数学八年级上册1.5 三角形全等的判定练习题

这是一份数学八年级上册1.5 三角形全等的判定练习题，共9页。

三角形全等的判定





例题





例1：如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB．





【思路点拨】直接利用全等三角形的判定方法：SSS可证明．


【答案与解析】证明：在△ABC和△DCB中，


，


∴△ABC≌△DCB（SSS）．





例2：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．


请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；


(2)证明：DC⊥BE .





【思路点拨】△ABE与△ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明△ABE≌△ACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.


【答案与解析】解：（1）△ABE≌△ACD


证明：∠BAC＝∠EAD＝90° ∠BAC ＋∠CAE＝∠EAD ＋∠CAE


即 ∠BAE＝∠CAD


又AB＝AC，AE＝AD，△ABE≌△ACD（SAS）


（2）由（1）得∠BEA＝∠CDA,


又∠COE＝∠AOD ∠BEA＋∠COE ＝∠CDA＋∠AOD＝90°


则有∠DCE＝180°－ 90°＝90°，所以DC⊥BE.





例3：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．


（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；


（2）求证：BG2-GE2=EA2．





证明：（1）BH=AC.


∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°.


∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC.∴DB=DC，


∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，


∴∠HBD=∠ACD.


在△DBH和△DCA中∴△DBH≌△DCA（ASA）∴BH=AC．


（2）连接CG，





∵∠ABC=45°，CD⊥AB，∴∠BCD=90°−∠ABC=45°=∠ABC，∴DB=CD.


∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.


∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA.


在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2.


∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．


练习





选择题


1. 下列句子中不是命题的是( B )


A．两直线平行，同位角相等


B．将4开平方


C．若|a|＝|b|，则a2＝b2


D．同角的补角相等


2. 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是( D )


A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线


3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CE，则由“SSS”可以直接判定( C )





△ABD≌△ACD B．△BDE≌△CDE


C．△ABE≌△ACE D．以上都不对


4. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( D )





A．垂线段最短 B．两点之间线段最短


C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性


5. 如图，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下列条件：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE.可利用的是( A )





A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④


6. 下列各组图形中，一定全等的是（C ）


A．两个等边三角形


B．有个角是45°的两个等腰三角形


C．腰和顶角对应相等的两个等腰三角形


D．各有一个角是40°，腰长都为30cm的两个等腰三角形


7. 两边和一角对应相等的两个三角形（C ）


A．全等 B．不全等 C．不一定全等 D．以上判断都不对


8. 在△ABC和△DEF中，下列条件中，能根据它判定△ABC≌△DEF的是（ C ）


A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠C=∠F，AC=EF


C．AB=DE，BC=EF，△ABC的周长=△DEF的周长 D．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F


9. 如图，△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E，若边BC长为8cm，则△ADE的周长为（ B ）





A．不能确定 B．8cm C．16cm D．4cm


10. 如图所示，AB∥CD，直线 EF 与 AB，CD 分别交于点 M，N，过点 N 的直线 GH


与 AB 交于点 P，则下列结论中，错误的是（D）





∠EMB=∠END


∠BMN=∠MNC


∠CNH=∠BPG


D.∠DNG=∠AME


11. 如图，能运用“ASA”定理证明△AOB≌△DOC的是( C )





AO＝DO，∠A＝∠D


B．AO＝DO，∠B＝∠C


C．AO＝DO，BO＝CO


D．AO＝DO，AB＝CD


如图，AD平分∠BAC，AB=AC，连接BD、CD，并延长交AC、AB于F、E，则图形中全等三角形有（D ）





A．2对 B．3对 C．4对 D．5对


如图所示，∠AOB 的一边 OA 为平面镜，∠AOB=37°36′，在 OB 上有一点 E，从点 E 射出一束光线经 OA 上一点 D 反射，反射光线 DC 恰好与 OB 平行，则∠DEB 的度数是（B）


A.75°36′ B.75°12′


C.74°36′ D.74°12′


【解析】如答图所示，过点 D 作 DF⊥AO 交 OB 于点 F．∵入射角等于反射角，∴∠1=∠3.


