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高中物理鲁科版 (2019)必修 第三册第4章 闭合电路欧姆定律与科学用电本章综合与测试学案
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这是一份高中物理鲁科版 (2019)必修 第三册第4章 闭合电路欧姆定律与科学用电本章综合与测试学案，共9页。
[巩固层·知识整合]
(教师用书独具)
[提升层·能力强化]
1.引起电路特性发生变化的三种情况
(1)滑动变阻器滑片位置的改变，使电路的电阻发生变化。
(2)开关的闭合、断开或换向(双掷开关)使电路结构发生变化。
(3)非理想电表的接入使电路的结构发生变化。
2．动态分析的常见思路
由部分电路电阻变化推断外电路总电阻R外的变化，再由闭合电路的欧姆定律I总＝eq \f(E,R外＋r)讨论干路电流I总的变化，最后再根据具体情况分别确定各元件上其他量的变化情况。
3．常用三种分析方法
(1)程序法：“部分→整体→部分”
①由局部电阻变化判断总电阻的变化。
②由I＝eq \f(E,R＋r)判断总电流的变化。
③根据U＝E－Ir，判断路端电压的变化。
④由欧姆定律及串、并联电路的规律判断各部分电路电压及电流的变化。
以上分析可形象表示为
R局eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))→R总eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))→I总eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(减小,增大))→U外eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(I局,U局))
(2)结论法——“并同串反”
“并同”是指：某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大；某一电阻减小时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小。
“串反”是指：某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小；某一电阻减小时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大。
(3)极值法
对含有可变电阻的电路，当可变电阻的阻值变化而导致电路出现动态变化时，可将可变电阻的阻值推到极端(0或最大)，然后对电路加以分析从而得出正确结论。
【例1】 在如图所示的电路中，当变阻器R3的滑片P向B端移动时( )
A．电压表示数变大，电流表示数变小
B．电压表示数变小，电流表示数变大
C．电压表示数变大，电流表示数变大
D．电压表示数变小，电流表示数变小
思路点拨：(1)滑片P向B端移动，R3接入的阻值变小，则总阻值变小。
(2)利用闭合电路欧姆定律及“并同串反”法。
B [方法一：程序法
基本思路：局部→整体→局部，即从阻值变化的电路入手，由串、并联规律判知R总的变化情况，再由闭合电路欧姆定律判知I总和U外的变化情况，最后再由部分电路欧姆定律确定电路各部分电压和电流的变化情况。
当R3的滑片P向B端移动时，有R3↓→R外↓→R总↓→I总＝eq \f(E,R总)↑→U内＝I总r↑→U外＝(E－U内)↓，即电压表示数减小；I总↑→UR1＝I总R1↑→UR2＝(U外－UR1)↓→IR2＝eq \f(UR2,R2)↓→IR3＝(I总－IR2)↑，即电流表示数变大，故选项B正确。
方法二：“并同串反”法
当变阻器R3的滑片P向B端滑动时，R3的有效电阻减小，因电流表与R3串联，电压表与R3“间接并联”，故由“并同串反”法知电流表的示数增大，电压表的示数减小，故选项B正确。]
[一语通关]
在闭合电路中，任何一个电阻的增大(或减小)，将引起电路总电阻的增大(或减小)，该电阻两端的电压一定会增大(或减小)，通过该电阻的电流一定会减小(或增大)。
电容器是一个储存电能的元件。在直流电路中，当电容器充、放电时，电路里有充、放电电流，一旦电路达到稳定状态，电容器在电路中就相当于一个阻值无限大的元件，在电容器处电路可看作是断路，画等效电路时，可以先把它去掉。
