2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题八　选修4系列

专题八　选修4系列

(对应学生用书第62页)

1.(2018·全国Ⅰ卷,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为

(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.

记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.

由于点B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,

点A到l1所在直线的距离为2,

所以=2,故k=-或k=0.

经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;

当k=-时,l1与C2只有一个公共点,

l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,

点A到l2所在直线的距离为2,

所以=2,故k=0或k=.

经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;

当k=时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.

2.(2018·全国Ⅰ卷,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,

即f(x)=

故不等式f(x)>1的解集为xx>.

(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.

若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;

若a>0,则|ax-1|<1的解集为x0<x<,

所以≥1,故0<a≤2.

综上,a的取值范围为(0,2].

3.(2018·全国Ⅲ卷,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,-)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.

当α=时,l与☉O交于两点.

当α≠时,记tan α=k,

则l的方程为y=kx-.

l与☉O交于两点当且仅当<1,

解得k<-1或k>1,

即α∈,或α∈,.

综上,α的取值范围是,.

(2)l的参数方程为t为参数,<α<.

设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,

则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.

于是tA+tB=2sin α,所以tP=sin α.

又点P的坐标(x,y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是α为参数,<α<.

4.(2017·全国Ⅱ卷,理23)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:

(1)(a+b)(a5+b5)≥4;

(2)a+b≤2.

证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.

(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,

所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.

1.考查角度

(1)坐标系与参数方程主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程化为普通方程,两曲线相交问题.

(2)不等式选讲主要考查含绝对值不等式的解法,含参不等式恒成立或有解问题以及不等式的证明.

2.题型及难易度

解答题,难度中低档.

(对应学生用书第63~65页)

坐标系与参数方程

考向1　极坐标方程及其应用

【例1】 (2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.

(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;

(2)设点A的极坐标为2,,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.

解:(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知

|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.

由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程

ρ=4cos θ(ρ>0).

因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).

(2)设点B的极坐标为(ρB,α),(ρB>0).

由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB面积

S=|OA|·ρB·sin ∠AOB

=4cos α·sinα-

=2sin 2α--≤2+.

当α=-时,S取得最大值2+.

所以△OAB面积的最大值为2+.

考向2　参数方程及其应用

【例2】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l的距离的最大值为,求a.

解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1,

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由解得或

从而C与l的交点坐标为(3,0),-,.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离为

d=.

当a≥-4时,d的最大值为.

由题设得=,所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为.

由题设得=,所以a=-16,

综上,a=8或a=-16.

考向3　极坐标方程与参数方程的综合应用

【例3】 (2018·郑州市质量预测)在平面直角坐标系xOy中,曲线C:(α为参数,t>0).在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l:ρcosθ-=.

(1)若l与曲线C没有公共点,求t的取值范围;

(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为+,求t的值.

解:(1)因为直线l的极坐标方程为ρcosθ-=,

即ρcos θ+ρsin θ=2,

所以直线l的直角坐标方程为x+y=2,

又因为(α为参数,t>0),

所以曲线C的直角坐标方程为+y2=1.

由得(1+t2)y2-4y+4-t2=0,

所以Δ=16-4(1+t2)(4-t2)<0,

解得0<t<,

故t的取值范围为(0,).

(2)由(1)知l:x+y-2=0,

故曲线C上的点(tcos α,sin α)到l的距离

d=,dmax==+,

解得t=±,又t>0,所以t=.

(7)参数方程为(t为参数)的直线l必过定点M(x0,y0),若直线l与曲线相交于M1,M2两点,M1,M2所对应的参数分别为t1,t2,则有以下结论:①|M1M2|=|t1-t2|;②若M(x0,y0)是弦M1M2的中点,则t1+t2=0;③若弦M1M2的中点M,则点M对应的参数tm=.

热点训练1:(2018·石家庄市质检)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2+2ρsin θ-3=0.

(1)求直线l的极坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.

