课时作业(四十二) 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习

课时作业(四十二)　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1.

如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　　)

A．点A　　　　　  B．点B

C．点C但不过点M  D．点C和点M

解析：∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

答案：D

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C. 不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

解析：由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a、b为异面直线相矛盾．

答案：C

3．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)

A．A，M，O三点共线

B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面

D．B，B1，O，M共面

解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC，

∵A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1.

∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.

又M∈平面AB1D1，

∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

∴A，M，O三点共线．

答案：A

4．(2017·南昌一模)已知a、b、c是异面直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是(　　)

A．a与b异面，b与c异面⇒a与c异面

B．a与b相交，b与c相交⇒a与c相交

C．α∥β，β∥γ⇒α∥γ

D．α⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交

解析：如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．

答案：C

5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)

A．45°  B．60°

C．90°  D．120°

解析：

连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C，B1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在三角形GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.

答案：B

6．(2017·福建漳州八校一模)下列命题中正确的个数是(　　)

①过异面直线a，b外一点P有且只有一个平面与a，b都平行；

②异面直线a，b在平面α内的射影相互垂直，则a⊥b；

③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；

④直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α⊥β.

A．0  B．1

C．2  D．3

解析：对于①，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P且与两条异面直线都平行的平面，故①错误；对于②，在如图1所示的三棱锥P－ABC中，PB⊥面ABC，BA⊥BC，满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故②错误；对于③，在如图2所示的三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝AC＝PA＝2，PB＝PC＝3，满足底面ABC是等边三角形，侧面都是等腰三角形，但三棱锥P－ABC不是正三棱锥，故③错误；对于④，直线a，b分别在平面α，β内，且a⊥b，则α，β可以平行，故④错误．所以正确命题的个数为0.选A.

答案：A

二、填空题

7．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．

①P∈a，P∈α⇒a⊂α；

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.

解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，

但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；

如图∵a∥b，P∈b，

∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，

又a∥b，由a与b确定唯一平面γ，

但γ经过直线a与点P，

∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．

答案：③④

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．

解析：B1C与AD1异面，连接B1C，BC1(图略)，则BC1∥AD1，且BC1⊥B1C，所以AD1与B1C所成的角为90°.

答案：1

9.

如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(写出所有正确结论的序号)．

解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面B1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．

答案：③④

三、解答题

10．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．

(1)在图中画出这个正方体(不必说明画法和理由)；

(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

解析：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．

(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.

因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.

于是MH＝＝6，AH＝10，HB＝6.

故S四边形A1EHA＝×(4＋10)×8＝56，

S四边形EB1BH＝×(12＋6)×8＝72.

因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，

所以其体积的比值为(也正确)．

11．如图，已知不共面的三条直线a，b，c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．

证明：假设AD和BC共面，所确定的平面为α，那么点P，A，B，C，D都在平面α内，

∴直线a，b，c都在平面α内，与已知条件a，b，c不共面矛盾，假设不成立．

∴AD和BC是异面直线．

12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，

易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．

∵AB1＝AC＝B1C，

∴∠B1CA＝60°.

即A1D与AC所成的角为60°.

(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

AC⊥BD，AC∥A1C1，

∵E，F分别为AB，AD的中点，

∴EF∥BD，∴EF⊥AC.

∴EF⊥A1C1.

即A1C1与EF所成的角为90°.