∵CD∥OB，∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.在△DOF 中，∠ODF=90°，∠AOB=37°36′，∴∠2=90°-37°36′=52°24′.∴在△DEF 中，∠DEB=180°-2∠2=75°12′．故选 B．





填空题


如图BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C和D，若要根据AAS定理，使△ABC≌△ABD（AAS），应补上条件__∠CAB=∠BAD ______或_____∠CBA=∠DBA______．





如果点P是三角形三条角平分线的交点，则点P到三角形__三边_____的距离相等．


如图，AB＝AC，DE垂直平分AB交AB于点D，交AC于点E，若△ABC的周长为28，BC＝8，求△BCE的周长 18 ．








如图所示，含 30°角的直角三角尺 DEF 放置在△ABC 上，30°角的顶点 D 在边


AB 上，且 DE⊥AB，∠A=50°，BC∥DF，则∠DNM= 40° .





【解析】∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°.


∵∠A=50°，∴∠DNM=90°-50°=40°.


如图，AB＝AC，D为BC的中点，下列结论：①∠B＝∠C；②AD平分∠BAC；③AD⊥BC；④△ABD≌△ACD.其中正确的是_①②③④____．(填序号)








证明题


如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠CBA，DE⊥AB于E，试说明：AD+DE=BE．





证△BCD≌△BED，得BC=BE，DC=DE


∴AD+DE=AD+DC=AC=BC=BE





如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E，∠C=∠D，AM⊥CD于M，BC=DE，试说明M为CD的中点．





证明：延长AB、AE交CD的延长线于H、F ∠ABC=∠AED ∠BCD=∠EDC


∴∠HBC=∠FED ∠BCH=∠EDF


又BC=DF ∴△BCH≌△EDF（AAS）


∴CH=DF 在△AMH与△AMF中，∠H=∠F ∠AMH=∠AMF AM=AM


∴△AMH≌△AMF（AAS）


∴HM=FH ∴CM=DM

















如图，△ABE≌△ACD.求证：∠1＝∠2.





证明：∵△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，AB＝AC，BE＝CD，∴AB－AD＝AC－AE，∴BD＝CE.在△BDE和△CED中，∵BD＝CE，BE＝CD，DE＝ED，∴△BDE≌△CED(SSS)，∴∠1＝∠2





如图，AE、CP分别是钝角三角形ABC（∠ABC＞90°）的高，在CP上截取CD=AB，在AE的延长线上截取AQ=BC，连接BD、BQ．


（1）写出图中BD、BQ所在的三角形 ；


△BDC，△BDP，△QBE，△QAB


（2）结合条件CD=AB，通过一组三角形全等，证明BD=BQ；


（3）求证：BD⊥BQ．




















【思路点拨】（1）写也含有BD、BQ的三角形即可；（2）根据已知利用SAS判定△ABQ≌△CDB，根据全等三角形的对应边相等，即可求得BD=BQ；（3）根据全等三角形的对应角相等，可得到∠1=∠2，∠3=∠4，又因为CP是△ABC的高，可推出BQ⊥BD．


【答案与解析】


解：（1）△BDC，△BDP，△QBE，△QAB；


（2）AE、CP分别是△ABC的高


∴∠ABE=∠CBP∴∠1=∠2


在△ABQ和△CDB中





∴△ABQ≌△CDB（SAS）∴BD=BQ


（3）∵△ABQ≌△CDB，


∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠5=∠6


∴∠QBD=∠6+∠PBD=∠5+∠PBD=∠PBD+∠4+∠2


∵CP⊥AB∴∠PBD+∠4+∠2=90°∴BQ⊥BD





命题：“两个连续奇数的平方差是8的倍数”是真命题还是假命题？如果认为是假命题，请说明理由；如 果认为是真命题，请给出证明.


【解析】“两个连续奇数的平方差是 8 的倍数”是真命题.


证明：设两个连续奇数为 2n+1，2n-1，


它们的平方差是（2n+1）2-（2n-1）2


=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）=4n·2=8n.


∴两个连续奇数的平方差是 8 的倍数.





如图，已知：AE⊥AB，AD⊥AC，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE.





证明：∵AE⊥AB，AD⊥AC，


∴∠EAB＝∠DAC＝90°


∴∠EAB＋∠DAE＝∠DAC＋∠DAE ，即∠DAB＝∠EAC.


在△DAB与△EAC中，





∴△DAB≌△EAC （ASA）


∴BD＝CE.