2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题三第1讲　三角函数的图象与性质、三角恒等变换

第1讲　三角函数的图象与性质、三角恒等变换

(对应学生用书第19页)

1.(2018·全国Ⅲ卷,理4)若sin α=,则cos 2α等于(　B　)

(A) (B) (C)- (D)-

解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=.故选B.

2.(2016·全国Ⅱ卷,理7)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(　B　)

(A)x=-(k∈Z) (B)x=+(k∈Z)

(C)x=-(k∈Z) (D)x=+(k∈Z)

解析:y=2sin 2x向左平移得y=2sin 2x+.令2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z.故选B.

3.(2016·全国Ⅲ卷,理5)若tan α=,则cos2α+2sin 2α等于(　A　)

(A) (B) (C)1 (D)

解析:cos2α+2sin 2α=

=

=

=.

选A.

4.(2017·全国Ⅲ卷,理6)设函数f(x)=cosx+,则下列结论错误的是(　D　)

(A)f(x)的一个周期为-2π

(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称

(C)f(x+π)的一个零点为x=

(D)f(x)在,π单调递减

解析:f(x)=cosx+中,x∈,π,x+∈,,则f(x)=cosx+不是单调函数.故选D.

5.(2017·全国Ⅰ卷,理9)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin2x+,则下面结论正确的是(　D　)

(A)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

(B)把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

(C)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

(D)把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2

解析:因为sin2x+=cos-2x+

=cos2x+.

因此可以先将y=cos x即C1上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,变为y=cos 2x,再将y=cos 2x向左平移个单位得到y=cos2x+=cos2x+.故选D.

6.(2018·全国Ⅱ卷,理10)若f(x)=cos x-sin x在[-a,a]是减函数,则a的最大值是(　A　)

(A) (B) (C) (D)π

解析:f(x)=cos x-sin x

=-·sin x-·cos x

=-sinx-,

当x∈-,π,即x-∈-,时,

y=sinx-单调递增,y=-sinx-单调递减.

因为函数f(x)在[-a,a]是减函数,

所以[-a,a]⊆-,π,

所以0<a≤,

所以a的最大值为.故选A.

7.(2017·全国Ⅱ卷,理14)函数f(x)=sin2x+cos x-x∈的最大值是　　　　　. 

解析:由题意得f(x)=sin2x+cos x-

=-cos2x+cos x+

=-cos x-2+1.

因为x∈0,,所以cos x∈[0,1].

所以当cos x=时,f(x)max=1.

答案:1

8.(2018·全国Ⅱ卷,理15)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　. 

解析:因为sin α+cos β=1,①

cos α+sin β=0,②

所以①2+②2得1+2(sin αcos β+cos αsin β)+1=1,

所以sin αcos β+cos αsin β=-,

所以sin(α+β)=-.

答案:-

9.(2018·全国Ⅲ卷,理15)函数f(x)=cos3x+在[0,π]的零点个数为　　　　. 

解析:由题意可知,当3x+=kπ+(k∈Z)时,f(x)=cos3x+=0.

因为x∈[0,π],

所以3x+∈,π,

所以当3x+取值为,,时,f(x)=0,

即函数f(x)=cos3x+在[0,π]的零点个数为3.

答案:3

10.(2018·全国Ⅰ卷,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是　　　　. 

解析:f'(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).

因为cos x+1≥0,

所以当cos x<时,即x∈+2kπ,+2kπ,k∈Z,

f'(x)<0,f(x)单调递减;

当cos x>时,+2kπ,+2kπ,k∈Z,

f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=+2kπ,k∈Z,sin x=-,cos x=,f(x)有最小值.

又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),

所以f(x)min=2×-×1+=-.

答案:-

1.考查角度

考查三角函数的图象与性质、三角函数求值(利用三角函数定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差三角函数公式、倍角公式等).

2.题型及难易度

选择题、填空题,试题难度中等.

