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2019-2020学年江苏省徐州市邳州市八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年江苏省徐州市邳州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则该图象可能经过的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
5．（3分）不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
6．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．对角线互相平分
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝的图象与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C为坐标（3，n），△OAB的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A．（3.2） B．（3，） C．（3，1） D．（3，）
8．（3分）在▱ABCF中，BC＝2AB，CD⊥AB于点D，点E为AF的中点，若∠ADE＝50°．则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（4分）分式与的最简公分母是 ．
10．（4分）使有意义的x的取值范围是 ．
11．（4分）某校共有2200名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，随机抽取300名学生进行调查，样本容量是
．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AC＝4，则EF+EG＝ ．
13．（4分）如图在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DB⊥BC，垂足为B，若AC＝10，BD＝6，则BC的长等于 ．
14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
15．（4分）某批足球的质量检验结果如下：
抽取的足球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
从这批足球中，任意抽取的一只足球是优等品的概率的估计值是 ．
16．（4分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是 ．
17．（4分）如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k＝ ．
18．（4分）如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）计算：
（1）（）；
（2）﹣+2．
20．（12分）（1）计算：•（1﹣）；
（2）解方程：＝1﹣．
21．（8分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 °．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（3，0），C（3，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴，翻折得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是 ．
23．（8分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是 ．
25．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y＝的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积．
26．（10分）在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为 ；
（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．
2019-2020学年江苏省徐州市邳州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形定义进行解答．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3．
故选：D．
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则该图象可能经过的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【分析】将M（﹣2，3）代入y＝，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴符合此条件的只有A（3，﹣2），k＝3×（﹣2）＝﹣6．
故选：A．
5．（3分）不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此逐项判断即可．
【解答】解：不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，
有可能是2个黑球，也有可能是1个黑球和1个白球．
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球都是黑球”是一个随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球都是白球”是一个不可能事件，
∴选项B不符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球中有黑球”是一个必然事件，
∴选项C符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球中有白球”是一个随机事件，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．对角线互相平分
【分析】利用菱形的性质，依次判断可求解．
【解答】解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴四个角相等不是菱形的性质，
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝的图象与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C为坐标（3，n），△OAB的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A．（3.2） B．（3，） C．（3，1） D．（3，）
【分析】利用三角形面积公式得到S△AOC＝S△OAB＝，再根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|＝，然后利用反比例函数的性质确定k的值，最后把C（3，n）代入反比例函数的解析式，即可求得C的坐标．
【解答】解：如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△OAB＝，
而S△AOC＝|k|，
∴|k|＝，
而k＞0，
∴k＝3，
∴y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点C，点C为坐标（3，n），
∴3n＝3，
∴n＝1，
∴C（3，1），
故选：C．
8．（3分）在▱ABCF中，BC＝2AB，CD⊥AB于点D，点E为AF的中点，若∠ADE＝50°．则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（4分）分式与的最简公分母是 a2b2 ．
【分析】根据最简公分母是按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，即可得出答案．
【解答】解：分式与的最简公分母是a2b2．
故答案为：a2b2．
10．（4分）使有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
11．（4分）某校共有2200名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，随机抽取300名学生进行调查，样本容量是
300 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】解：本题的样本是300名学生对“七步洗手法”的掌握情况，故样本容量是300．
故答案为：300．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AC＝4，则EF+EG＝ 2 ．
【分析】由正方形ABCD，以及对角线BD的长，得到对角线互相垂直，OB等于BD的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形GEFO为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形GEB为等腰直角三角形，由等量代换得到EF+EG＝OB，求出即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，AC＝4，
