课时作业(四十四) 直线、平面垂直的判定和性质 练习
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一、选择题
1．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.
答案：C
2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为( )
A．a⊥b，且a与b相交 B．a⊥b，且a与b不相交
C．a⊥b D．a与b不一定垂直
解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，
∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，
∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．
答案：C
3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：
①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；
②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；
④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.
其中为真命题的是( )
A．①② B．②③
C．②④ D．①④
解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AC.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.
答案：D
4．(2017·福建宁德二模，6)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析：对于A，条件为m∥α，n∥β且α∥β，其对m、n之间的位置关系没有限制，即该位置关系可以是平行、相交或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，知m与n一定不平行(否则有α∥β，与α⊥β矛盾)，不妨令m与n相交(若其不相交，可通过平移使得相交)，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角的平面角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确；对于C，α与β可以平行，故C不正确；对于D，少了条件m与n相交，所以D不成立．故选B.
答案：B
5．(2017·贵阳二模)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
解析：
如图，∵D、F分别为AB、CA的中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．
∵四面体P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥DF.又E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．∵PO⊂平面PAE，PO⊥平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.
答案：C
6．在直角梯形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠BCD＝45°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则下列命题正确的是( )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：∵AB＝AD，∠BCD＝45°，∴BD⊥CD；∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.
答案：D
二、填空题
7．(2017·青岛一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)
8.
(2017·山东菏泽一模，13)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：
①AB与DE所在角的正切值是；②AB∥CE；③VB－ACE＝a3；④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的有________．(填写你认为正确的序号)
解析：作出折叠后的几何体直观图如图所示：
∵AB＝BC＝a，BE＝a，∴AE＝a.
∴AD＝＝a.∴AC＝＝a.在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.
∴sin∠ABC＝＝.
∴tan∠ABC＝＝.
∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB.故②错误．VB－ACE＝VA－BCE＝S△BCE·AD＝××a2×a＝，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，故④正确．
答案：①③④
9．(2017·河北五个一名校联考，15)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．
解析：
分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO且与平面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋.
答案：2＋
三、解答题
10.
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，
∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.
11．如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；
(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．
解析：(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，
AB⊥平面ADE，
因为AD⊂平面ADE，
所以AB⊥AD，又AD⊥AF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABFE.
(2)由题意得P到平面ABF的距离d＝1，
所以VP－ABF＝S△ABFd＝××2×2×1＝，
所以VP－ABCD＝S正方形ABCDh＝×2×2h＝4VP－ABF＝，所以h＝2.
12．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.
(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；
(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；
(3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°.
解析：(1)证明：因为平面ABCD⊥平在ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
所以CB⊥平面ABEF.
因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB，
又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF，
所以AF⊥平面CBF.因为AF⊂平面ADF，所以平面DAF⊥平面CBF.
(2)根据(1)的证明，有AF⊥平面CBF，
所以FB为AB在平面CBF上的射影，
所以∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角，
因为AB∥EF，所以四边形ABEF为等腰梯形，
过点F作FH⊥AB，交AB于H.
已知AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.
在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH·AB，得AF＝1.sin∠ABF＝＝，所以∠ABF＝30°.
所以直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.
(3)过A作AG⊥EF于G，连线DG，则∠AGD是二面角D－FE－B的平面角．所以∠AGD＝60°.
由AG⊥EF和AB∥EF知，AG⊥AB.所以∠FAG＝∠ABF＝30°.
在Rt△AFG中，AF＝1，则AG＝AFcos30°＝.
在Rt△AGD中，AG＝，则AD＝AGtan60°＝·＝.
因此，当AD的长为时，二面角D－FE－B的大小为60°.
