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    2021高考数学一轮复习统考第4章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质学案含解析北师大版

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    第3讲 三角函数的图象与性质

    基础知识整合

    1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

    在正弦函数y=sinxx[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0),

    在余弦函数y=cosxx[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).

    2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

    函数

    y=sinx

    y=cosx

    y=tanx

    图象

    定义域

    xR

    xR

    值域

    [-1,1]

    [-1,1]

    R

    单调性

    (kZ)上递增;

    (kZ)上递减

    [(2k-1)π,2kπ](kZ)上递增;

    [2kπ,(2k+1)π](kZ)上递减

    kπ,(kZ)上递增

    最值

    x+2kπ(kZ)时,ymax=1;

    x+2kπ(kZ)时,ymin=-1

    x2kπ(kZ)时,ymax=1;

    xπ+2kπ(kZ)时,ymin=-1

    无最值

    奇偶性

    对称性

    对称中心

    (kπ,0),kZ

    kZ

    kZ

    对称轴

    直线xkπ+kZ

    直线xkπ,kZ

    无对称轴

    最小正

    周期

    π

     

    1.函数yAsin(ωxφ)和yAcos(ωxφ)的最小正周期T,函数y=tan(ωxφ)的最小正周期T.

    2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.

    3.三角函数中奇函数一般可化为yAsinωxyAtanωx的形式,偶函数一般可化为yAcosωxb的形式.

    4.若f(x)=Asin(ωxφ)(A≠0,ω≠0),则:

    (1)f(x)为偶函数的充要条件是φkπ(kZ);

    (2)f(x)为奇函数的充要条件是φkπ(kZ).

                          

    1.函数y=tan的定义域是(  )

    A.

    B.

    C.

    D.

    答案 D

    解析 y=tan=-tan,由xkπ,kZ,得xkπ+kZ.故选D.

    2.(2019·江西六校联考)下列函数中,最小正周期是π且在区间上是增函数的是(  )

    A.y=sin2x   B.y=sinx

    C.y=tan   D.y=cos2x

    答案 D

    解析 y=sin2x在区间上的单调性是先减后增;y=sinx的最小正周期是T=2π;y=tan的最小正周期是T=2π;y=cos2x满足条件.故选D.

    3.(2018·全国卷)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(  )

    A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3

            

    B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4

     

    C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3

          

    D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4

    答案 B

    解析 根据题意,有f(x)=cos2x,所以函数f(x)的最小正周期为T=π,且最大值为f(x)max=4.故选B.

    4.(2019·长沙模拟)函数y=sinx[-2π,2π]的单调递增区间是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 C

    解析 令zx,函数y=sinz的单调递增区间为(kZ),

    由2kπ-x≤2kπ+(kZ),得4kπ-x≤4kπ+(kZ),又因为x[-2π,2π],

    故其单调递增区间是.故选C.

    5.(2019·衡水中学调研)函数f(x)=sin在区间上的最小值为(  )

    A.-1   B.- 

    C.   D.0

    答案 B

    解析 由已知x,得2x,所以sin,故函数f(x)=sin在区间上的最小值为-.

    6.函数y=3-2cos的最大值为________,此时x=________.

    答案 5 +2kπ(kZ)

    解析 函数y=3-2cos的最大值为3+2=5,此时x=π+2kπ(kZ),即x+2kπ(kZ).

     

    核心考向突破

    考向一 三角函数的定义域 

    例1 (1)(2019·烟台模拟)函数y的定义域为(  )

    A.

    B.(kZ)

    C.(kZ)

    D.R

    答案 C

    解析 由cosx≥0,得cosx2kπ-x≤2kπ+kZ.

    (2)(2019·江苏无锡模拟)函数y=lg sin2x的定义域为________.

    答案 

    解析 由

    -3≤x<-或0<x.函数y=lg sin2x的定义域为.

     

     

    (1)求三角函数的定义域常常归结为解三角不等式(或等式).

     (2)求三角函数的定义域经常借助两个工具,即单位圆中的三角函数线和三角函数的图象,有时也利用数轴.

     (3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集.

     

     

    [即时训练] 1.函数y的定义域为(  )

    A.

    B.(kZ)

    C.(kZ)

    D.(kZ)

    答案 B

    解析 由2sinx-1≥0,得sinx,所以2kπ+x≤2kπ+(kZ).