∴∠ACB＝45°，BD⊥AC，OC＝＝2，
∵EF⊥AC，EG⊥OB，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠BOC＝90°，
∴四边形GEFO为矩形，△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CF，EG＝OF，
∴EF+EG＝CF+OF＝OC＝2．
故答案为：2．
13．（4分）如图在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DB⊥BC，垂足为B，若AC＝10，BD＝6，则BC的长等于 4 ．
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，OC＝AC＝5，OB＝BD＝3cm，由勾股定理得出BC的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴AD＝BC，OC＝AC＝5，OB＝BD＝3，
∵DB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴BC＝＝4，
故答案为：4．
14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 3 ．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a﹣1＝2，
解得，a＝3，
故答案为：3．
15．（4分）某批足球的质量检验结果如下：
抽取的足球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
从这批足球中，任意抽取的一只足球是优等品的概率的估计值是 0.940 ．
【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为0.940．
【解答】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.940．
故答案为0.940．
16．（4分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是 4 ．
【分析】根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．
【解答】解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．
所以三角形的面积S＝＝＝4．
故答案是：4．
17．（4分）如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k＝ 2 ．
【分析】利用矩形的性质和线段的中点坐标公式得到D（2，1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：∵点D是矩形AOBC的对称中心，
而点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴D（2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，
∴k＝2×1＝2．
故答案为2．
18．（4分）如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
【分析】由三角形中位线定理得到RN＝CQ，RQ＝BQ；根据折叠的性质知：可知：BN＝BH，从而可知∠BHN的值，再根据∠HBQ＝∠CBQ，可将∠CBQ的角度求出，由锐角三角函数定义解答．
【解答】解：∵点M、N分别是AD、BC的中点，
∴MN∥CD，点R是BQ的中点，
∴RN是△BCQ的中位线，RQ＝BQ，
∴RN＝CQ．
根据折叠的性质知：BH＝BC，∠HBQ＝∠CBQ，
∴BN＝BC＝BH，
∵∠BNH＝90°，
∴∠BHN＝30°，
∴∠HBN＝90°﹣30°＝60°，
根据翻折不变性，∠QBC＝30°，
∴sin30°＝＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）计算：
（1）（）；
（2）﹣+2．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝3﹣2；
（2）原式＝+2﹣2+2
＝3．
20．（12分）（1）计算：•（1﹣）；
（2）解方程：＝1﹣．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝；
（2）分式方程整理得：＝1+，
去分母得：x＝2x﹣1+2，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，
则分式方程的解为x＝﹣1．
21．（8分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 300 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 162 °．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
【分析】（1）由安全意识为“一般”的学生数除以所占的百分比得到抽取学生总数，再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数，得出安全意识为“较强”的学生数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以安全意识为“很强”的学生占的百分比即可；
（3）由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和，乘以3500即可得到结果．
【解答】解：（1）本次调查一共抽取的学生数是：45÷15%＝300（名）；
安全意识为“较强”的学生数是：300﹣30﹣45﹣135＝90（人）．
补全条形图如下：
故答案为：300；
（2）“很强”层次所占圆心角的大小为：360°×＝162°．
故答案为：162；
（3）根据题意得：3500×＝875（人），
则全校需要强化安全教育的学生人数有875人．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（3，0），C（3，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴，翻折得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出三个顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）直接利用三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是×3×3＝．
23．（8分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，根据实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种80棵树．
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是 AC＝2AB ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可．
（2）证出EG∥CF，EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形即可．
（3）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形，证明∠OEG＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS）．
（2）由（1）得：△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，∠OAE＝∠OCF，
∴CF∥AG，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
（3）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∵四边形EGCF是平行四边形，
∴四边形EGCF是矩形．
故答案为AC＝2AB．
25．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y＝的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y＝x+2，求得C的坐标，即可求得C点关于y轴的对称点C′的坐标，根据待定系数法求得直线BC′的解析式，即可求得P的坐标，然后根据S△BPC＝S△BCC′﹣S△PCC′求得即可．
【解答】解：（1）把A（3，5）代入y＝可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把点B（a，﹣3）代入y＝，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