解:(1)由消去t得y=2x,

把代入y=2x,得ρsin θ=2ρcos θ,

所以直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.

(2)因为ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,

所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2y-3=0,

即x2+(y+1)2=4.

圆C的圆心C(0,-1)到直线l的距离d=,

所以|AB|=2=.

热点训练2:(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)若直线l1,l2的极坐标方程分别为θ1=(ρ1∈R),θ2=(ρ2∈R),设直线l1,l2与曲线C的交点分别为O,M和O,N,求△OMN的面积.

解:(1)由参数方程

得普通方程为x2+(y-2)2=4,

把代入x2+(y-2)2=4,

得ρ2-4ρsin θ=0.

所以曲线C的极坐标方程为ρ=4sin θ.

(2)由直线l1:θ1=(ρ1∈R)与曲线C的交点为O,M,

得|OM|=4sin =2.

由直线l2:θ2=(ρ2∈R)与曲线C的交点为O,N,

得|ON|=4sin =2.

易知∠MON=,

所以S△OMN=|OM||ON|=×2×2=2.

不等式选讲

考向1　绝对值不等式的解法

【例4】 (2018·合肥市质检)已知函数f(x)=|2x-1|.

(1)解关于x的不等式f(x)-f(x+1)≤1;

(2)若关于x的不等式f(x)<m-f(x+1)的解集不是空集,求m的取值范围.

解:(1)f(x)-f(x+1)≤1,即|2x-1|-|2x+1|≤1,

则或

或

解得x≥或-≤x<,即x≥-,

所以原不等式的解集为-,+∞.

(2)由题意得,不等式|2x-1|+|2x+1|<m有解,

则m>(|2x-1|+|2x+1|)min.

由于|2x-1|+|2x+1|=|1-2x|+|2x+1|≥|1-2x+2x+1|=2,

当且仅当(1-2x)(2x+1)≥0,

即x∈-,时等号成立,故m>2.

所以m的取值范围是(2,+∞).

考向2　不等式的证明

【例5】 (2018·广州市普通高中综合测试)已知函数f(x)=|2x+1|+|2x-1|,不等式f(x)≤2的解集为M.

(1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|+|a-b|≤1.

(1)解:f(x)≤2,即|2x+1|+|2x-1|≤2,

当x≤-时,得-(2x+1)+(1-2x)≤2,

解得x≥-,故x=-,

当-<x<时,得(2x+1)-(2x-1)≤2,

即2≤2,故-<x<,

当x≥时,得(2x+1)+(2x-1)≤2,

解得x≤,故x=,

所以不等式f(x)≤2的解集M=.

(2)证明:法一　当a,b∈M时,即-≤a≤,-≤b≤,可得|a|≤,|b|≤.

当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|≤1;

当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|≤1;

所以|a+b|+|a-b|≤1.

法二　当a,b∈M时,即-≤a≤,-≤b≤,

可得|a|≤,|b|≤.

(|a+b|+|a-b|)2=2(a2+b2)+2|a2-b2|

=

因为a2≤,b2≤,

所以4a2≤1,4b2≤1,故(|a+b|+|a-b|)2≤1,

所以|a+b|+|a-b|≤1.

(3)证明不等式常用的方法有①综合法;②分析法;③比较法;④利用柯西不等式(二维形式);⑤绝对值三角不等式;⑥平均值不等式.

热点训练3:(2018·山东六校联考)已知函数f(x)=|x-a|,a∈R.

(1)当a=2时,解不等式x-+f(x)≥1;

(2)设不等式x-+f(x)≤x的解集为M,若,⊆M,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=2时,原不等式可化为|3x-1|+|x-2|≥3.

①当x≤时,原不等式可化为-3x+1+2-x≥3,

解得x≤0,所以x≤0;

②当<x<2时,原不等式可化为3x-1+2-x≥3,

解得x≥1,所以1≤x<2;

③当x≥2时,原不等式可化为3x-1-2+x≥3,

解得x≥,所以x≥2.

