2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第7讲解三角形的应用举例学案含解析北师大版

第7讲　解三角形的应用举例

基础知识整合

1．仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角

从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角．如B点方位角为α(如图②)．

3．方向角

相对于某一正方向的水平角，即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向，方向角小于90°)．如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向、东北方向等．

(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；

(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；

(3)南偏西等其他方向角类似．

4.坡角与坡度

(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角(如图④，角θ为坡角)．

(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．

2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10°   B．北偏西10°

C．南偏东10°   D．南偏西10°

答案　B

解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.

2．(2019·厦门模拟)如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于(　　)

A．10 m   B．5 m

C．5(－1) m   D．5(＋1) m

答案　D

解析　在直角三角形中，根据三角函数的定义得－＝10，解得AB＝5(＋1)(m)．故选D.

3．(2019·武汉模拟)海面上有A，B，C三个灯塔，AB＝10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC＝(　　)

A．10 n mile   B． n mile

C．5 n mile   D．5 n mile

答案　D

解析　由题意可知，∠CAB＝60°，∠CBA＝75°，所以∠C＝45°，由正弦定理，得＝，所以BC＝5 n mile.

4．(2020·安徽安庆期末质量监测)某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距a km，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为(　　)

A．a km   B．a km 

C.a km   D．2a km

答案　C

解析　如图所示，依题意知CA＝CB＝a km，

∠ACB＝50°＋70°＝120°，∠A＝∠B＝30°，

由正弦定理，得＝，则

AB＝＝a(km)，即门店A，B间的距离为a km.故选C.

5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.

答案　50

解析　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h m，AB＝100 m，BC＝h m，

根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50(m)，故水柱的高度是50 m.

核心考向突破

考向一　测量距离问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　(2019·江西赣州模拟)如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为(　　)

A．20 海里   B．40 海里

C．20(1＋) 海里   D．40 海里

答案　A

解析　由题意可知，∠BDC＝90°－45°＝45°，

又∠BCD＝90°，∴BC＝CD＝40(海里)．

在△ADC中，∠ADC＝105°，∠ACD＝90°－60°＝30°，

∴∠DAC＝45°，

由正弦定理可得AC＝＝20(＋1)(海里)．

在△ABC中，由余弦定理，得

AB＝＝20(海里)．故选A.

距离问题的解题思路

这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．

[即时训练]　1.(2019·福建宁德第二次(5月)质量检查)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________米．

答案　80

解析　∵在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，

∴∠DAC＝15°.由正弦定理，得

AC＝＝＝40(＋)(米)，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，

∴BC＝＝＝160sin15°

＝40(－)(米)，在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB

＝1600(8＋4)＋1600＋2×1600(＋)×(－)×＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80(米)，则A，B两点间的距离为80米．

考向二　测量高度问题

例2　为了测量某新建的信号发射塔AB的高度，先取与发射塔底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BDC＝60°，∠BCD＝75°，CD＝40 m，并在点C的正上方E处观测发射塔顶部A的仰角为30°，且CE＝1 m，则发射塔高AB＝(　　)

A．(20＋1) m   B．(20＋1) m

C．20 m   D．(40＋1) m

答案　A

解析　如图，过点E作EF⊥AB，垂足为F，则EF＝BC，BF＝CE＝1 m，∠AEF＝30°.

在△BCD中，由正弦定理得，

BC＝＝

＝20(m)．

所以EF＝20 m，在Rt△AFE中，AF＝EF·tan∠AEF＝20×＝20(m)，所以AB＝AF＋BF＝20＋1(m)．故选A.

处理高度问题的注意事项

(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

[即时训练]　2.(2019·湖北宜昌模拟)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

答案　100

解析　依题意有AB＝600 m，∠CAB＝30°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠DBC＝30°，DC⊥CB.

∴∠ACB＝45°，

在△ABC中，由＝，

得＝，解得CB＝300(m)，

在Rt△BCD中，CD＝CB·tan30°＝100(m)．

则此山的高度CD＝100 m.

考向三　测量角度问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　(2019·沈阳模拟)如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．

解　在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20(海里)．

由正弦定理，得＝

⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.

由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，

则cos∠ACB＝.

由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.

解决测量角度问题的注意事项

(1)首先应明确方位角或方向角的含义．

 (2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．

 (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．

[即时训练]　3．(2020·商丘模拟)如图所示，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°(∠BAC＝15°)的方向，匀速向北航行20分钟后到达B处，测得山顶P位于北偏东60°的方向，此时测得山顶P的仰角为60°，已知山高为2千米．

(1)船的航行速度是每小时多少千米？

(2)若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处南偏东多少度的方向？

解　(1)在△BCP中，

由tan∠PBC＝，得BC＝＝2，

在△ABC中，由正弦定理，得

＝，即＝，

所以AB＝2(＋1)，

故船的航行速度是每小时6(＋1)千米．

(2)在△BCD中，BD＝＋1，BC＝2，∠CBD＝60°，

则由余弦定理，得CD＝，

在△BCD中，

由正弦定理，得＝，

即＝，

所以sin∠CDB＝，

所以山顶位于D处南偏东45°的方向．

(2019·永州模拟)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

解　(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则

s＝

＝

＝.

故当t＝时，smin＝10，v＝＝30.

即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B处相遇．

则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，

故v2＝900－＋.∵0<v≤30，

∴900－＋≤900，即－≤0，解得t≥.

又t＝时，v＝30，

故v＝30时，t取得最小值，且最小值为.

此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里．

故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．

答题启示

解三角形在实际中的应用问题有很多是求距离最短、用时最少、速度最大等最值问题，这需要建立有关量的函数关系式，通过求函数最值的方法来解决．函数思想在解三角形实际问题中的应用，经常与正弦定理、余弦定理相结合，此类问题综合性较强，能力要求较高，要有一定的分析问题、解决问题的能力．

对点训练

(2019·郑州摸底)如图所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50 km/h的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车的行驶方向)．汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5 km，距离公路线的垂直距离为3 km的M点，有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问摩托车至少以多大的速度匀速行驶才能追上汽车，并求追上汽车时摩托车行驶了多少公里？

解　作MI垂直公路所在的直线于点I，则MI＝3 km，

∵OM＝5 km，∴OI＝4 km，∴cos∠MOI＝.

设摩托车的速度为v km/h，追上汽车的时间为t h，

由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，

v2＝－＋2500＝252＋900≥900，

∴当t＝时，v的最小值为30，vt＝＝ km.

故摩托车至少以30 km/h的速度行驶才能追上汽车，此时摩托车行驶了 km.