对于命题q：当x＝0时，tan x＝1－3x＝0，所以命题q是真命题．由于綈p是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，故选D.
3．(2018·惠州模拟)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的(　　)
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C　设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.

4．(2018·贵阳模拟)设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1,3)，则“x＝2”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝(x－1)(x＋1)，即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件，选A.
5．(2018·成都模拟)下列判断正确的是(　　)
A．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B对立
B．函数y＝＋(x∈R)的最小值为2
C．若直线(m＋1)x＋my－2＝0与直线mx－2y＋5＝0互相垂直，则m＝1
D．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件
解析：选D　对于A选项，若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B不一定对立，反之，若事件A与事件B对立，则事件A与事件B一定互斥，所以A选项错误；对于B选项，y＝＋≥2，当且仅当＝，即x2＋9＝1时等号成立，但x2＋9＝1无实数解，所以等号不成立，于是函数y＝＋(x∈R)的最小值不是2，所以B选项错误；对于C选项，由两直线垂直，得(m＋1)m＋m×(－2)＝0，解得m＝0或m＝1，所以C选项错误；对于D选项，若p∧q为真命题，则p，q都是真命题，于是p∨q为真命题，反之，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，此时p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，所以D选项正确．综上选D.
考点三　复数
1．(2018·惠州模拟)若＝2－i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　由题意知z＝(1＋i)(2－i)＝3＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(3,1)，在第一象限．选A.
2．(2018·合肥模拟)已知z＝(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．－1 B．1
C．i D．－i
解析：选C　由题意得＝＝＝i，故选C.
3．(2019届高三·辽宁五校联考)设复数z满足(1－i)z＝2i，则＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1＋i D．1－i
解析：选A　∵(1－i)z＝2i，∴z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，故选A.
4．(2018·湘东五校联考)已知i为虚数单位，若复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a＝(　　)
A．－5 B．－1
C．－ D．－
解析：选D　z＝＋i＝＋i＝＋i，∵复数z＝＋i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，∴－＝，解得a＝－.故选D.
5．(2018·石家庄模拟)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1－i D．－1＋i
解析：选B　由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以＝1－i，故选B.
6．(2018·西安模拟)设(a＋i)2＝bi，其中a，b均为实数．若z＝a＋bi，则|z|＝(　　)
A．5 B．
C．3 D.
解析：选B　由(a＋i)2＝bi得a2－1＋2ai＝bi，所以即故复数z＝a＋bi的模|z|＝＝＝，选B.
考点四　算法
1．(2018·陕西模拟)若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是(　　)

A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选A　n＝5，n为奇数，则n＝3×5＋1＝16，k＝1，不满足n＝1；n＝16，n为偶数，则n＝8，k＝2，不满足n＝1；n＝8，n为偶数，则n＝4，k＝3，不满足n＝1；n＝4，n为偶数，则n＝2，k＝4，不满足n＝1；n＝2，n为偶数，则n＝1，k＝5，退出循环．故输出的k的值是5，故选A.
2．(2019届高三·福州四校联考)执行如图所示的程序框图，则输出的值是(　　)

A. B．
C. D.
解析：选C　执行程序框图，可得，
A＝1，i＝1，
第1次执行循环体，A＝，i＝2，
满足条件i≤20，第2次执行循环体，A＝，i＝3，
满足条件i≤20，第3次执行循环体，A＝，i＝4，
满足条件i≤20，第4次执行循环体，A＝，i＝5，
满足条件i≤20，第5次执行循环体，A＝，i＝6，
……
观察可知，当i＝20时，满足条件i≤20，第20次执行循环体，A＝＝，i＝21，此时，不满足条件i≤20，退出循环，输出A的值为.故选C.
3．(2018·重庆模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的x＝0，y＝－1，n＝1，则输出x，y的值满足(　　)
A．y＝－2x B．y＝－3x
C．y＝－4x D．y＝－8x
解析：选C　初始值x＝0，y＝－1，n＝1，x＝0，y＝－1，x2＋y2<36，n＝2，x＝，y＝－2，x2＋y2<36，n＝3，x＝，y＝－6，x2＋y2>36，退出循环，输出x＝，y＝－6，此时x，y满足y＝－4x，故选C.
　　　
　 　　　第3题图　　　　　　　　　第4题图
4．(2018·武昌模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的a依次为2,2,5时，输出的S为17，那么在判断框中可以填入(　　)
A．k>n? B．k C．k≥n? D．k≤n?
解析：选A　第一次输入a＝2，此时S＝0×2＋2＝2，k＝0＋1＝1，不满足k＝1>n＝2；第二次输入a＝2，此时S＝2×2＋2＝6，k＝1＋1＝2，不满足k＝2>n＝2；第三次输入a＝5，此时S＝6×2＋5＝17，k＝2＋1＝3，满足k＝3>n＝2，循环终止，输出的S＝17.故选A.
5．(2018·郑州模拟)执行如图所示的程序框图，输出的s的值为(　　)