(对应学生用书第19~21页)

三角函数的图象

考向1　三角函数的图象变换

【例1】 (1)(2018·榆林一模)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-,则下列说法正确的是(　　)

(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2

(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,再把得到的曲线向右平移,得到曲线C2

(C)把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2

(D)把C1向右平移,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,得到曲线C2

(2)(2018·湖南省两市九月调研)若将函数f(x)=2sinx+ 的图象向右平移个单位,再把所得图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一条对称轴为(　　)

(A)x= (B)x=

(C)x= (D)x=

解析:(1)根据曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-=sinx-,

把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,

可得y=sinx的图象;

再把得到的曲线向右平移,

得到曲线C2:y=sinx-的图象.故选B.

(2)将函数f(x)=2sinx+的图象向右平移个单位得y=2sinx-+=2sinx-的图象,

将y=2sinx-图象上的点的横坐标扩大到原来的2倍得g(x)=2sinx-,

令x-=+kπ,(k∈Z),

得x=π+2kπ,k∈Z,k=0时,x=π.选D.

三角函数图象变换中容易出错的地方是沿x轴方向的平移和伸缩变换:把函数f(x)=sin ωx的图象向右(左)平移φ个单位长度,得到函数g(x)=sin ω(x-φ)(g(x)=sin ω(x+φ))的图象,把函数f(x)=sin ω1x的图象上各点的横坐标变为原来的倍0<ω2<1称为扩大到原来的倍、ω2>1称为缩小为原来的,得到函数g(x)=sin(ω1ω2x)的图象.

考向2　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式

【例2】 (1)(2018·湖北省5月冲刺卷)已知函数f(x)=Asin(ωx+θ)(A>0,ω>0,|θ|<π)的部分图象如图所示,将函数y=f(x)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,则函数y=g(x)的解析式为(　　)

(A)y=2sin 2x (B)y=2sin2x+

(C)y=2sin2x+ (D)y=2sin2x-

(2)(2018·银川模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,x∈R)的部分图象如图所示,则该函数图象的一个对称中心是(　　)

(A),0 (B)-,0

(C)-,0 (D),0

解析:(1)由题图得A=2,T=--=π,

所以ω==2,

因为x==时y=2,

所以2×+θ=+2kπ(k∈Z),

所以θ=+2kπ(k∈Z),

因为|θ|<π,

所以θ=,

因此g(x)=2sin2x-+=2sin2x-.

故选D.

(2)由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象知,

T=2×-=π,

所以ω==2,

又x=时,f=2sin2×+φ=2,

解得φ=-,

所以f(x)=2sin2x-,

令2x-=kπ,k∈Z,

得x=kπ+,k∈Z,

当k=-3时,x=-+=-,

所以f(x)的一个对称中心为-,0.故选C.

根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式的基本步骤是一般可以先确定A值,然后确定ω利用最小正周期T=,其中函数图象上一个对称中心与相邻的对称轴之间的距离为、两相邻的对称轴或两相邻的对称中心之间的距离为T等,最后再根据其最值点或特殊点的坐标代入函数解析式求得φ.

热点训练1:(1)(2018·江门一模)将函数f(x)=sinπx+图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把图象上所有的点向右平移1个单位,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的单调递减区间是(　　)

(A)[2k-1,2k+2](k∈Z) (B)[2k+1,2k+3](k∈Z)

(C)[4k+1,4k+3](k∈Z) (D)[4k+2,4k+4](k∈Z)

(2)(2018·山东省实验中学二模)将f(x)=sin 2x-cos 2x+1的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是(　　)

(A)函数y=g(x)的最小正周期是π

(B)函数y=g(x)的一条对称轴是x=

(C)函数y=g(x)的一个零点是

(D)函数y=g(x)在区间,上单调递减

(3)(2018·陕西咸阳三模)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(x)的图象向右平移2个单位后,得到g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　)

(A)g(x)=2sin (B)g(x)=-2sin

(C)g(x)=2cos (D)g(x)=-2cos

解析:(1)将函数f(x)=sin+πx=cos πx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=cosπx的图象;再把图象上所有的点向右平移1个单位,得到函数g(x)=cosπ(x-1)=cosπx-=sinπx的图象,令2kπ+≤x≤2kπ+,求得4k+1≤x≤4k+3,k∈Z,

可得函数g(x)的单调递减区间是[4k+1,4k+3](k∈Z),故选C.

