【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题（含答案解析）

【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，-)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．                   2.平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α的直线l过点M(-2，-4)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cos θ.(1)写出直线l的参数方程(α为常数)和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．                    3.在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为α的直线l过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点．(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l的斜率k.                   4.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos=3.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若点M在曲线C1上，点N在曲线C2上，求|MN|的最小值及此时点M的直角坐标．                     5.在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(α为参数，t>0)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρcos=.(1)若l与曲线C没有公共点，求t的取值范围；(2)若曲线C上存在点到l的距离的最大值为＋，求t的值．                  6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y=x，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．                  7.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos=.直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．                  8.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|.                   9.在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ=，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．                      10.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ-ρ=0．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|=2|PB|，求实数a的值．           
答案解析1.解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2=1.当α=时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tan α=k，则l的方程为y=kx-.l与⊙O交于两点需满足<1，解得k<-1或k>1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为.设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP=，且tA，tB满足t2-2tsin α＋1=0.于是tA＋tB=2sin α，tP=sin α.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是.  2.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，ρsin2θ=2cos θ，即ρ2sin2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.(2)把直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2α-(2cos α＋8sin α)t＋20=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程根与系数的关系得，t1＋t2=，t1t2=，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA|·|MB|=|t1t2|==40，得α=或α=.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin2α>0，所以α=.  3.解：(1)由题意知直线l的参数方程为(t为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x2＋y2=ρ2代入得x2＋y2=2y，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2=2y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2＋(4cos α)t＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos2α>，由根与系数的关系，得t1＋t2=-4cos α，t1t2=3.不妨令|AP|=|t1|，|AQ|=|t2|，所以|PQ|=|t1-t2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t1-t2)2=|t1|·|t2|，则(t1＋t2)2=5t1t2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos2α=，满足cos2α>，所以sin2α=，tan2α=，所以k=tan α=±.  4.解：(1)由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为＋=1，由ρcos=3，得ρcos θ-ρsin θ=6，∴曲线C2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M的坐标为(3cos β，sin β)，点M到直线x-y-6=0的距离d===，当sin=-1时，|MN|有最小值，最小值为3-，此时点M的直角坐标为.  5.解：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos=，即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l的直角坐标方程为x＋y-2=0.因为(α为参数，t>0)，所以曲线C的普通方程为＋y2=1(t>0)，由消去x得，(1＋t2)y2-4y＋4-t2=0，所以Δ=16-4(1＋t2)(4-t2)<0，又t>0，解得0<t<，故t的取值范围为(0，)．(2)由(1)知直线l的方程为x＋y-2=0，故曲线C上的点(tcos α，sin α)到l的距离d=，故dmax==＋，解得t=±.又t>0，∴t=.  6.解：(1)曲线C1的普通方程为(x-)2＋(y-2)2=4，即x2＋y2-2x-4y＋3=0，则曲线C1的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C2的方程为y=x，∴直线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=(ρ∈R)代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0，∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3.  7.解：(1)由ρcos=得ρcos θcos-ρsin θsin=，即ρcos θ-ρsin θ=，又ρcos θ=x，ρsin θ=y，∴直线l的直角坐标方程为x-y-1=0.(2)由(α为参数)得曲线C的普通方程为x2＋4y2=4，∵P(1,0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入x2＋4y2=4得7t2＋4t-12=0，∴t1·t2=-，故|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=|t1·t2|=.  8.解：(1)由消去t得，y=2x，把代入y=2x，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x2＋y2，y=ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y-3=0，即x2＋(y＋1)2=4.圆C的圆心C(0，-1)到直线l的距离d=，所以|AB|=2=.  9.解：(1)∵C1的极坐标方程是ρ=，∴4ρcosθ＋3ρsinθ=24，∴4x＋3y-24=0，故C1的直角坐标方程为4x＋3y-24=0．∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2=1，故C2的普通方程为x2＋y2=1．(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离d===其中φ满足tanφ=．当sin(α＋φ)=1时，d有最小值，所以|MN|的最小值为．  10.解：(1)C1的参数方程为消参得普通方程为x-y-a＋1=0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ-ρ2=0，得y2=4x．所以曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2=4x，得t2-t＋1-4a=0，由Δ=(-)2-4××(1-4a)>0，得a>0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由|PA|=2|PB|得|t1|=2|t2|，即t1=2t2或t1=-2t2，当t1=2t2时，解得a=；当t1=-2t2时，解得a=，综上，a=或．