A．－ B．0
C. D.
解析：选D　依题意，数列的项以6为周期重复出现，且前6项和等于0，因为2 018＝6×336＋2，所以数列的前2 018项和等于336×0＋sin ＋sin ＝，执行题中的程序框图，输出s的值等于数列的前2 018项和，等于，故选D.
考点五　推理与证明
1．(2018·河北衡水中学第三次调研)来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他可以做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是(　　)
A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德
B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英
C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德
D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英
解析：选A　由第②条规则，日语和法语不能由同一个人说，∴D错误；由第①条规则，丁不会说日语，∴B错误；由第③条规则，四人交谈时，找不到共同语言，∴C错误．故选A.
2．已知f(x)＝xex，定义f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝[f1(x)]′，…，fn＋1(x)＝[fn(x)]′，n∈N*.经计算f1(x)＝(x＋1)ex，f2(x)＝(x＋2)ex，f3(x)＝(x＋3)ex，…，照此规律，则fn(x)＝________.
解析：归纳推理可知，表示fn(x)的等式中一个因式一定为ex，另一个因式是x与常数的和，这个常数与fn(x)中的n相同，故fn(x)＝(x＋n)ex.
答案：(x＋n)ex
3．21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，…，依此类推，第n个等式为________________________________________________．
解析：观察可得，21×1＝21×(2×1－1)＝(1＋1)，22×1×3＝22×1×(2×2－1)＝(2＋1)(2＋2)，23×1×3×5＝23×1×3×(2×3－1)＝(3＋1)(3＋2)(3＋3)，…，归纳可知，第n个等式为2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)．
答案：2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)
4．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．按照如图(1)所示的分形规律可得如图(2)所示的一个树形图．若记图(2)中第n行黑圈的个数为an，则a2 018＝________.