(2)由题意可知

f(x)=sin 2x-cos 2x+1=2sin2x-+1,

图象向左平移个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为

g(x)=2sin2x+-+1-1=2sin2x+.

则函数g(x)的最小正周期为T==π,A选项说法正确,不符合题意;

当x=时,2x+=,函数y=g(x)的一条对称轴是x=,B选项说法正确,不符合题意;

当x=时,2x+=π,函数y=g(x)的一个零点是,C选项说法正确,不符合题意;

若x∈,,则2x+∈,,函数y=g(x)在区间,上不单调,D选项说法错误,符合题意;故选D.

(3)根据函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象,

可得A=2,

因为·=6+2,所以ω=.

再结合五点法作图可得×6+φ=π,求得φ=π,

所以f(x)=2cosx+π.

把f(x)的图象向右平移2个单位后,可得

g(x)=2cos(x-2)+π=2cosx+=-2sinx的图象,故选B.

三角函数的性质

【例3】 (1)(2018·安徽江南十校二模)函数y=sin x·sinx+的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后,得到y=g(x)为偶函数,则m的最小值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(2)(2018·河北石家庄二中八月模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x+2sinx+cos x+.

①当x∈,时,求f(x)的值域;

②若函数f(x)的图象向右平移个单位后,所得图象恰与函数g(x)的图象关于直线x=对称,求函数g(x)的单调递增区间.

(1)解析:y=sin x·sinx+

=sin2x+sin xcos x

=+

=sin2x-+,

将y=sin2x-+的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后,得到g(x)=sin2x-2m-+的图象,

因为g(x)=sin2x-2m-+为偶函数,

所以2m+=+kπ,k∈Z,

即m=+,k∈Z,

即正数m的最小值为.故选D.

(2)解:①f(x)=sin2x+sin x cos x+2sinx+cosx+

=+sin 2x+sin2x+

=+(sin 2x-cos 2x)+cos 2x

=(sin 2x+cos 2x)+

=sin2x++,

由x∈,,得≤2x+≤π,

所以-≤sin2x+≤1,0≤f(x)≤,

即f(x)在,上的值域是0,.

②函数f(x)的图象向右平移个单位后得到h(x)的图象,

则h(x)=fx-=sin 2x+,

设点P(x,y)是g(x)图象上任意一点,

则点P关于直线x=对称的点Q-x,y在h(x)的图象上,

所以g(x)=h-x=sin-2x+

=sin2x++.

所以当-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),

即-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z)时,g(x)单调递增,

所以g(x)的单调递增区间是-+kπ,+kπ(k∈Z).

三角函数的主要性质为奇偶性、周期性、单调性和最值.(1)y=sin(ωx+φ)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z),函数y=cos(ωx+φ)为奇函数的充要条件是φ=kπ+(k∈Z)、为偶函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z);(2)函数y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的最小正周期为,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期T=;(3)确定y=sin(ωx+φ),y=cos(ωx+φ)的单调性时首先化ω为正值,然后把ωx+φ看作整体,利用y=sin x,y=cos x的单调区间,得出关于ωx+φ的不等式,解不等式即得所求函数的单调区间;(4)确定函数y=sin(ωx+φ)的值域时,一定要准确求出ωx+φ的取值范围,结合函数y=sin x的单调性得出所求的值域.

热点训练2:(1)(2018·广东广州市海珠区一模)设函数f(x)=cos2x-,则下列结论错误的是(　　)

(A)f(x)的一个周期为-π

(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称

(C)fx+的一个零点为x=-

(D)f(x)在区间上单调递减

(2)(2018·安徽宿州第三次质检)将函数y=2sin-xcos+x-1的图象向左平移φ(φ>0)个单位,所得的图象恰好关于原点对称,则φ的最小值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(3)(2018·山东青岛二模)已知向量a=cos x,-,b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.

①求f(x)的最小正周期;

②求函数f(x)的单调递减区间;

③求f(x)在0,上的最大值和最小值.

(1)解析:f(x)=cos2x-的周期为T=kπ,k∈Z,

所以A对,不符合题意;

当x=时,2x-=π,cos π=-1,所以B对,不符合题意;

fx+=cos2x+π-=cos2x+,

当x=-时,fx+=1;

所以x=-不是fx+的零点.

