【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(理数) 不等式选讲 大题1.已知f(x)=|2x-1|＋|ax-5|(0<a<5)．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥9的解集；(2)若函数y=f(x)的最小值为4，求实数a的值．                    2.设函数f(x)=|x-1|.(1)求不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集；(2)已知关于x的不等式f(x)≤f(x＋1)-|x-a|的解集为M，若⊆M，求实数a的取值范围．                     3.已知函数f(x)=|2x-1|＋|x＋1|.(1)解不等式f(x)≤3；(2)记函数g(x)=f(x)＋|x＋1|的值域为M，若t∈M，证明：t2＋1≥＋3t.                 4.设函数f(x)=|x-a|＋(a≠0，a∈R)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为g(a)，求g(a)的最小值．                          5.已知函数f(x)=|x-m|，m<0.(1)当m=-1时，求解不等式f(x)＋f(-x)≥2-x；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，求m的取值范围．                    6.设函数f(x)=|2x＋1|＋|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．                  7.设f(x)=|x|＋2|x-a|(a>0)．(1)当a=1时，解不等式f(x)≤4；(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．                   8.已知定义在R上的函数f(x)=|x-m|＋|x|，m∈N*，存在实数x使f(x)<2成立．(1)求实数m的值；(2)若α≥1，β≥1，f(α)＋f(β)=4，求证：＋≥3.                         9.已知函数f(x)=|2x＋1|，g(x)=|x|＋a．(1)当a=0时，解不等式f(x)≥g(x)；(2)若存在x∈R，使得f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围．                   10.已知函数f(x)=|x＋1|．(1)若∃x0∈R，使不等式f(x0-2)-f(x0-3)≥u成立，求满足条件的实数u的集合M；(2)已知t为集合M中的最大正整数，若a>1，b>1，c>1，且(a-1)(b-1)(c-1)=t，求证：abc≥8．               
答案解析1.解：(1)当a=1时，f(x)=|2x-1|＋|x-5|=∴f(x)≥9⇔或或解得x≤-1或x≥5，即所求不等式的解集为(-∞，-1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a<5，∴>1，则f(x)=∵当x<时，f(x)单调递减，当x>时，f(x)单调递增，∴f(x)的最小值在上取得，∵在上，当0<a≤2时，f(x)单调递增，当2<a≤5时，f(x)单调递减，∴或解得a=2.  2.解：(1)因为f(x)≤3-f(x-1)，所以|x-1|≤3-|x-2|，即|x-1|＋|x-2|≤3，则或或解得0≤x<1或1≤x≤2或2<x≤3，所以0≤x≤3，故不等式f(x)≤3-f(x-1)的解集为[0,3]．(2) 因为⊆M，所以当x∈时，f(x)≤f(x＋1)-|x-a|恒成立，而f(x)≤f(x＋1)-|x-a|⇔|x-1|-|x|＋|x-a|≤0⇔|x-a|≤|x|-|x-1|，因为x∈，所以|x-a|≤1，即x-1≤a≤x＋1，由题意，知x-1≤a≤x＋1对于x∈恒成立，所以≤a≤2，故实数a的取值范围为.  3.解：(1)依题意，得f(x)=于是f(x)≤3⇔或或解得-1≤x≤1.故不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤1}．(2)证明：g(x)=f(x)＋|x＋1|=|2x-1|＋|2x＋2|≥|2x-1-2x-2|=3，当且仅当(2x-1)(2x＋2)≤0时取等号，∴M=[3，＋∞)．t2＋1≥＋3t等价于t2-3t＋1-≥0，t2-3t＋1-==.∵t∈M，∴t-3≥0，t2＋1>0，∴≥0，∴t2＋1≥＋3t.  4.解：(1)当a=1时，f(x)=|x-1|＋|x＋2|，故f(x)=①当x>1时，由2x＋1≤5，得x≤2，故1<x≤2；②当-2≤x≤1时，由3≤5，得x∈R，故-2≤x≤1；③当x<-2时，由-2x-1≤5，得x≥-3，故-3≤x<-2.综上，不等式的解集为[-3,2]．(2)f(x)=|x-a|＋≥=，所以g(a)=，因为=|a|＋≥2=2，当且仅当|a|=，即a=±时等号成立，所以g(a)min=2.  5.解：(1)设F(x)=f(x)＋f(-x)=|x-1|＋|x＋1|=由F(x)≥G(x)解得{x|x≤-2或x≥0}．(2)f(x)＋f(2x)=|x-m|＋|2x-m|，m<0.设g(x)=f(x)＋f(2x)，当x≤m时，g(x)=m-x＋m-2x=2m-3x，则g(x)≥-m；当m<x<时，g(x)=x-m＋m-2x=-x，则-<g(x)<-m；当x≥时，g(x)=x-m＋2x-m=3x-2m，则g(x)≥-.则g(x)的值域为，不等式f(x)＋f(2x)<1的解集非空，即1>-，解得m>-2，由于m<0，则m的取值范围是(-2,0)．  6.解：(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.  7.解：(1)当a=1时，f(x)=|x|＋2|x-1|=当x<0时，由2-3x≤4，得-≤x<0；当0≤x≤1时，由2-x≤4，得0≤x≤1；当x>1时，由3x-2≤4，得1<x≤2.综上，不等式f(x)≤4的解集为.(2)f(x)=|x|＋2|x-a|=可见，f(x)在(-∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．当x=a时，f(x)取得最小值a.若f(x)≥4恒成立，则应a≥4.所以a的取值范围为[4，＋∞)．  8.解：(1)因为|x-m|＋|x|≥|(x-m)-x|=|m|.所以要使不等式|x-m|＋|x|<2有解，则|m|<2，解得-2<m<2.因为m∈N*，所以m=1.(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f(α)＋f(β)=2α-1＋2β-1=4，即α＋β=3，所以＋=(α＋β)=≥=3.当且仅当=，即α=2，β=1时等号成立，故＋≥3.  9.解：(1)当a=0时，由f(x)≥g(x)得|2x＋1|≥|x|，两边平方整理得3x2＋4x＋1≥0，解得x≤-1或x≥-，∴原不等式的解集为(-∞，-1]∪-，＋∞．(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x＋1|-|x|，令h(x)=|2x＋1|-|x|，则h(x)=故h(x)min=(h- )=-，所以实数a的取值范围为a≥- ．  10.解：(1)由已知得f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2|=则-1≤f(x)≤1，由于∃x0∈R，使不等式|x0-1|-|x0-2|≥u成立，所以u≤1，即M={u|u≤1}．(2)证明：由(1)知t=1，则(a-1)(b-1)(c-1)=1，因为a>1，b>1，c>1，所以a-1>0，b-1>0，c-1>0，则a=(a-1)＋1≥2>0(当且仅当a=2时等号成立)，b=(b-1)＋1≥2>0(当且仅当b=2时等号成立)，c=(c-1)＋1≥2>0(当且仅当c=2时等号成立)，则abc≥8=8(当且仅当a=b=c=2时等号成立)．