综上所述,当a=2时,不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}.

(2)不等式x-+f(x)≤x可化为|3x-1|+|x-a|≤3x,

依题意可知不等式|3x-1|+|x-a|≤3x在,上恒成立,

所以3x-1+|x-a|≤3x,即|x-a|≤1,

即a-1≤x≤a+1,所以

解得-≤a≤,

故所求实数a的取值范围是-,.

热点训练4:(2018·山西省八校联考)已知函数f(x)=2|x-3|-|x+1|.

(1)解不等式f(x)<2;

(2)若函数f(x)的最小值为m,且正实数a,b,c满足+++m=0,证明:a+b+c≥9.

(1)解:当x<-1时,不等式可化为2(3-x)+(x+1)<2,解得x>5,

这与x<-1矛盾,故此时不等式无解;

当-1≤x≤3时,不等式可化为2(3-x)-(x+1)<2,

解得x>1,故此时不等式的解集为(1,3];

当x>3时,不等式可化为2(x-3)-(x+1)<2,

解得x<9,故此时不等式的解集为(3,9).

综上,不等式的解集为(1,9).

(2)证明:由题知

f(x)=

如图,作出函数f(x)的图象,显然,函数f(x)的最小值为f(3)=-4,

所以m=-4.

所以++=4,

则a+b+c

=(a+b+c)×++

=1+4+9+++

=14++++++

≥14+2+2+2

=×(14+4+6+12)

=9当且仅当即a=,b=3,c=时等号成立.

热点训练5:(2018·河北省五个一名校联盟第二次考试)已知函数f(x)=|2x-1|,x∈R.

(1)解不等式f(x)<|x|+1;

(2)若对x,y∈R,有|x-y-1|≤,|2y+1|≤,求证:f(x)<1.

(1)解:因为f(x)<|x|+1,所以|2x-1|<|x|+1,

即或或

解得≤x<2或0<x<或无解.

故不等式f(x)<|x|+1的解集为{x|0<x<2}.

(2)证明:f(x)=|2x-1|=|2(x-y-1)+(2y+1)|≤

|2(x-y-1)|+|2y+1|=2|x-y-1|+|2y+1|≤

2×+=<1.

【例1】 (2018·山东省六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,a为常数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2-7=2ρsinθ-.

(1)求直线l的普通方程及圆C的直角坐标方程;

(2)若直线l与圆C交于M,N两点,且|MN|=4,求实数a的值.

解:(1)将直线l的参数方程消去参数t,得直线l的普通方程为3x-4y+3a+4=0.

圆C的极坐标方程为ρ2-7=2ρsinθ-,

即ρ2+2ρcos θ-2ρsin θ-7=0,

由极坐标与直角坐标的互化公式,

得x2+y2+2x-2y-7=0,

即(x+1)2+(y-1)2=9.

(2)由(1)得圆C的圆心为C(-1,1),半径为3,

所以圆心C到直线l的距离

d==.

由|MN|=4,可得圆心C到直线l的距离d==1,

所以=1,解得a=或a=-.

【例2】 已知函数f(x)=|2x-1|-|x-a|,a∈R.

(1)当a=1时,解不等式f(x)<1;

(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解,求a的取值范围.

解:(1)当a=1时,f(x)=|2x-1|-|x-1|

=

当x≤时,-x<1,解得x>-1,

所以-1<x≤;

当<x≤1时,3x-2<1,

解得x<1,所以<x<1;

当x>1时,x<1,无解;

综上所述,不等式f(x)<1的解集为{x|-1<x<1}.

(2)当x∈(-1,0)时,f(x)>1有解⇔|x-a|<-2x有解⇔2x<x-a<-2x有解⇔3x<a<-x有解,

因为-3<3x<0,0<-x<1,

所以-3<a<1,即实数a的取值范围是(-3,1).

【例3】 (2018·长沙市名校实验班阶段性测试)设函数f(x)=|x+1|-|x-1|.