所以C错,符合题意;

x∈时,2x-∈,y=cos x在上递减,所以D对,不符合题意.故选C.

(2)解析:由于sin-x=sin-+x=cos+x,

故三角函数的解析式即

y=2cos2+x-1=cos+2x,

令cos+2x=0可得+2x=kπ+(k∈Z),

则x=+(k∈Z),

取k=0可得x=,即函数图象与x轴正半轴的第一个交点坐标为P,0,

函数图象如图所示,数形结合可知φ的最小值为.故选B.

(3)解:f(x)=cos x,-·(sin x,cos 2x)

=cos xsin x-cos 2x

=sin 2x-cos 2x

=cossin 2x-sincos 2x

=sin2x-.

①f(x)的最小正周期为T==π,

即函数f(x)的最小正周期为π.

②+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,

得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,

所以f(x)的单调递减区间是+kπ,+kπ,k∈Z.

③因为0≤x≤,

所以-≤2x-≤.

由正弦函数的性质,

当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值1.

当2x-=-,即x=0时,f(0)=-,

当2x-=π,即x=时,f=,

所以f(x)的最小值为-.

因此,f(x)在0,上的最大值是1,最小值是-.

利用三角恒等变换求值

【例4】 (1)(2018·三明模拟)已知角θ的终边经过点P(1,2),则等于(　　)

(A)- (B) (C)- (D)

(2)(2018·吉林省百校联盟联考)已知cos+α=3sinα+,则tan +α等于(　　)

(A)4-2 (B)2-4

(C)4-4 (D)4-4

解析:(1)因为角θ的终边经过点P(1,2),则tan θ==2,

所以===,故选D.(2)由题意可得-sin α=-3sinα+,

即sinα+-=3sinα++,

展开得

sinα+cos -cosα+sin

=3sinα+cos +3cosα+sin ,

整理可得tan α+=-2tan =-2tan -=-2×=2-4.选B.

(2)利用三角恒等变换求值的基本思路:变换函数名称、变换角、整体代入等.

热点训练3:(1)(2018·张掖一模)已知tan-θ=4cos(2π-θ),|θ|<,则tan 2θ等于(　　)

(A)- (B)

(C)- (D)

(2)(2018·安徽安庆一中高考热身)已知tan(α+β)=,tanβ-=,则的值为　　　　; 

(3)(2018·河南最后一模)已知x∈0,,tan x=,则=　　　　. 

解析:(1)因为tan-θ=4cos(2π-θ),

所以=4cos θ,

又因为|θ|<,cos θ≠0,

所以sin θ=,cos θ==,tan θ==,

所以tan 2θ===.

故选B.

(2)因为==

=tanα+,

且tanα+=tan(α+β)-β-

=,

将tan(α+β)=,tanβ-=代入可得

==.

(3)因为x∈0,,tan x=,

所以sin x=.

又==2sin x,

所以=.

答案:(1)B　(2)　(3)

【例1】 (1)(2018·福建厦门二检)函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)在区间-,上单调递减,在区间-,0上有零点,则φ的取值范围是(　　)

(A), (B),

(C), (D),

(2)(2018·广东省六校联考)已知函数f(x)=cos x sin 2x,下列结论中不正确的是(　　)

(A)y=f(x)的图象关于点(π,0)中心对称

(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称

(C)f(x)的最大值为

(D)f(x)既是奇函数,又是周期函数

解析:(1)当x∈-,时,

2x+φ∈-+φ,+φ,

又因为φ∈(0,π),则-+φ,+φ⊆[0,π],

即≤φ≤,

由cos(2x+φ)=0得2x+φ=kπ+,k∈Z,

x=+-,

所以-<-<0,

解得<φ<,

综上,<φ≤.故选C.