1．分析和计算含有电容器的直流电路的注意点：
(1)电路稳定时：电容器所在支路相当于断路。因此，该支路上无电流通过且与电容器串联的电阻两端无电压，该电阻相当于导线。
(2)当电容器与电阻并联后接入电路时，电容器两端的电压与并联电阻两端的电压相等。
(3)电路中的电流、电压变化时，将会引起电容器的充、放电。如果电容器两端的电压升高，电容器将充电；反之电容器将放电，与电容器串联的电阻的电荷量等于电容器带电荷量的变化。
2．解答含电容器电路问题的一般步骤
(1)应用电路的有关规律分析出电容器两极板间的电压及其变化情况。
(2)根据平行板电容器的相关知识进行分析求解。
【例2】 (多选)如图所示的电路中，电源电动势E＝6 V，内阻r＝1 Ω，电阻R1＝6 Ω，R2＝5 Ω，R3＝3 Ω，电容器的电容C＝2×10－5 F。若将开关S闭合，电路稳定时通过R2的电流为I；断开开关S后，通过R1的电荷量为q。则( )
A．I＝0.75 A B．I＝0.5 A
C．q＝2×10－5 CD．q＝1×10－5 C
AD [开关S闭合时，I＝eq \f(E,r＋R并＋R2)＝0.75 A，选项A正确，B错误；此时UC＝UR并＝1.5 V，QC＝CUC＝3×10－5 C，若将开关断开，则电容器上所带的电荷量通过R1、R3放掉，因I1∶I3＝R3∶R1＝1∶2，根据q＝It可知，通过R1的电荷量q＝eq \f(1,3)QC＝1×10－5 C，选项C错误，D正确。]
[一语通关]
(1)充电或放电完毕，电容器所在电路没有电流流过，稳定时按断路处理。
(2)电容器两端电压等于与其并联支路的电压。
(3)分析电容器要注意以下公式：C＝eq \f(Q,U)、C＝eq \f(εrS,4πkd)、E＝eq \f(U,d)。
测量电源电动势和内电阻的方法有多种，常见方法汇总如下表所示，这些方法所依据的原理均为闭合电路欧姆定律。
【例3】 某探究性学习小组利用如图所示的电路测量电池的电动势和内阻。其中电流表A1的内阻r1＝1.0 kΩ，电阻R1＝9.0 kΩ，为了方便读数和作图，给电池串联一个R0＝3.0 Ω的电阻。
(1)按图示电路进行连接后，发现aa′、bb′和cc′三条导线中，混进了一条内部断开的导线。为了确定哪一条导线内部是断开的，将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b′间电压，读数不为零，再测量a、a′间电压，若读数不为零，则一定是________导线断开；若读数为零，则一定是________导线断开。
(2)排除故障后，该小组顺利完成实验。通过多次改变滑动变阻器滑片位置，得到电流表A1和A2的多组I1、I2数据，作出图像如图所示。由I1I2图像得到电池的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。
[解析] (1)测a、b′间电压，读数不为零，说明cc′没有断开，若测a、a′间电压，读数不为零，说明bb′没有断开，所以aa′断开，若测a、a′间电压，读数为0，说明aa′没有断开，是bb′断开。
(2)根据闭合电路的欧姆定律得E＝I1(R1＋r1)＋(I1＋I2)(R0＋r)，因为I1≪I2，上式可简化为E＝I1(R1＋r1)＋I2(R0＋r)，读出两点坐标：(60 mA,0.12 mA)和(260 mA,0.05 mA)，代入方程解得电动势E＝1.41 V，内阻r＝0.5 Ω。
[答案] (1)aa′ bb′ (2)1.41(1.36～1.44均可)
0．5(0.4～0.6均可)
[一语通关]
(1)测量电源电动势和内阻的理论依据是闭合电路欧姆定律
(2)用图像法处理数据更准确，误差小
(3)有图像时要根据纵坐标和横坐标画出直线方程(因为多数图线都是直线)找斜率、找截距。
[培养层·素养升华]
(教师用书独具)
为测定某旧干电池的电动势和内阻，实验室提供了如下器材：
A．旧干电池一节；
B．电压表(视为理想电压表，量程为0～3 V)；
C．电阻箱R(0～999.9 Ω)；
D．定值电阻R0＝10 Ω；
E．多用电表；
F．开关、导线若干。
1．实验创新的思路
(1)改变测量电路电流的方法。
(2)改变测量路端电压的方法。
2．实验步骤
(1)闭合开关，读出电压表的示数U1和电阻箱的示数R1。
