北京市延庆区2021届高三上学期统测（9月）考试 数学（含答案）

2020-2021学年第一学期高三年级统测试卷

                 数学             2020.09

 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回.

  第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知集合A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则AB=

 （A）     （B）    （C）（D）{–2，2}

（2）已知向量，，若与方向相反，则等于

（A）     （B）    （C）     （D）

（3）圆上一点到原点的距离的最大值为

（A）4           （B）5           （C）6         （D）7

（4）下列函数中，在其定义域上是减函数的是

（A）   （B）   （C）   （D）

（5）若为第三象限角，则

（A） （B）   （C）（D）

（6）设抛物线的焦点为，准线为．是抛物线上的一点，过作轴于，若，则线段的长为                                                                        

（A）    （B）      （C）  （D）

（7）已知函数，则不等式的解集是

（A）   （B） （C）     （D）

（8）已知直线，平面，，那么“”是“”的

（A）充分不必要条件               （B）必要不充分条件 

（C）充分必要条件                 （D）既不充分也不必要条件

（9）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线

与轴正半轴所成的最小正角为，则等于

（A）  （B）      （C）        （D）

（10）某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）

（A） 年    （B）年        （C）年   （D）年

第二部分（非选择题，共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

（11）已知复数是负实数，则实数的值为           ．

（12）已知正方形的边长为2，点P满足，则____．

（13）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前项的和为           ．

（14）将函数y=的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，给出下列四个结论：

①；       ②在上单调递增；

③在上有两个零点；

④的图象中与y轴最近的对称轴的方程是.

其中所有正确结论的序号是____________________．

（15）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为4，则的焦距的最小值为              ．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

（16）（本小题14分）

    A，B，C三个班共有180名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如下表（单位：小时）：

（Ⅰ）试估计B班的学生人数；

（Ⅱ）从这180名学生中任选1名学生，估计这名学生一周上网时长超过15小时的概

率;

（Ⅲ）从A班抽出的6名学生中随机选取2人，从C班抽出的7名学生中随机选取1人，求这3人中恰有2人一周上网时长超过15小时的概率.

（17）（本小题14分）

如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱

的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：//平面；

（Ⅲ）求二面角的余弦值．

（18）（本小题14分）

设是公比不为1的等比数列，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（Ⅰ）求的公比；

（Ⅱ）求数列的前项和．

条件①：为，的等差中项；条件②：设数列的前项和为，.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

（19）（本小题14分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.

（Ⅰ）若，，求的面积；

（Ⅱ）若，求角C.

（20）（本小题14分）

已知椭圆C：过点A（-2，0）, 点B为其上顶点，且直线AB斜率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积.

（21）（本小题15分）

    已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；

（Ⅱ）当，时，求函数的最大值；

（Ⅲ）当，时，判断函数的零点个数，并说明理由.

延庆区2020-2021学年度高三数学统测试卷评分参考

一、选择题: （每小题4分，共10小题，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. A   2.C   3.C    4.D    5. C   6.C   7.D    8. A    9. D  10. C 

二、填空题: （每小题5分，共5小题，共25分）

11．1；      12. 3；  13．；    14①③；     15．

14题选对一个给3分，有错误不给分

三、解答题：（共6小题，共85分. 解答应写出文字说明、演算步骤.）

16. （Ⅰ）由题意知，抽出的20名学生中，来自班的学生有名．根据分层抽样

方法，班的学生人数估计为人.              …………3分

只有结果63扣1分

（Ⅱ）设从选出的20名学生中任选1人，共有20种选法，…………4分

设此人一周上网时长超过15小时为事件D,

其中D包含的选法有3+3+4=10种，                     …………6分

.                                   …………7分

由此估计从180名学生中任选1名，该生一周上网时长超过15小时的

概率为.                                        ……………8分

只有结果而无必要的文字说明和运算步骤，扣2分.

（Ⅲ）从A班的6人中随机选2人，有种选法，从C班的7人中随机选1人，有种选法，

故选法总数为：种              ……………10分

设事件“此3人中恰有2人一周上网时长超过15小时”为，

则中包含以下情况：

（1）从A班选出的2人超15小时，而C班选出的1人不超15小时，

（2）从A班选出的2人中恰有1人超15小时，而C班选出的1人

超15小时，                                     ……………11分

所以.           ……………14分

只有，而无文字说明，扣1分

17.解：

（Ⅰ）  因为平面 所以                 …………1分

因为所以，              …………2分

因为 平面，所以，          …………3分

即

（Ⅱ）  设的中点为，连接，则//，       …………4分

 连接，因为//且=，                               

所以是平行四边形，                         …………5分

所以 //，                                 …………6分

所以平面//平面                        …………7分

所以//平面                             …………8分

（Ⅲ）以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），                    …………9分

可得、、、、.依题意，是平面的一个法向量，                    …………10分

，．

设为平面的法向量，

则，即，                            …………11分

不妨设，可得．                           …………12分

，                   …………13分

因为二面角的平面角是钝角,                     …………14分

所以，二面角的余弦值为.

结果为扣一分

18. 解：选① （Ⅰ）因为为的等差中项，

所以                               …………2分

所以 ，                        …………3分

因为                                    …………4分

所以

所以，（舍）                       …………6分     

  不能只看结果；没有扣一分，没舍扣一分

选② （Ⅰ）因为，所以，…2分

     因为，所以，所以  …………6分                           

（Ⅱ）设数列的前项和为，因为数列是以为首项，

为公差的等差数列，                              …………8分

等比数列的首项，               …………9分

所以                   …………13分

                         …………14分

没有证明或指明等差数列扣2分。

19.解：

（Ⅰ）在中，因为，所以，…1分

所以，                                               …………2分

由余弦定理可得，          …………3分

                                               …………4分

所以的面积为；       …………6分

（Ⅱ）在中，因为，                        …………7分

，                          …………8分

，……10分

，                       …………12分

                                   .…………14分

直接写扣一分，无角C范围叙述的扣2分

20.解：

（Ⅰ）由题意: 设直线：，.              …………1分

令，则，于是，.                       …………2分

所以，.                                       …………4分

椭圆方程为. .                                    …………5分

（Ⅱ）设，且，      ……………6分

又，所以直线，       ……………7分

令，                                   ……………8分

则，     ……………9分

直线，令，       ……………10分

则，        ……………11分

所以四边形的面积为              ……………12分

，                ……………14分

所以四边形的面积为.

结果不对最后2分全扣

21.解：

（Ⅰ）当时，函数，，……………1分

，       ……………2分

切线的斜率，                            ……………3分

曲线在原点处的切线方程为               ……………4分

（Ⅱ），……5分

令，

则，    ……6分

当，时，，所以在上单调递增，……7分

所以，即，仅在处，其余各处，

所以在上单调递增，                                ……8分

所以当时，的最大值为.           ……………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

因为，当时，，仅在处，其余各处，

所以在上单调递减，                            ……………10分

因为，                     ……………11分

所以存在唯一，使得，

即在上有且只有一个零点，                      ……………12分

因为，………13分

所以是偶函数，其图像关于轴对称，

所以在上有且只有一个零点，                             ……14分

所以在上有2个零点.                         ……………15分