（山东专用）2021版高考数学一轮复习练案（34）第五章数列第二讲等差数列及其前n项和（含解析）

 [练案34]第二讲　等差数列及其前n项和A组基础巩固一、单选题1．在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝(　D　)A．12　 B．14　C．16　 D．18[解析]　由a2＝2，a3＝4知d＝＝2.所以a10＝a2＋8d＝2＋8×2＝18.故选D.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a2 018＝1，则S2 020＝(　C　)A．22 020　 B．2 021　C．1 010　 D．21 010[解析]　因为{an}为等差数列，a3＋a2 018＝1，所以a1＋a2 020＝a3＋a2 018＝1，所以S2 020＝＝1 010，故选C.3．已知数列{an}为等差数列，a2＋a3＝1，以a10＋a11＝9，则a5＋a6＝(　A　)A．4　 B．5　C．6　 D．7[解析]　设等差数列{an}的公差为d，因为a2＋a3＝1，a10＋a11＝9，所以2a1＋3d＝1,2a1＋19d＝9，解得a1＝－，d＝，所以a5＋a6＝2a1＋9d＝－2×＋9×＝4.另解：a10＋a11－(a2＋a3)＝16d＝8⇒d＝，所以a5＋a6＝a2＋a3＋6d＝1＋3＝4.故选A.4．(2020·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为(　B　)A．1升　 B．升　C．升　 D．升[解析]　设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得即解得∴a5＝＋4×＝.故选B.5．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　D　)A．d>　　 B．d<C.<d<　　 D．<d≤[解析]　由题意可得即解得<d≤.故选D.6．(2020·辽宁五校联考)已知等差数列{an}的公差为d，且a8＋a9＋a20＝24，则a1d的最大值为(　C　)A．　 B．　C．2　 D．4[解析]　解法一：因为a8＋a9＋a10＝24，所以a1＋7d＋(a1＋8d)＋(a1＋9d)＝24，所以a1＝8－8d，所以a1d＝(8－8d)d＝8(d－d2)＝－8(d－)2＋2，所以当d＝时，a1d取得最大值，最大值为2.故选C.解法二：因为a8＋a9＋a10＝24，所以3a9＝24，所以a1＋8d＝8，所以a1＝8(1－d)，所以a1d＝8(1－d)d＝8(d－d2)＝－8(d－)2＋2，所以当d＝时，a1d取得最大值，最大值为2.故选C.二、多选题7．等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为Sn，下列选项正确的是(　AD　)A．d>0B．a1>0C．当n＝5时Sn最小D．Sn>0时，n最小值为8[解析]　∵a7＝3a5，∴a1＋6d＝3a1＋12d，∴a1＝－3d，由已知得d>0，∴a1<0，故A正确，B不正确．Sn＝n2＋(a1－)n＝n2－dn＝(n2－7n)，当n＝3或4时，Sn最小，故C不正确．Sn>0解得n>7或n<0，因此Sn>0时n最小为8，故D正确，选A、D.8．(2020·皖中名校联考改编)已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，给出以下结论正确的是(　ACD　)A．a10＝0　　 B．S10最小C．S7＝S12　　 D．S19＝0[解析]　∵2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＝－9d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，∴a10＝0，故A正确；∵Sn＝na1＋＝－9nd＋＝(n2－19n)，∴S9＝S10，S7＝S12，S19＝0，故B错误，C、D正确，选A、C、D.三、填空题9．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，则a10＝　　.[解析]　由已知得＝＋(10－1)×＝1＋3＝4，故a10＝.10．中位数为1 011的一组数构成等差数列，其末项为2 019，则该数列的首项为__3__.[解析]　设首项为a1，则a1＋2 019＝2×1 011，解得a1＝3.故填3.11．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝__3__.[解析]　因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.12．(2019·江苏)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是__16__.[解析]　解法一：设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.解法二：设等差数列{an}的公差为d.S9＝＝9a5＝27，a5＝3，又a2a5＋a8＝0，则3(3－3d)＋3＋3d＝0，得d＝2，则S8＝＝4(a4＋a5)＝4(1＋3)＝16.四、解答题13．(2020·武汉市部分学校调研测试)已知等差数列{an}前三项的和为－9，前三项的积为－15.(1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn.[解析]　(1)设等差数列{an}的公差为d，则由a1＋a2＋a3＝－9，得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，由a1a2a3＝－15，得(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，解得d2＝4，d＝±2，∴an＝－2n＋1或an＝2n－7.(2)由题意得an＝2n－7，所以|an|＝①当n≤3时，Sn＝－(a1＋…＋an)＝n＝6n－n2；　②当n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2.综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝14．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解析]　(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．B组能力提升1．(2020·湖北咸宁联考)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S5＝10，则{an}的公差为(　C　)A．　 B．　C．　 D．[解析]　由题意知a1＋a2＝3①，S5＝＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝，故选C.2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S674＝2，S1 348＝12，则S2 022＝(　C　)A．22　 B．26　C．30　 D．34[解析]　由等差数列的性质知，S674，S1 348－S674，S2 022－S1 348成等差数列，则2(S1 348－S674)＝S674＋S2 022－S1 348，即2×(12－2)＝2＋S2 022－12，解得S2 022＝30.3．(2020·安徽淮北模拟)Sn是等差数列{an}的前n项和，S2 018<S2 016，S2 017<S2 018，则Sn<0时n的最大值是(　D　)A．2 017　 B．2 018　C．4 033　 D．4 034[解析]　因为S2 018<S2 016，S2 017<S2 018，所以a2 018＋a2 017<0，a2 018>0.所以S4 034＝＝2 017(a2 018＋S2 017)<0，S4 035＝＝4 035a2 018>0，可知Sn<0时n的最大值是4 034.故选D.4．(2020·郑州模拟)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项的和为Sn，若－＝2，则S2 018＝__－2_108__.[解析]　设等差数列{an}的公差为d，因为＝a1＋(n－1)d，所以数列{}也成等差数列，由－＝2得{}的公差为1，因此＝＋(2 018－1)×1＝－1，则S2 018＝－2 018.5．(2020·广东七校第二次联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，且bn＝，n∈N*.(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)设数列{}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．[解析]　(1)因为bn＝，且an＋1＝，所以bn＋1＝＝＝1＋＝1＋bn，故bn＋1－bn＝1.又b1＝＝1，所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，又bn＝，所以an＝＝.故＝＝－.所以Tn＝(－)＝1－＝.