(2)对于A中,因为f(π+x)=cos (π+x)sin 2(π+x)=-cos xsin 2x,　

f(π-x)=cos (π-x)sin 2(π-x)=cos xsin 2x,

所以f(π+x)+f(π-x)=0,

可得y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,故A正确,不符合题意;

对于B,因为f+x=cos+xsin 2+x=-sin x(-sin 2x)=sin xsin 2x,

f-x=cos-xsin 2-x

=sin xsin 2x,

所以f+x=f-x,

可得y=f(x)的图象关于x=对称,故B正确,不符合题意;

对于C,化简得f(x)=cos x sin 2x=2cos2x sin x=

2sin x(1-sin2x),

令t=sin x,f(x)=g(t)=2t(1-t2),-1≤t≤1,

因为g(t)=2t(1-t2)的导数

g'(t)=2-6t2=2(1+t)(1-t),

所以当t∈-1,-或t∈,1时,g'(t)<0,函数g(t)为减函数;

当t∈-,时,g'(t)>0,函数g(t)为增函数,

因此函数g(t)的最大值为t=-1或t=时的函数值,结合g(-1)=0<g=,

可得g(t)的最大值为,由此可得f(x)的最大值为,而不是,所以不正确,符合题意;

对于D,因为f(-x)=cos (-x)sin (-2x)=-cos xsin 2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,

因为f(2π+x)=cos (2π+x)sin (4π+2x)

=cos xsin 2x=f(x),

所以2π为函数的一个周期,得f(x)为周期函数,

可得f(x)既是奇函数,又是周期函数,所以正确,不符合题意,故选C.

【例2】 (1)(2018·广东珠海市高三摸底)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=cosx-,则下列说法正确的是(　　)

(A)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

(B)把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2

(C)把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2

(D)把曲线C1向右平移个单位长度,再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到曲线C2

(2)(2018·福建百校临考冲刺)若函数f(x)=sin2x-与g(x)=cosx+都在区间(a,b)(0<a<b<π)上单调递减,则b-a的最大值为(　　)

(A) (B) (C) (D)

(3)(2018·山东潍坊青州三模)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的图象过点B(0,-1),f(x)在区间,上为单调函数,且f(x)的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合,则等于(　　)

(A)- (B) (C) (D)-

解析:(1)对于A,y=sin x→y=sinx→y=sinx-≠cosx-;

对于B,y=sin x→y=sinx→y=sinx-=cosx-;

对于C,y=sin x→y=sinx-→y=sin2x-≠cosx-;

对于D,y=sin x→y=sinx-→y=sin2x-≠cosx-.故选B.

(2)对于函数f(x),令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),解得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

当x∈(0,π)时,令k=0,则≤x≤;

对于函数g(x),令2kπ≤x+≤π+2kπ(k∈Z),

解得-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),

当x∈(0,π)时,令k=0,则0<x≤.

易得当函数f(x)与g(x)均在区间(a,b)(0<a<b<π)单调递减时,

b的最大值为,a的最小值为,

所以b-a的最大值为-=,

故选B.

(3)由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点B(0,-1),

所以2sin φ=-1,解得sin φ=-,

又|φ|<,所以φ=-,

所以f(x)=2sinωx-,

f(x)的图象向左平移π个单位之后为

g(x)=2sinω(x+π)-=2sinωx+ωπ-,

由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ,k∈Z,

所以ω=2k,k∈Z,

又-≤=,

所以ω≤,所以ω=2,

所以,=-,故选A.

【例3】 (2018·岳麓区校级二模)已知向量m=(2cos ωx,-1),n=(sin ωx-cos ωx,2)(ω>0),函数f(x)=m·n+3,若函数f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为.

(1)求函数f(x)的单调增区间;

(2)若将函数f(x)的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,得到函数g(x)的图象,当x∈,时,求函数g(x)的值域.

解:(1)f(x)=m·n+3=2cos ωx(sin ωx-cos ωx)-2+3=sin 2ωx-cos 2ωx=sin2ωx-,

因为T=π,所以=π,

所以ω=1,所以f(x)=sin2x-.

令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,求得f(x)的增区间为-+kπ,+kπ(k∈Z).

(2)将函数f(x)的图象先向左平移个单位,

得到y=sin2x+-=sin2x+的图象,

然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,

得到函数g(x)=sin4x+的图象,

故g(x)=sin4x+,

因为≤x≤,

所以≤4x+≤,

所以-1≤sin4x+≤.

故函数g(x)的值域是[-,1].