作C点关于y轴的对称点C′，则C′（2，0），即CC＝4，
连接B、C′交y轴于P，此时PA+PB有最小值，
设直线BC′的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得，
则BC′的解析式为y＝x﹣，
∴P（0，﹣），即OP＝，
∴S△BPC＝S△BCC′﹣S△PCC′＝﹣＝．
26．（10分）在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为 24 ；
（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．
【分析】（1）证∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）连接CE，交AF于O，由菱形的性质得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，由三角形面积公式求出S△AOC＝6，即可得出答案；
（3）过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，证△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，证∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：连接CE，交AF于O，如图②所示：
∵四边形AEFC是菱形，
∴CE⊥AF，
∴∠COA＝∠ADB＝90°，
同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS），
∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，
∴S△AOC＝OA•OC＝×4×3＝6，
∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24，
故答案为：24；
（3）解：过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，如图③所示：
∴∠EMI＝∠GNI＝90°，
∵四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形，
∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，
同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），
∴EM＝AH＝GN，
在△EMI和△GNI中，，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点，
∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴∠EAG＝90°，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝＝＝10，
∵I是EG的中点，
∴AI＝EG＝×10＝5．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）若点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则该图象可能经过的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
5．（3分）不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
6．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．对角线互相平分
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝的图象与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C为坐标（3，n），△OAB的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A．（3.2） B．（3，） C．（3，1） D．（3，）
8．（3分）在▱ABCF中，BC＝2AB，CD⊥AB于点D，点E为AF的中点，若∠ADE＝50°．则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（4分）分式与的最简公分母是 ．
10．（4分）使有意义的x的取值范围是 ．
11．（4分）某校共有2200名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，随机抽取300名学生进行调查，样本容量是
．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AC＝4，则EF+EG＝ ．
13．（4分）如图在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DB⊥BC，垂足为B，若AC＝10，BD＝6，则BC的长等于 ．
14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 ．
15．（4分）某批足球的质量检验结果如下：
抽取的足球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
从这批足球中，任意抽取的一只足球是优等品的概率的估计值是 ．
16．（4分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是 ．
17．（4分）如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k＝ ．
18．（4分）如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）计算：
（1）（）；
（2）﹣+2．
20．（12分）（1）计算：•（1﹣）；
（2）解方程：＝1﹣．
21．（8分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 °．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（3，0），C（3，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴，翻折得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是 ．
23．（8分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是 ．
25．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y＝的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积．
26．（10分）在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为 ；
（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．
2019-2020学年江苏省徐州市邳州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形定义进行解答．
【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
2．（3分）若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．3
【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x﹣3＝0，
解得：x＝3．
故选：D．
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）若点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，则该图象可能经过的点的坐标是（ ）
A．（3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（3，2）
【分析】将M（﹣2，3）代入y＝，求出k的值，再根据k＝xy对各项进行逐一检验即可．
【解答】解：∵点M（﹣2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∴符合此条件的只有A（3，﹣2），k＝3×（﹣2）＝﹣6．
故选：A．
5．（3分）不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．2个球都是黑球 B．2个球都是白球
C．2个球中有黑球 D．2个球中有白球
【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，据此逐项判断即可．
【解答】解：不透明的袋子中只有2个黑球和1个白球，这些球除颜色外其他无差别，随机从袋子中一次摸出2个球，
有可能是2个黑球，也有可能是1个黑球和1个白球．