解析：根据题图(1)所示的分形规律，可知1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈，把题图(2)中的树形图的第1行记为(1,0)，第2行记为(2,1)，第3行记为(5,4)，第4行的白圈数为2×5＋4＝14，黑圈数为5＋2×4＝13，所以第4行的“坐标”为(14，13)，同
理可得第5行的“坐标”为(41,40)，第6行的“坐标”为(122,121)，….各行黑圈数乘2，分别是0,2,8,26，80，…，即1－1,3－1,9－1,27－1,81－1，…，所以可以归纳出第n行的黑圈数an＝(n∈N*)，所以a2 018＝.
答案：
5．(2018·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S，周长为C，则它的内切圆的半径r＝.在空间中，三棱锥的体积为V，表面积为S，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R＝________.
解析：若三棱锥表面积为S，体积为V，则其内切球半径R＝.理由如下：
设三棱锥的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，
由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，
所以V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R＝SR，
所以内切球的半径R＝.
答案：
“5个送分考点”组合训练(二)
考点一　集合
1．(2018·昆明模拟)设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x<1，且x∈Z}，则A∩B＝(　　)
A．{－1}　　　　　　　　 B．{0}
C．{－1,0} D．{0,1}
解析：选C　依题意得A＝{x|(x＋1)(x－2)≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x<1，x∈Z}＝{－1,0}，选C.
2．(2018·洛阳尖子生统考)设集合A＝，B＝{x|ln x<0}，则∁R(A∩B)等于(　　)
A．{x|x≥0} B．{x|x≥1}
C．R D．{0,1}
解析：选C　由题意知A＝{x|x>1或x<0}，B＝{x|0 3．(2019届高三·益阳、湘潭联考)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－2)(x＋1)≥0}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．(0,2) B．[2,4]
C．(－∞，－1) D．(－∞，4]
解析：选A　集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0 4．已知集合A＝{x|x2＋x>0}，集合B＝，则(∁RA)∪B＝(　　)
A．[0,2) B．[－1,0]
C．[－1,2) D．(－∞，2)
解析：选C　A＝{x|x<－1或x>0}，∁RA＝[－1,0]，B＝(0,2)，于是(∁RA)∪B＝[－1,2)，故选C.
5．已知集合A＝{x|1 A．5 B．4.5
C．2 D．3.5
解析：选D　B＝(－3,2k－5)，由A∩B＝{x|1 6．定义集合的商集运算为＝.已知集合A＝{2,4,6}，B＝，则集合∪B中的元素个数为(　　)
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：选B　由题意知，B＝{0,1,2}，＝，则∪B＝，共有7个元素，故选B.
考点二　常用逻辑用语
1．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)
A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n>x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n>x2
解析：选D　∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n>x2”．故选D.
2．设命题甲：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么乙是甲的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　因为关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝(2a)2－4×4<0，解得－2 3．(2018·开封模拟)下列说法中正确的个数是(　　)
(1)若命题p：∃x0∈R，x－x0≤0，则綈p：∃x0∈R，x－x0>0；
(2)命题“在△ABC中，A>30°，则sin A>”的逆否命题为真命题；
(3)设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的充要条件；
(4)若统计数据x1，x2，…，xn的方差为1，则2x1,2x2，…，2xn的方差为2.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A　(1)中，由特称命题的否定为全称命题知“∃x0∈R，x－x0≤0”的否定为“∀x∈R，x2－x>0”，故(1)错误；(2)中，命题“在△ABC中，A>30°，则sin A>”是假命题，如A＝150°时，sin A＝，命题不成立，所以其逆否命题也是假命题，故(2)错误；(3)中，当q>1，a1<0时，数列{an}是递减数列，故(3)错误；(4)中，若x1，x2，…，xn的方差为1，则2x1,2x2，…，2xn的方差为4，故(4)错误．故选A.
4．已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是(　　)
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．p∧q
解析：选C　由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
5．(2018·惠州模拟)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是(　　)
A．m> B．0 C．m>0 D．m>1
解析：选C　不等式x2－x＋m>0在R上恒成立⇔Δ<0，即1－4m<0，∴m>，同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“m>0”符合．选C.
考点三　复数
1．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　因为ab＝0，所以a＝0或b＝0，又复数a＋＝a－bi是纯虚数，所以a＝0且b≠0，所以ab＝0a＋是纯虚数，且ab＝0⇐a＋是纯虚数，故选B.
2．已知复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为(　　)
A．2－i B．2＋i
C．4－i D．4＋i
解析：选A　由题意知z＝|i＋1|＋i＝＋i＝2＋i，则＝2－i，故选A.
3．已知＝1－ni，其中m，n∈R，i是虚数单位，则m＋ni＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．4－i D．4＋i
解析：选B　由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i，则由复数相等的概念可得解得所以m＋ni＝2＋i，故选B.
4．(2018·南宁模拟)已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，那么复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　∵(1＋i)·z＝i，∴z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
5．(2018·合肥一模)已知i为虚数单位，则＝(　　)
A．5 B．5i
C．－－i D．－＋i
解析：选A　法一：＝＝5，故选A.
法二：＝＝＝5，故选A.
6．(2018·开封模拟)复数z＝，则(　　)
A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1
C．|z|＝2 D．z的虚部为－1
解析：选D　因为z＝＝＝－1－i，所以复数z的实部和虚部均为－1，＝－1＋i，|z|＝，故选D.
考点四　算法
1．(2018·福建泉州模拟)我国古代算书《孙子算经》上有个有趣的问题“出门望九堤”：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？”现在我们用如图所示的程序框图来解决这个问题，如果要使输出的结果为禽的数目，则在该框图中的判断框中应该填入的条件是(　　)

