2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题二高考解答题的审题与答题示范（二）
展开高考解答题的审题与答题示范(二)
数列类解答题
[思维流程]——数列问题重在“归”——化归
[审题方法]——审结构
结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
典例 | (本题满分12分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*). |
审题路线 | (1)要求{an}和{bn}的通项公式⇒需求{an}的首项a1和公差d；{bn}的首项b1和公比q. (2)由(1)知a2nb2n－1＝(3n－1)4n⇒分析a2nb2n－1的结构：{3n－1}是等差数列，{4n}是等比数列⇒符合错位相减法求和的特点. |
标准答案 | 阅卷现场 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.① 又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.② 由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8(ⅰ) 化归成基本量. 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16(ⅱ). 联立(ⅰ)(ⅱ)，解得a1＝1，d＝3，③ 由此可得an＝3n－2.④ 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2， 数列{bn}的通项公式为bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，⑤ 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)⑥ 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，(**)⑦ (*)－(**)得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n 化归成等比数列－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.⑧ 得Tn＝×4n＋1＋.⑨ 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋. |
第(1)问踩点得分说明 ①正确求出q2＋q－6＝0得2分； ②根据等比数列的通项公式求出通项公式bn＝2n得1分，通项公式使用错误不得分； ③求出a1＝1，d＝3得2分； ④根据等差数列的通项公式求出通项公式an＝3n－2得1分，通项公式使用错误不得分. 第(2)问踩点得分说明 ⑤正确写出a2nb2n－1＝(3n－1)×4n得1分； ⑥正确写出Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n得1分； ⑦正确写出4Tn得1分； ⑧由两式相减得出－3Tn＝－(3n－2)×4n＋1－8正确得2分，错误不得分； ⑨正确计算出Tn＝×4n＋1＋得1分. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