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球都是黑球”是一个随机事件，
∴选项A不符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球都是白球”是一个不可能事件，
∴选项B不符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球中有黑球”是一个必然事件，
∴选项C符合题意；
∵“随机从袋子中一次摸出2个球，2个球中有白球”是一个随机事件，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
6．（3分）关于菱形，下列说法错误的是（ ）
A．四条边相等 B．对角线互相垂直
C．四个角相等 D．对角线互相平分
【分析】利用菱形的性质，依次判断可求解．
【解答】解：∵菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，
∴四个角相等不是菱形的性质，
故选：C．
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于点A，反比例函数y＝的图象与线段AB相交于点C，且点C是线段AB的中点，若点C为坐标（3，n），△OAB的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A．（3.2） B．（3，） C．（3，1） D．（3，）
【分析】利用三角形面积公式得到S△AOC＝S△OAB＝，再根据反比例函数系数k的几何意义得到|k|＝，然后利用反比例函数的性质确定k的值，最后把C（3，n）代入反比例函数的解析式，即可求得C的坐标．
【解答】解：如图，
∵BA⊥x轴于点A，C是线段AB的中点，
∴S△AOC＝S△OAB＝，
而S△AOC＝|k|，
∴|k|＝，
而k＞0，
∴k＝3，
∴y＝，
∵反比例函数y＝的图象经过点C，点C为坐标（3，n），
∴3n＝3，
∴n＝1，
∴C（3，1），
故选：C．
8．（3分）在▱ABCF中，BC＝2AB，CD⊥AB于点D，点E为AF的中点，若∠ADE＝50°．则∠B的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B的度数．
【解答】解：连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，
∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，
∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，
，
∴△NAE≌△CFE（ASA），
∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，
∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，
∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，
∴DE＝NC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，
∴∠B＝80°．
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置）
9．（4分）分式与的最简公分母是 a2b2 ．
【分析】根据最简公分母是按照相同字母取最高次幂，所有不同字母都写在积里，即可得出答案．
【解答】解：分式与的最简公分母是a2b2．
故答案为：a2b2．
10．（4分）使有意义的x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵有意义，
∴x﹣1≥0，解得x≥1．
故答案为：x≥1．
11．（4分）某校共有2200名学生，为了解学生对“七步洗手法”的掌握情况，随机抽取300名学生进行调查，样本容量是
300 ．
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
【解答】解：本题的样本是300名学生对“七步洗手法”的掌握情况，故样本容量是300．
故答案为：300．
12．（4分）如图，正方形ABCD中，点E在BC上，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为F、G，若AC＝4，则EF+EG＝ 2 ．
【分析】由正方形ABCD，以及对角线BD的长，得到对角线互相垂直，OB等于BD的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形GEFO为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形GEB为等腰直角三角形，由等量代换得到EF+EG＝OB，求出即可．
【解答】解：∵正方形ABCD，AC＝4，
∴∠ACB＝45°，BD⊥AC，OC＝＝2，
∵EF⊥AC，EG⊥OB，
∴∠OFE＝∠OGE＝∠BOC＝90°，
∴四边形GEFO为矩形，△CEF为等腰直角三角形，
∴EF＝CF，EG＝OF，
∴EF+EG＝CF+OF＝OC＝2．
故答案为：2．
13．（4分）如图在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且DB⊥BC，垂足为B，若AC＝10，BD＝6，则BC的长等于 4 ．
【分析】由平行四边形的性质得出AD＝BC，OC＝AC＝5，OB＝BD＝3cm，由勾股定理得出BC的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝6，
∴AD＝BC，OC＝AC＝5，OB＝BD＝3，
∵DB⊥BC，
∴∠OBC＝90°，
∴BC＝＝4，
故答案为：4．
14．（4分）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值是 3 ．
【分析】根据同类二次根式的概念列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴a﹣1＝2，
解得，a＝3，
故答案为：3．
15．（4分）某批足球的质量检验结果如下：
抽取的足球数n
100
200
400
600
800
1000
1200
优等品频数m
93
192
380
561
752
941
1128
优等品频率
0.930
0.960
0.950
0.935
0.940
0.941
0.940
从这批足球中，任意抽取的一只足球是优等品的概率的估计值是 0.940 ．
【分析】由表中数据可判断频率在0.940左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只足球是优等品的概率为0.940．
【解答】解：从这批足球中，任意抽取一只足球是优等品的概率的估计值是0.940．
故答案为0.940．
16．（4分）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC面积是 4 ．
【分析】根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．
【解答】解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．
所以三角形的面积S＝＝＝4．
故答案是：4．
17．（4分）如图，点D是矩形AOBC的对称中心，点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，则k＝ 2 ．
【分析】利用矩形的性质和线段的中点坐标公式得到D（2，1），然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
【解答】解：∵点D是矩形AOBC的对称中心，
而点A坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），
∴D（2，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点D，
∴k＝2×1＝2．
故答案为2．
18．（4分）如图，将正方形ABCD沿MN对折，点M、N分别是AD、BC的中点，再将点C折至点H的位置，点H在MN上，折痕是BQ，则＝ ．
【分析】由三角形中位线定理得到RN＝CQ，RQ＝BQ；根据折叠的性质知：可知：BN＝BH，从而可知∠BHN的值，再根据∠HBQ＝∠CBQ，可将∠CBQ的角度求出，由锐角三角函数定义解答．
【解答】解：∵点M、N分别是AD、BC的中点，
∴MN∥CD，点R是BQ的中点，
∴RN是△BCQ的中位线，RQ＝BQ，
∴RN＝CQ．
根据折叠的性质知：BH＝BC，∠HBQ＝∠CBQ，
∴BN＝BC＝BH，
∵∠BNH＝90°，
∴∠BHN＝30°，
∴∠HBN＝90°﹣30°＝60°，
根据翻折不变性，∠QBC＝30°，
∴sin30°＝＝＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（12分）计算：
（1）（）；
（2）﹣+2．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则运算；
（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝3﹣2；