(2)改变电阻箱的阻值，多次测量，分别读出电阻箱的阻值R2、R3、R4……。电压表的示数U2、U3、U4……
(3)计算出电路中电流的示数eq \f(U1,R0)，eq \f(U2,R0)，eq \f(U3,R0)，
(4)利用闭合电路的欧姆定律列方程E＝________
(5)将旧干电池接入如图甲所示的电路，规范操作得到如图乙所示的图像。该同学所描绘的图像中，横坐标表示的是________。
甲 乙
A．R B.eq \f(1,R) C.eq \f(1,R＋R0)
(6)按照(5)中所选的横坐标，已知图像的斜率为k，纵截距为b，则旧干电池的电动势E＝________，内阻r＝________(用k、b、R0表示)
提示：(5)U＝IR0＝eq \f(E,R0＋R＋r)R0，变形得：eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)＋eq \f(R,ER0)，故应作出eq \f(1,U)－R图像；
(6)根据题图乙可知，b＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)，k＝eq \f(1,ER0)，解得：E＝eq \f(1,kR0)，r＝eq \f(b,k)－R0。
[答案] (4)eq \f(U,R0)(r＋R0＋R)
(5)A (6)eq \f(1,kR0) eq \f(b,k)－R0
[深度思考]
为了测量由两节干电池组成的电源的电动势和内电阻，某同学设计了如图甲所示的实验电路，其中R为电阻箱，R0＝5 Ω为保护电阻
(1)按照图甲所示的电路图，将图乙所示的实物连接成实验电路。
(2)保持开关S断开，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R。以eq \f(1,U)为纵轴，以eq \f(1,R)为横轴，画出eq \f(1,U)－eq \f(1,R)的关系图线(该图线为一倾斜的直线)，如图12348丙所示。由图线可求得电池组的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。(保留两位有效数字)
[解析] (1)实验连接图如答图所示；(2)由闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \f(U,R)(R0＋r)，变形得eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(R0＋r,E)·eq \f(1,R)，结合题图丙eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像可知eq \f(1,E)＝0.35 V－1，eq \f(R0＋r,E)＝eq \f(1.42－0.35,0.50)Ω·V－1＝2.14 Ω·V－1，得E＝2.9 V，r＝1.1 Ω。
[答案] (1)如图所示 (2)2.9 1.1
[素养点评] 电学实验是高考热点，而测量电源电动势和内阻更是重点考查，特别是创新实验考查更频繁。基本办法都是根据闭合电路欧姆定律来设计的，有很多都是用图像来解决，一定要列出对应的方程，找出相关量，这也是一个难点，多加强训练，就能提高解题能力，提升实验设计的素养。闭合电路的动态分析问题
含电容器电路的分析与计算
测量电源电动势和内阻的方法
主要
仪器
原理
电路图
误差
来源
测量
结果
电流
表、电
阻箱
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))
电流表
分压
电动势无
偏差，内
电阻偏大
一只电
压表
(粗测)
U＝eq \f(ERV,RV＋r)
(RV≫r，U≈E)
电压表
内电阻
并非无
穷大或
电池有
内电阻
电动势偏
小，不能
测内电阻
两只电
压表
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋U2＋\f(U1,RV1)r,E＝U1′＋\f(U1′,RV1)r))
无
电动势
无偏差，
不能测
内电阻
电压
表、电
流表、
滑动
变阻
器
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋I1r,E＝U2＋I2r))
电压表
分流
电动势和
内电阻均
偏小
电流表
