2020新课标高考数学二轮讲义：第一部分第3讲复数与平面向量


第3讲　复数与平面向量


复　数
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i　　　　　 B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：选D.由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
故选D.
2．(2020·山东高考模拟)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b＝(　　)
A．－1　　　B．－　　　C.　　　D．1
解析：选D.根据题意＝＝－i，所以a＋bi＝i.所以a＝0，b＝1，所以a＋b＝1，故选D.
3．(一题多解)(2019·南宁模拟)设z＝＋2i，则|z|＝(　　)
A．0 B．
C．1 D．
解析：选C.法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.
法二：因为z＝＋2i＝＝，
所以|z|＝||＝＝＝1.故选C.
4．(2019·漳州模拟)已知i是虚数单位，且z＝，则z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.z＝＝＝＝＝2－i，则z＝2＋i，所以z对应的点在第一象限．故选A.
5．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
解析：选C.由已知条件，可得z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－i|＝1，所以|x＋yi－i|＝1，所以x2＋(y－1)2＝1.
故选C.
6．(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部是0，故a＝2.
答案：2

复数代数形式的2种运算方法
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．
[提醒]　(1)复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化．
(2)对一些常见的运算，如(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．
(3)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．　

平面向量的线性运算
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·合肥市第二次质量检测)在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　)
A．a＋b　　　　 B．a＋b
C．a－b D．a－b
解析：选A.通解：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝＋.因为＝，所以＝，＝，所以＝＋＝a＋b，故选A.
优解一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
优解二：由＝，得－＝(－)，所以＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选A.
2．(一题多解)(2019·广东六校第一次联考)如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点，若＝t＋，则实数t的值为(　　)

A． B．
C． D．
解析：选C.通解：因为＝，所以＝.设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝＋λ＝λ＋(1－λ)，又＝t＋，所以t＋＝λ＋(1－λ)，得，解得t＝λ＝，故选C.
优解：因为＝，所以＝，所以＝t＋＝t＋.因为B，P，N三点共线，所以t＋＝1，所以t＝，故选C.
3．已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，
||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于(　　)
A． B．2
C．3 D．4
解析：选B.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点为D，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2，故选B.
4．已知向量a＝(1，2)，b＝(m，－1)，若a∥(a＋b)，则实数m的值为________．
解析：a＋b＝(1＋m，1)，因为a∥(a＋b)，所以2(1＋m)＝1，解得m＝－.
答案：－

5．(2019·郑州市第一次质量预测)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________．

解析：由题图可设＝x(x>0)，则＝x(＋)＝x(＋)＝＋x.因为＝λ＋μ，与不共线，所以λ＝，μ＝x，所以＝.
答案：


平面向量线性运算的2种技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．

[提醒]　向量线性运算问题的2个关注点
(1)注意尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．
(2)注意结论的使用：O为直线AB外一点，若点P在直线AB上，则有＝α＋β(α＋β＝1)；若点P满足＝，则有＝＋.　

　平面向量的数量积
[考法全练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
解析：选C.因为＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，所以＝1，所以t＝3，所以＝(1，0)，所以·＝2×1＋3×0＝2.
故选C.
2．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A．　　 B．　　　　
C．　　　　 D．

解析：选B.由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b2.
因为|a|＝2|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝.
因为0≤〈a，b〉≤π，所以a与b的夹角为.
故选B.
3．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：选C.法一：因为＝2，所以－＝2(－)，所以＝＋，则·＝·＝·＋2＝×3×2×＋×32＝1，故选C.
法二：以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，因为＝2，所以＝＝(－4，)＝，则D，所以＝(3，0)，＝，则·＝3×＋0＝1，故选C.

4．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________．
解析：由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝.
答案：
5．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
解析：已知|a|＝1，|b|＝2，则(|a＋b|＋|a－b|)2＝2(a2＋b2)＋2|a＋b||a－b|＝10＋2·＝10＋2.由|a|＝1，|b|＝2，得－2≤a·b≤2，则(a·b)2∈[0，4]，所以(|a＋b|＋|a－b|)2∈[16，20]，所以|a＋b|＋|a－b|∈[4，2]，所以|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
答案：4　2
6．已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝|b|＝1，|c|＝3，则|a＋b＋c|＝________．
解析：由平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，可得夹角均为，所以|a＋b＋c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋9＋2×1×1×cos ＋2×1×3×cos ＋2×1×3×cos ＝4，所以|a＋b＋c|＝2.
答案：2

平面向量数量积问题的难点突破
(1)借“底”数字化，要先选取一组合适的基底，这是把平面向量“数化”的基础．
(2)借“系”坐标化，数形结合，建立合适的平面直角坐标系，将向量的数量积运算转化为坐标运算．　

　平面向量在几何中的应用
[考法全练]
1．(一题多解)(2019·郑州市第二次质量预测)在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则·的最小值为(　　)
A．－　　　　　　　　　 B．0
C．4 D．－1
解析：选A.通解：因为BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中线BD＝2，且∠CBD＝45°.因为点P在边AC的中线BD上，所以设＝λ(0≤λ≤1)，如图所示，所以·＝(＋)·＝(＋λ)·λ＝λ·＋λ2·2＝λ||·||cos 135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝8－，当λ＝时，·取得最小值－，故选A.