    2.函数y=lg (sinx-cosx)的定义域是________.

    答案 

    解析 要使函数有意义,必须使sinx-cosx>0.

    解法一:利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sinxy=cosx的图象,如图所示:

    在[0,2π]内,满足sinx=cosxx,在内sinx>cosx,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为.

     

    解法二:利用三角函数线.如图,MN为正弦线OM为余弦线,要使sinx>cosx,只须<x<(在[0,2π]内).

    所以定义域为.

    解法三:sinx-cosxsin>0,由正弦函数y=sinx的图象和性质可知2kπ<x<π+2kπ,kZ,解得+2kπ<x<+2kπ,kZ.

    所以定义域为.

    考向二 三角函数的值域    

    例2 (1)函数f(x)=3sin上的值域为________.

    答案 

    解析 当x时,2x,sin,故3sin函数f(x)在上的值域是.

    (2)设x,函数y=4sin2x-12sinx-1的值域为________.

    答案 [-9,6]

    解析 令t=sinx,由于x,故t,所以y=4t2-12t-1=42-10,因为当t时,函数单调递减,所以当t=-,即x=-时,ymax=6;当t=1,即x时,ymin=-9.

    则函数的值域为[-9,6].

    (3)函数y=sinx-cosx+sinxcosxx[0,π]的最大值与最小值的差为________.

    答案 2

    解析 令t=sinx-cosx,又x[0,π],

    tsint[-1,].

    t=sinx-cosx,得t2=1-2sinxcosx

    即sinxcosx.

    原函数变为ytt[-1,].

    y=-t2t.

    t=1时,ymax=-+1+=1;

    t=-1时,ymin=--1+=-1.

    故函数的最大值与最小值的差为2.

     

    三角函数值域的求法

    (1)利用y=sinxy=cosx的值域直接求.

    (2)把所给的三角函数式变换成yAsin(ωxφ)+b(或yAcos(ωxφ)+b)的形式求值域.

    (3)把sinx或cosx看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域,如yasin2xbsinxc,可先设sinxt,转换为关于t的二次函数求值域.

    (4)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系将原函数转换成二次函数求值域.

     

     

    [即时训练] 3.函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.

    答案 2-

    解析 0≤x≤9,x

    ≤sin≤1,

    故-≤2sin≤2.

    即函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-.函数的最大值与最小值的和为2-.

    4.(2017·全国卷)函数f(x)=sin2xcosx的最大值是________.

    答案 1

    解析 f(x)=1-cos2xcosx

    =-2+1.

    xcosx[0,1],

    当cosx时,f(x)取得最大值,最大值为1.

    精准设计考向,多角度探究突破

    考向三 三角函数的性质

    角度1  三角函数的奇偶性

                          

    例3 (1)已知函数y=2sin是偶函数,则θ的值为(  )

    A.0   B. 

    C.   D.

    答案 B

    解析 因为函数f(x)为偶函数,所以θkπ+(kZ).又θ,所以θ,解得θ,经检验符合题意.故选B.

    (2)(2019·哈尔滨模拟)若函数y=3cos为奇函数,则|φ|的最小值为________.

    答案 

    解析 依题意得,-φkπ+(kZ),φkπ+(kZ),因此|φ|的最小值是.

    角度2  三角函数的对称性   

    例4 (1)(2019·东北三省四市联考)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π,则下列选项正确的是(  )

    A.函数f(x)的图象关于点对称

    B.函数f(x)的图象关于点对称

    C.函数f(x)的图象关于直线x对称

    D.函数f(x)的图象关于直线x=-对称

    答案 B

    解析 设函数f(x)的最小正周期为T,依题意得T=π,ω=2,f(x)=2sin.f=2sin=2≠0,因此函数f(x)的图象不关于点对称,A不正确.f=2sin=0,因此函数f(x)的图象关于点对称,B正确,D不正确.f=2sin=1≠±2,因此函数f(x)的图象不关于直线x对称,C不正确.综上所述,选B.

    (2)(2018·江苏高考)已知函数y=sin(2xφ)的图象关于直线x对称,则φ的值是________.

    答案 -

    解析 函数y=sin(2xφ)的图象关于直线x对称,x时,函数取得最大值或最小值,

    sin=±1.