分压
电动势无
偏差，内
电阻偏大
电压
表、电
阻箱
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))
电压表
分流
电动势和
内电阻均
偏小
[巩固层·知识整合]
(教师用书独具)
[提升层·能力强化]
1.引起电路特性发生变化的三种情况
(1)滑动变阻器滑片位置的改变，使电路的电阻发生变化。
(2)开关的闭合、断开或换向(双掷开关)使电路结构发生变化。
(3)非理想电表的接入使电路的结构发生变化。
2．动态分析的常见思路
由部分电路电阻变化推断外电路总电阻R外的变化，再由闭合电路的欧姆定律I总＝eq \f(E,R外＋r)讨论干路电流I总的变化，最后再根据具体情况分别确定各元件上其他量的变化情况。
3．常用三种分析方法
(1)程序法：“部分→整体→部分”
①由局部电阻变化判断总电阻的变化。
②由I＝eq \f(E,R＋r)判断总电流的变化。
③根据U＝E－Ir，判断路端电压的变化。
④由欧姆定律及串、并联电路的规律判断各部分电路电压及电流的变化。
以上分析可形象表示为
R局eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))→R总eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))→I总eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(减小,增大))→U外eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(增大,减小))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(I局,U局))
(2)结论法——“并同串反”
“并同”是指：某一电阻增大时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大；某一电阻减小时，与它并联或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小。
“串反”是指：某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小；某一电阻减小时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大。
(3)极值法
对含有可变电阻的电路，当可变电阻的阻值变化而导致电路出现动态变化时，可将可变电阻的阻值推到极端(0或最大)，然后对电路加以分析从而得出正确结论。
【例1】 在如图所示的电路中，当变阻器R3的滑片P向B端移动时( )
A．电压表示数变大，电流表示数变小
B．电压表示数变小，电流表示数变大
C．电压表示数变大，电流表示数变大
D．电压表示数变小，电流表示数变小
思路点拨：(1)滑片P向B端移动，R3接入的阻值变小，则总阻值变小。
(2)利用闭合电路欧姆定律及“并同串反”法。
B [方法一：程序法
基本思路：局部→整体→局部，即从阻值变化的电路入手，由串、并联规律判知R总的变化情况，再由闭合电路欧姆定律判知I总和U外的变化情况，最后再由部分电路欧姆定律确定电路各部分电压和电流的变化情况。
当R3的滑片P向B端移动时，有R3↓→R外↓→R总↓→I总＝eq \f(E,R总)↑→U内＝I总r↑→U外＝(E－U内)↓，即电压表示数减小；I总↑→UR1＝I总R1↑→UR2＝(U外－UR1)↓→IR2＝eq \f(UR2,R2)↓→IR3＝(I总－IR2)↑，即电流表示数变大，故选项B正确。
方法二：“并同串反”法
当变阻器R3的滑片P向B端滑动时，R3的有效电阻减小，因电流表与R3串联，电压表与R3“间接并联”，故由“并同串反”法知电流表的示数增大，电压表的示数减小，故选项B正确。]
[一语通关]
在闭合电路中，任何一个电阻的增大(或减小)，将引起电路总电阻的增大(或减小)，该电阻两端的电压一定会增大(或减小)，通过该电阻的电流一定会减小(或增大)。
电容器是一个储存电能的元件。在直流电路中，当电容器充、放电时，电路里有充、放电电流，一旦电路达到稳定状态，电容器在电路中就相当于一个阻值无限大的元件，在电容器处电路可看作是断路，画等效电路时，可以先把它去掉。