优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，

因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)，(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，当t＝时，·取得最小值－，故选A.
2．(一题多解)(2019·长春市质量监测(二))如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若·＝||2，则||＝(　　)

A．3 B．5
C． D．
解析：选D.法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，0)，E(2，1)．设||＝x，则F(x，2)，故＝(x，2)，＝(2，1)．因为·＝||2，所以(x，2)·(2，1)＝2x＋2＝5，解得x＝，所以||＝＝，故选D.
法二：连接EF，因为·＝||||cos∠EAF＝||2，所以||cos∠EAF＝||，所以EF⊥AE.因为E是BC的中点，所以BE＝CE＝1.设DF＝x，则CF＝2－x.在Rt△AEF中，AE2＋EF2＝AF2，即22＋12＋(2－x)2＋12＝22＋x2，解得x＝，所以AF＝＝.故选D.
3．(2019·江苏南通基地学校联考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(，1)在以原点O为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得∠AOB＝90°，则·＝________，|＋|＝________．　

解析：由题可得圆O的半径r＝＝2，所以P(0，2)，则AP所在直线方程为y－2＝(x－0)，即y＝－x＋2.
设B，则＝(，1)，＝.
由∠AOB＝90°可得·＝0，所以x－x＋2＝x＋2＝0，
解得x＝－，所以B(－，3)，所以＝(，－1)，
所以·＝×＋1×(－1)＝2，
|＋|＝|(2，0)|＝2.
答案：2　2

用向量解决平面几何问题的3个步骤
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
[提醒]　关注2个常用结论的应用
(1)△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝(＋)．
(2)△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．　

一、选择题
1．若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为(　　)
A．－ B.
C.i D．－i
解析：选B.因为＝＝＋i，所以其实部为，虚部为，实部与虚部之积为.故选B.
2．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选B.设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
解析：选A.因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A.
4．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选A.由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A.
5．已知(1＋i)·z＝i(i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A.因为(1＋i)·z＝i，所以z＝＝＝，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.
6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为(　　)
A．1 B.
C. D.
解析：选B.由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|·cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|·cos〈a，a－b〉＝＝，故选B.
7．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为(　　)

A．12 B．15
C．17 D．16
解析：选B.以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B.
8．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)
A.－1 B.＋1
C．2 D．2－
解析：选A.法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A.

法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.
设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A.
9．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数
B．z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数
C．复数z是实数的充要条件是z＝ (是z的共轭复数)
D．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y＝1
解析：选BC.对于A，z1和z2可能是相等的复数，故A错误；对于B，若z1和z2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B正确；对于C，由a＋bi＝a－bi得b＝0，故C正确；对于D，由题可知，A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，－2)，建立等式(3，－2)＝(－x＋y，2x－y)，即解得x＋y＝5，故D错误．故选BC.
10．(多选)已知向量a＝(2，7)，b＝(x，－3)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的值可以为(　　)
A.　 　 　B．－　 　 　C.　 　 　D．1
解析：选CD.a与b的夹角为钝角必须满足a·b＝2x－21<0且a与b不共线，把各选项逐项代入验证知，C，D符合要求．
11．(多选)已知等边三角形ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则＝(　　)
A.＋ B.－
C.＋ D.＋
解析：选AC.如图所示，设BC中点为E，则＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋·＝＋.故选AC.

12．(多选)已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则(　　)
A．△ABC是直角三角形
B．△ABC是等腰三角形
C．△ABC的面积为2
D．△ABC的面积为
解析：选AC.由||＝||得，△PBC是等腰三角形，取BC的中点D，连接PD，则PD⊥BC，又＋＋＝0，所以＝－(＋)＝－2，所以PD＝AB＝1，且PD∥AB，故AB⊥BC，即△ABC是直角三角形，由||＝2，||＝1可得||＝，则||＝2，所以△ABC的面积为×2×2＝2.
二、填空题
13．已知复数z满足z(1－i)2＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝________．
解析：因为z＝－＝，所以|z|＝.
答案：
14．(2019·山东师大附中二模改编)已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________．
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cos θ＝3－2·cos θ＝0，解得cos θ＝.又因为0≤θ≤π，所以θ＝.则a·(a＋b)＝|a|2＋|a|·|b|·cos θ＝3＋2×＝6.
答案：　6
15．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，则|d|的取值范围是________．
解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2]．
答案：[0，2]
16．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．　
解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.
答案：