(1)解不等式f(x)≥1;

(2)当a∈R,0<b<2时,证明:f(a)≤+.

(1)解:|x+1|-|x-1|≥1可转化为

或或

解得≤x≤1或x>1,

所以不等式的解集为xx≥.

(2)证明:由f(x)=

可得-2≤f(a)≤2,

因为0<b<2,所以0<2-b<2,

所以+=+·

=2++≥2,

当且仅当b=1时等号成立,

所以f(a)≤+成立.

(对应学生用书第66页)

【典例1】 (2018·全国Ⅱ卷,理22)(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

评分细则:

解:(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.1分

当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,3分

当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.5分

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos 2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①7分

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,

所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.8分

又由①得t1+t2=-,

故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.10分

注:第(1)问得分说明:

①求出曲线C的直角坐标方程得1分.

②对cos α讨论,得出l的直角坐标方程得4分,只写一个得2分.

第(2)问得分说明:

①方程组联立,得出关于参数α,t的方程得2分.

②根据参数t的几何意义,得t1+t2=0,得1分.

③由cos α,sin α的关系得斜率的值,得2分.

【答题启示】

(1)一般地,曲线的参数方程转化为直角坐标方程的关键是消参,曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是活用x=ρcos θ,y=ρsin θ.本题易忽视cos α=0,即l的斜率不存在的情况而失分.

(2)直线l的参数方程为(t为参数),其中α为直线l的倾斜角,α∈[0,π),直线l必过定点M0(x0,y0).在直线l的参数方程中,|t|表示直线上的动点M(x,y)到定点M0的距离.若直线l与曲线C相交于M1,M2两点,设点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,则有如下结论成立:

①|M1M2|=|t1-t2|;

②若定点M0(x0,y0)为弦M1M2的中点,则t1+t2=0;

③若弦M1M2的中点为M,则点M对应的参数tM=.

本题常对参数t的几何意义理解不准而得不出t1+t2=0而失分或无法求解.

【典例2】 (2018·全国Ⅱ卷,理23)(10分)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;

(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.

评分细则:

解:(1)当a=1时,

f(x)=3分

可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}.5分

(2)f(x)≤1等价于|x+a|+|x-2|≥4.6分

而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当x=2时等号成立.7分

故f(x)≤1等价于|a+2|≥4.8分

由|a+2|≥4可得a≤-6或a≥2,9分

所以a的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).10分

注:第(1)问得分说明:

①按x与-1,2的大小关系把f(x)写成分段函数,得3分.其中分点可与它的前、后段随意合并,但要做到不漏,每写对一段给1分.

②求出不等式的解集,得2分,结果缺少等号扣1分.

第(2)问得分说明:

①把所求不等式写成绝对值不等式,得1分.

②利用绝对值不等式的性质定理得出|x+a|+|x-2|≥|a+2|,得1分.

③把不等式恒成立问题转化为关于参数a的不等式,得1分.

④解关于参数a的不等式,得1分.

⑤用集合或区间写出结果,得1分.

【答题启示】

(1)求解形如|x-a|+|x-b|≥m(或>m,或<m,或≤m)的不等式时,往往需要按变量x与常数a,b的大小关系讨论(假设a<b,则按x<a,a≤x≤b,x>b加以分类讨论),或利用“图象法”加以求解.

本题常因分段错误而失分.

(2)根据绝对值不等式|a|+|b|≥|a±b|,可得函数f(x)=|x-a|+|x-b|(a≠b)的最小值为|a-b|;根据绝对值不等式||a|-|b||≤|a±b|,可得函数f(x)=|x-a|-|x-b|(a≠b)的最小值为-|a-b|,最大值为|a-b|.

本题常不能正确运用绝对值不等式的性质求|x+a|+|x-2|的最小值,或不能把不等式恒成立问题转化为参数的不等式而失分.

(3)本题易忽略结果是集合或区间形式而失分.