1．分析和计算含有电容器的直流电路的注意点：
(1)电路稳定时：电容器所在支路相当于断路。因此，该支路上无电流通过且与电容器串联的电阻两端无电压，该电阻相当于导线。
(2)当电容器与电阻并联后接入电路时，电容器两端的电压与并联电阻两端的电压相等。
(3)电路中的电流、电压变化时，将会引起电容器的充、放电。如果电容器两端的电压升高，电容器将充电；反之电容器将放电，与电容器串联的电阻的电荷量等于电容器带电荷量的变化。
2．解答含电容器电路问题的一般步骤
(1)应用电路的有关规律分析出电容器两极板间的电压及其变化情况。
(2)根据平行板电容器的相关知识进行分析求解。
【例2】 (多选)如图所示的电路中，电源电动势E＝6 V，内阻r＝1 Ω，电阻R1＝6 Ω，R2＝5 Ω，R3＝3 Ω，电容器的电容C＝2×10－5 F。若将开关S闭合，电路稳定时通过R2的电流为I；断开开关S后，通过R1的电荷量为q。则( )
A．I＝0.75 A B．I＝0.5 A
C．q＝2×10－5 CD．q＝1×10－5 C
AD [开关S闭合时，I＝eq \f(E,r＋R并＋R2)＝0.75 A，选项A正确，B错误；此时UC＝UR并＝1.5 V，QC＝CUC＝3×10－5 C，若将开关断开，则电容器上所带的电荷量通过R1、R3放掉，因I1∶I3＝R3∶R1＝1∶2，根据q＝It可知，通过R1的电荷量q＝eq \f(1,3)QC＝1×10－5 C，选项C错误，D正确。]
[一语通关]
(1)充电或放电完毕，电容器所在电路没有电流流过，稳定时按断路处理。
(2)电容器两端电压等于与其并联支路的电压。
(3)分析电容器要注意以下公式：C＝eq \f(Q,U)、C＝eq \f(εrS,4πkd)、E＝eq \f(U,d)。
测量电源电动势和内电阻的方法有多种，常见方法汇总如下表所示，这些方法所依据的原理均为闭合电路欧姆定律。
【例3】 某探究性学习小组利用如图所示的电路测量电池的电动势和内阻。其中电流表A1的内阻r1＝1.0 kΩ，电阻R1＝9.0 kΩ，为了方便读数和作图，给电池串联一个R0＝3.0 Ω的电阻。
(1)按图示电路进行连接后，发现aa′、bb′和cc′三条导线中，混进了一条内部断开的导线。为了确定哪一条导线内部是断开的，将开关S闭合，用多用电表的电压挡先测量a、b′间电压，读数不为零，再测量a、a′间电压，若读数不为零，则一定是________导线断开；若读数为零，则一定是________导线断开。
(2)排除故障后，该小组顺利完成实验。通过多次改变滑动变阻器滑片位置，得到电流表A1和A2的多组I1、I2数据，作出图像如图所示。由I1I2图像得到电池的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。
[解析] (1)测a、b′间电压，读数不为零，说明cc′没有断开，若测a、a′间电压，读数不为零，说明bb′没有断开，所以aa′断开，若测a、a′间电压，读数为0，说明aa′没有断开，是bb′断开。
(2)根据闭合电路的欧姆定律得E＝I1(R1＋r1)＋(I1＋I2)(R0＋r)，因为I1≪I2，上式可简化为E＝I1(R1＋r1)＋I2(R0＋r)，读出两点坐标：(60 mA,0.12 mA)和(260 mA,0.05 mA)，代入方程解得电动势E＝1.41 V，内阻r＝0.5 Ω。
[答案] (1)aa′ bb′ (2)1.41(1.36～1.44均可)
0．5(0.4～0.6均可)
[一语通关]
(1)测量电源电动势和内阻的理论依据是闭合电路欧姆定律
(2)用图像法处理数据更准确，误差小
(3)有图像时要根据纵坐标和横坐标画出直线方程(因为多数图线都是直线)找斜率、找截距。
[培养层·素养升华]
(教师用书独具)
为测定某旧干电池的电动势和内阻，实验室提供了如下器材：
A．旧干电池一节；
B．电压表(视为理想电压表，量程为0～3 V)；
C．电阻箱R(0～999.9 Ω)；
D．定值电阻R0＝10 Ω；
E．多用电表；
F．开关、导线若干。
1．实验创新的思路
(1)改变测量电路电流的方法。
(2)改变测量路端电压的方法。
2．实验步骤
(1)闭合开关，读出电压表的示数U1和电阻箱的示数R1。
(2)改变电阻箱的阻值，多次测量，分别读出电阻箱的阻值R2、R3、R4……。电压表的示数U2、U3、U4……