    φkπ+(kZ),φkπ-(kZ),

    又-<φ<φ=-.

    角度3  三角函数的单调性  

    例5 (1)函数y=2sin(x[0,π])的增区间是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    答案 C

    解析 y=2sin=-2sin,由+2kπ≤2x+2kπ,kZ,解得kπ≤xkπ,kZ,即函数的增区间为kZk=0时,增区间为.

    (2)已知ω>0,函数f(x)=sin上单调递减,则ω的取值范围是(  )

    A.   B.

    C.   D.(0,2)

    答案 A

    解析 由2kπ+ωx≤2kπ+(kZ),

    x(kZ).

    f(x)=sin上单调递减,

    解得

    k=0,得ω.故选A.

     

     

    1三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外,还可以借助其图象的性质,对yAsin(ωxφ),代入x=0,若y=0则为奇函数,若y为最大值或最小值则为偶函数.

    2.求函数yAsin(ωxφ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题

    (1)y=sinx的对称中心是(kπ,0),kZ

    yAsin(ωxφ)的对称中心,由方程ωxφkπ解出x即可.

    (2)y=sinx的对称轴是直线xkπ+kZ

    ωxφkπ+解出x,即可得到函数yAsin(ωxφ)的对称轴.

    (3)注意y=tanx的对称中心为(kZ).

    3.求三角函数单调区间的两种方法

    (1)代换法:将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωxφ)整体当作一个角u(或t),利用基本三角函数(y=sinxy=cosxy=tanx)的单调性列不等式求解.

    (2)图象法:画出三角函数的图象,利用图象求函数的单调区间.

    提醒:要注意求函数yAsin(ωxφ)的单调区间时ω的符号,若ω<0,那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数.同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.

    4.利用单调性确定ω的范围的方法

    对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集,其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系求解,另外,若是选择题,利用特值验证、排除法求解更为简便.

     

     

    [即时训练] 5.(2019·全国卷)下列函数中,以为周期且在区间单调递增的是(  )

    A.f(x)=|cos2x|   B.f(x)=|sin2x|

    C.f(x)=cos|x|   D.f(x)=sin|x|

    答案 A

    解析 作出函数f(x)=|cos2x|的图象,如图.

    由图象可知f(x)=|cos2x|的周期为在区间上单调递增.同理可得f(x)=|sin2x|的周期为在区间上单调递减f(x)=cos|x|的周期为2π.f(x)=sin|x|不是周期函数排除B,C,D.故选A.

    6(2018·全国卷)若f(x)=cosx-sinx在[-aa]是减函数,则a的最大值是(  )

    A.   B. 

    C.   D.π

    答案 A

    解析 f(x)=cosx-sinxcos

    由2kπ≤x≤π+2kπ(kZ)得-+2kπ≤x+2kπ(kZ),因此[-aa].

    a<a,-a≥-a0<a,从而a的最大值为,选A.

    7.若函数f(x)=cos(2xφ)的图象关于点成中心对称,且-<φ<,则函数yf为(  )

    A.奇函数且在内单调递增

    B.偶函数且在内单调递增

    C.偶函数且在内单调递减

    D.奇函数且在内单调递减

    答案 D

    解析 函数f(x)=cos(2xφ)的图象关于点成中心对称,φkπ+(kZ),

    φkπ-.<φ<φ=-

    f(x)=cosf=cos=-sin2x

    f为奇函数.

    由2kπ-≤2x≤2kπ+(kZ),

    解得kπ-xkπ+.令k=0得函数f的一个单调递减区间为函数f内单调递减.

    (2019·龙岩模拟)已知函数f(x)=2asinab的定义域是[0,],值域是[-5,1],求ab的值.

    解 因为0≤x,所以≤2x,,-≤sin≤1.

    所以当a>0时,解得

    a<0时,解得

    因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.

    答题启示

    (1)对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出yAsin(ωxφ)或yAcos(ωxφ)的最值,但要注意对A的正负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值;

    (2)再由已知列方程求解;

    (3)本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论,导致漏解.

    对点训练

    已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是(  )

    答案 D

    解析 a=0时,f(x)=1,即图象C;当0<a<1时,三角函数的最大值为1+a<2,且最小正周期为T>2π,即图象A;当a>1时,三角函数的最大值为a+1 >2,且最小正周期为T<2π,即图象B.

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