A．S>10 000? B．S<10 000?
C．n≥5? D．n≤6?
解析：选B　根据题意，利用程序框图求禽的数目，输出结果应为S＝9×9×9×9×9＝59 049.循环共执行了5次，所以判断框中应填入的条件是“S<10 000？”或“n≤5？”或“n<6？”．故选B.
2．(2018·南昌模拟)执行如图所示的程序框图，输出的 n为(　　)

A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　当n＝1时，f(x)＝x′＝1，此时f(x)＝f(－x)，但f(x)＝0无解；当n＝2时，f(x)＝(x2)′＝2x，此时f(x)≠f(－x)；当n＝3时，f(x)＝(x3)′＝3x2，此时f(x)＝f(－x)，且f(x)＝0有解，此时结束循环，输出的n为3.
3．(2018·贵州模拟)某算法的程序框图如图所示，若输出的y＝，则输入的x的最大值为(　　)

A．－1 B．1
C．2 D．0
解析：选B　由程序框图知，当x≤2时，y＝sin＝，x∈Z，得x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝1＋12k(k∈Z)或x＝5＋12k(k∈Z)，所以xmax＝1；当x>2时，y＝2x>4≠.故选B.
4．(2018·南宁模拟)执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是(　　)

A．－1 B．
C．2 D．1
解析：选C　运行程序，首先给变量S，k赋值，S＝2，k＝2 015.判断2 015<2 018，S＝＝－1，k＝2 015＋1＝2 016，判断2 016<2 018，S＝＝，k＝2 016＋1＝2 017，判断2 017<2 018，S＝＝2，k＝2 017＋1＝2 018，判断2 018<2 018不成立，输出S.此时S＝2，故选C.
5．(2018·江西南昌三模)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为(　　)
(参考数据：≈1.732，sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)

A．12 B．24
C．36 D．48
解析：选B　执行程序框图，可得n＝6，S＝3sin 60°＝≈2.598，不满足条件S≥3.10，继续循环；
n＝12，S＝6×sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，继续循环；
n＝24，S＝12×sin 15°≈3.105 6，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24.故选B.
考点五　推理与证明
1．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为(　　)


解析：选A　由题意知，千位9为横式，百位1为纵式 ，十位1为横式，个位7为纵式，故选A.
2．(2018·沈阳模拟)甲、乙、丙三人中，一人是教师，一人是记者，一人是医生，已知：丙的年龄比医生大，甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A．甲是教师，乙是医生，丙是记者
B．甲是医生，乙是记者，丙是教师
C．甲是医生，乙是教师，丙是记者
D．甲是记者，乙是医生，丙是教师
解析：选C　甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，所以丙一定是记者，丙的年龄又比医生大，所以乙不是医生，乙是教师，则甲是医生，故选C.
3．已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f[fn(x)]，n∈N*，则f2 018(x)的表达式为________．
解析：由题意，得f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝＝，f3(x)＝，…，由此归纳推理可得f2 018(x)＝.
答案：f2 018(x)＝
4．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f′(x)，f′(x)的导函数为f″(x)，则有f″(x0)＝0.若函数f(x)＝x3－3x2，则可求得f＋f＋…＋f＋f＝________.
解析：因为f(x)＝x3－3x2，所以f′(x)＝3x2－6x，f″(x)＝6x－6.
由f″(x0)＝0，得6x0－6＝0，
所以x0＝1，y0＝－2，即对称中心为(1，－2)．
所以若x1＋x2＝2，则f(x1)＋f(x2)＝－4.
所以f＋f＋…＋f＋f
＝2 017×(－4)＋f(1)＝－8 070.
答案：－8 070
5．(2018·山东烟台模拟)在正项等差数列{an}中有＝成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为_______________________．
解析：由等差数列的性质知，＝＝，＝＝，
所以＝.
在正项等比数列{bn}中，类似的有：
＝＝＝，
＝＝，
所以＝.
所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为＝.
答案：＝