(3)计算出电路中电流的示数eq \f(U1,R0)，eq \f(U2,R0)，eq \f(U3,R0)，
(4)利用闭合电路的欧姆定律列方程E＝________
(5)将旧干电池接入如图甲所示的电路，规范操作得到如图乙所示的图像。该同学所描绘的图像中，横坐标表示的是________。
甲 乙
A．R B.eq \f(1,R) C.eq \f(1,R＋R0)
(6)按照(5)中所选的横坐标，已知图像的斜率为k，纵截距为b，则旧干电池的电动势E＝________，内阻r＝________(用k、b、R0表示)
提示：(5)U＝IR0＝eq \f(E,R0＋R＋r)R0，变形得：eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)＋eq \f(R,ER0)，故应作出eq \f(1,U)－R图像；
(6)根据题图乙可知，b＝eq \f(1,E)＋eq \f(r,ER0)，k＝eq \f(1,ER0)，解得：E＝eq \f(1,kR0)，r＝eq \f(b,k)－R0。
[答案] (4)eq \f(U,R0)(r＋R0＋R)
(5)A (6)eq \f(1,kR0) eq \f(b,k)－R0
[深度思考]
为了测量由两节干电池组成的电源的电动势和内电阻，某同学设计了如图甲所示的实验电路，其中R为电阻箱，R0＝5 Ω为保护电阻
(1)按照图甲所示的电路图，将图乙所示的实物连接成实验电路。
(2)保持开关S断开，调整电阻箱的阻值，再闭合开关S，读取并记录电压表的示数及电阻箱接入电路中的阻值。多次重复上述操作，可得到多组电压值U及电阻值R。以eq \f(1,U)为纵轴，以eq \f(1,R)为横轴，画出eq \f(1,U)－eq \f(1,R)的关系图线(该图线为一倾斜的直线)，如图12348丙所示。由图线可求得电池组的电动势E＝________V，内阻r＝________Ω。(保留两位有效数字)
[解析] (1)实验连接图如答图所示；(2)由闭合电路欧姆定律得E＝U＋eq \f(U,R)(R0＋r)，变形得eq \f(1,U)＝eq \f(1,E)＋eq \f(R0＋r,E)·eq \f(1,R)，结合题图丙eq \f(1,U)－eq \f(1,R)图像可知eq \f(1,E)＝0.35 V－1，eq \f(R0＋r,E)＝eq \f(1.42－0.35,0.50)Ω·V－1＝2.14 Ω·V－1，得E＝2.9 V，r＝1.1 Ω。
[答案] (1)如图所示 (2)2.9 1.1
[素养点评] 电学实验是高考热点，而测量电源电动势和内阻更是重点考查，特别是创新实验考查更频繁。基本办法都是根据闭合电路欧姆定律来设计的，有很多都是用图像来解决，一定要列出对应的方程，找出相关量，这也是一个难点，多加强训练，就能提高解题能力，提升实验设计的素养。闭合电路的动态分析问题
含电容器电路的分析与计算
测量电源电动势和内阻的方法
主要
仪器
原理
电路图
误差
来源
测量
结果
电流
表、电
阻箱
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝I1R1＋I1r,E＝I2R2＋I2r))
电流表
分压
电动势无
偏差，内
电阻偏大
一只电
压表
(粗测)
U＝eq \f(ERV,RV＋r)
(RV≫r，U≈E)
电压表
内电阻
并非无
穷大或
电池有
内电阻
电动势偏
小，不能
测内电阻
两只电
压表
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋U2＋\f(U1,RV1)r,E＝U1′＋\f(U1′,RV1)r))
无
电动势
无偏差，
不能测
内电阻
电压
表、电
流表、
滑动
变阻
器
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋I1r,E＝U2＋I2r))
电压表
分流
电动势和
内电阻均
偏小
电流表
分压
电动势无
偏差，内
电阻偏大
电压
表、电
阻箱
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(E＝U1＋\f(U1,R1)r,E＝U2＋\f(U2,R2)r))
电压表
分流
电动势和
内电阻均
偏小
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