（2）原式＝+2﹣2+2
＝3．
20．（12分）（1）计算：•（1﹣）；
（2）解方程：＝1﹣．
【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式＝•
＝•
＝；
（2）分式方程整理得：＝1+，
去分母得：x＝2x﹣1+2，
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，2x﹣1≠0，
则分式方程的解为x＝﹣1．
21．（8分）在2020年新冠病毒爆发期间，某校为了解学生防疫的安全意识，在全校范围内随机抽取部分学生进行网上问卷调查．根据调查结果，将学生的安全意识分为“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次，并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 300 名学生，请将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，“很强”层次所占圆心角的大小为 162 °．
（3）若该校共有3500名学生，现要对防疫的安全为“淡薄”、“一般”的学生进行强化安全教育，根据调查结果，请你估计全校需要强化安全教育的学生人数．
【分析】（1）由安全意识为“一般”的学生数除以所占的百分比得到抽取学生总数，再用总人数分别减去安全意识“淡薄”、“一般”、“很强”的人数，得出安全意识为“较强”的学生数，补全条形统计图即可；
（2）用360°乘以安全意识为“很强”的学生占的百分比即可；
（3）由安全意识为“淡薄”、“一般”的学生占的百分比的和，乘以3500即可得到结果．
【解答】解：（1）本次调查一共抽取的学生数是：45÷15%＝300（名）；
安全意识为“较强”的学生数是：300﹣30﹣45﹣135＝90（人）．
补全条形图如下：
故答案为：300；
（2）“很强”层次所占圆心角的大小为：360°×＝162°．
故答案为：162；
（3）根据题意得：3500×＝875（人），
则全校需要强化安全教育的学生人数有875人．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（3，0），C（3，3）．
（1）将△ABC以y轴为对称轴，翻折得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是 ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；
（2）分别作出三个顶点绕原点O顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得；
（3）直接利用三角形的面积公式求解可得．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．
（3）以O，B1，B2为顶点的三角形面积是×3×3＝．
23．（8分）为贯彻习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在荒坡上种植2000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？
【分析】设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，根据实际比原计划提前5天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+25%）x棵树，
依题意，得：﹣＝5，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种80棵树．
24．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）四边形EGCF是平行四边形吗？请说明理由；
（3）若四边形EGCF是矩形，则线段AB、AC的数量关系是 AC＝2AB ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出OB＝OD，OA＝OC，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可．
（2）证出EG∥CF，EG＝CF，得出四边形EGCF是平行四边形即可．
（3）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形，证明∠OEG＝90°即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE＝OB，OF＝OD，
∴OE＝OF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS）．
（2）由（1）得：△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，∠OAE＝∠OCF，
∴CF∥AG，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，EG∥CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
（3）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
∵四边形EGCF是平行四边形，
∴四边形EGCF是矩形．
故答案为AC＝2AB．
25．（10分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例y＝的图象相交于A（3，5）、B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P为y轴上的动点，当PB+PC取最小值时，求△BPC的面积．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y＝x+2，求得C的坐标，即可求得C点关于y轴的对称点C′的坐标，根据待定系数法求得直线BC′的解析式，即可求得P的坐标，然后根据S△BPC＝S△BCC′﹣S△PCC′求得即可．
【解答】解：（1）把A（3，5）代入y＝可得m＝3×5＝15，
∴反比例函数的解析式为y＝；
把点B（a，﹣3）代入y＝，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
作C点关于y轴的对称点C′，则C′（2，0），即CC＝4，
连接B、C′交y轴于P，此时PA+PB有最小值，
设直线BC′的解析式为y＝k′x+b′，
∴，解得，
则BC′的解析式为y＝x﹣，
∴P（0，﹣），即OP＝，
∴S△BPC＝S△BCC′﹣S△PCC′＝﹣＝．
26．（10分）在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为D、E．试说明△ABD≌△CAE：
（2）如图②，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、A、F在同一条直线上，BD⊥DF，AD＝3，BD＝4．则菱形AEFC面积为 24 ；
（3）如图③，分别以Rt△ABC的直角边AC、AB向外作正方形ACDE和正方形ABFG，连接EG，AH是△ABC的高，延长HA交EG于点I，若AB＝6，AC＝8，求AI的长度．
【分析】（1）证∠BDA＝∠CEA＝90°，∠CAE＝∠ABD，由AAS证明△ABD≌△CAE即可；
（2）连接CE，交AF于O，由菱形的性质得∠COA＝∠ADB＝90°，同（1）得△ABD≌△CAO（AAS），得OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，由三角形面积公式求出S△AOC＝6，即可得出答案；
（3）过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，同（1）得△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），得EM＝AH＝GN，证△EMI≌△GNI（AAS），得EI＝GI，证∠EAG＝90°，由勾股定理求出EG＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）解：连接CE，交AF于O，如图②所示：
∵四边形AEFC是菱形，
∴CE⊥AF，
∴∠COA＝∠ADB＝90°，
同（1）得：△ABD≌△CAO（AAS），
∴OC＝AD＝3，OA＝BD＝4，
∴S△AOC＝OA•OC＝×4×3＝6，
∴S菱形AEFC＝4S△AOC＝4×6＝24，
故答案为：24；
（3）解：过E作EM⊥HI的延长线于M，过点G作GN⊥HI于N，如图③所示：
∴∠EMI＝∠GNI＝90°，
∵四边形ACDE和四边形ABFG都是正方形，
∴∠CAE＝∠BAG＝90°，AC＝AE＝8，AB＝AG＝6，
同（1）得：△ACH≌△EAM（AAS），△ABH≌△GAN（AAS），
∴EM＝AH＝GN，
在△EMI和△GNI中，，
∴△EMI≌△GNI（AAS），
∴EI＝GI，
∴I是EG的中点，
∵∠CAE＝∠BAG＝∠BAC＝90°，
∴∠EAG＝90°，
在Rt△EAG中，由勾股定理得：EG＝＝＝10，
∵I是EG的中点，
∴AI＝EG＝×10＝5．
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