高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质课后作业题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2 指数幂的运算性质课后作业题，共6页。

§2 指数幂的运算性质


知识点 指数幂运算性质基本应用


1.☉%￥#42#￥83%☉(多选)(2020·长安一中检测)下列等式能够成立的是( )。


A.nm7=n17·m-7(m≠n,m≠0)


B.12(-3)4=(-3)13


C.4x3+y3=(x+y)34(x≥0,y≥0)


D.39=313


答案：AD


解析：因为nm7=n7m7=n7·m-7,所以A正确;因为12(-3)4=1234=313≠(-3)13,所以B错误;因为4x3+y3=(x3+y3)14≠(x+y)34,所以C错误;因为39=69=313,所以D正确。故选AD。


2.☉%7￥#0￥1￥2%☉(2020·西安中学月考)设a12-a-12=3,则a4+1a2=( )。


A.7 B.119 C.47 D.45


答案：B


解析：由a12-a-12=3,可得(a12-a-12)2=a+a-1-2=32,解得a+a-1=11。故(a+a-1)2=a2+a-2+2=112,解得a2+a-2=119。所以a4+1a2=a2+a-2=119。故选B。


3.☉%7#28#1@￥%☉(2020·安庆一中检测)已知a2+a-2=22,且a>1,则a2-a-2的值为( )。


A.2或-2 B.-2 C.6 D.2


答案：D


解析： (a2-a-2)2=(a2+a-2)2-4=8-4=4,又a>1,所以a2>a-2,所以a2-a-2=2。故选D。


4.☉%￥030#@@1%☉(2020·银川一中检测)如果x=1+2m,y=1+2-m,那么用x表示y正确的是( )。


A.y=x+1x-1 B.y=x+1x


C.y=x-1x+1 D.y=xx-1


答案：D


解析：由x=1+2m得2m=x-1,故2-m=1x-1。所以y=1+1x-1=x-1+1x-1=xx-1。故选D。


5.☉%￥108*7@￥%☉(2020·杭州模拟)已知f(x12+x-12)=x+x-1-2,则f(x+1)=( )。


A.x2-4 B.(x+1)2


C.(x+1)-1+(x+1)-2 D.x2+2x-3


答案：D


解析：因为f(x12+x-12)=(x12+x-12)2-4,所以f(x+1)=(x+1)2-4=x2+2x-3。故选D。


6.☉%￥4*#@187%☉(2020·华师一附中月考)若3a·9b=13,则下列等式正确的是( )。


A.a+b=-1 B.a+b=1


C.a+2b=-1 D.a+2b=1


答案：C


解析： 3a·9b=3a·32b=3a+2b=13=3-1,则a+2b=-1。故选C。


7.☉%84@3#2@￥%☉(2020·成都模拟)若x3+x2+x=-1,则x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28的值是( )。


A.2 B.0 C.-1 D.1


答案：D


解析：由x3+x2+x=-1,得x2(x+1)+x+1=0,


即(x+1)(x2+1)=0,解得x=-1。


所以x-28+x-27+…+x-2+x-1+1+x1+x2+…+x27+x28=1。故选D。


题型 指数幂的综合应用


8.☉%330￥￥6￥@%☉若b<0且3b+3-b=13,则3b-3-b等于( )。


A.±3 B.-2 C.-3 D.9


答案：C


解析：因为3b+3-b=13,所以(3b-3-b)2=(3b+3-b)2-4=13-4=9,所以|3b-3-b|=3。


因为b<0,所以3b-3-b<0,所以3b-3-b=-3。故选C。


9.☉%￥614@*4@%☉(2020·内蒙古模拟)若x>0,则(2x14+232)(2x14-232)-4x-12·(x-x12)= 。


答案：-4


解析：原式=4x12-23-4x12+4=-4。


10.☉%6644@#**%☉(2020·临川一中月考)已知10α=2,10β=3,则1003α2-β3= 。


答案：839


解析：1003α2-β3=102(3α2-β3)=103α-2β3=(10α)3÷(10β)23。由已知10α=2,10β=3,得原式=23÷323=839。


11.☉%62*2#￥8#%☉(2020·苏州模拟)已知an=2n,则3a10a317n-3= 。


答案：3·2n-3


解析：a10=210,a3=23,所以a10a3=27,所以原式=3[(27)17]


12.☉%*08￥￥*99%☉(2020·昆明三中期中)下列关系式中,根式与分数指数幂的互化正确的是 (只填序号)。


①-x=(1-x)12(x>0);②6y2=y13(y<0);③x-34=41x3(x>0);④x-13=-3x(x≠0)。


答案：③


解析：对于①,-x=-x12,故①错误;对于②,当y<0时,6y2>0,y13<0,故②错误;对于③,x-34=14x3=41x3(x>0),故③正确;对于④,x-13=13x,故④错误。综上,填③。


13.☉%@￥*23#02%☉(2020·新余四中月考)已知a2m+n=2-2,am-n=28(a>0且a≠1),则a4m+n的值为 。


答案：4


解析：因为a2m+n=2-2①,am-n=28②,


①×②,得a3m=26,所以am=22。


将am=22代入②,得22×a-n=28,所以an=2-6,


所以a4m+n=a4m·an=(am)4·an=(22)4×2-6=22=4。


14.☉%￥124*#@0%☉(2020·枣庄八中检测)已知a12+a-12=3,求下列各式的值:


(1)a+a-1;


答案：解:将a12+a-12=3两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7。


(2)a2+a-2;


答案：将式子a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,


所以a2+a-2=47。


(3)a32-a-32a12-a-12。


答案：由于a32-a-32=(a12)3-(a-12)3,


所以有a32-a-32a12-a-12=(a12-a-12)(a+a-1+a12·a-12)a12-a-12=a+a-1+1=7+1=8。


15.☉%4*2*7￥￥3%☉(2020·石门一中月考)完成下列题目。


(1)已知x=a-3+b-2,化简4x2-2a-3x+a-6。


答案：解:由x=a-3+b-2,得x-a-3=b-2,


所以4x2-2a-3x +a-6=4(x-a-3)2=4(b-2)2=1b。


(2)设a23+b23=4,x=a+3a13b23,y=b+3a23b13,求(x+y)23+(x-y)23的值。


答案：令a13=A,b13=B,则x=A3+3AB2,y=B3+3A2B,


x+y=A3+3AB2+3A2B+B3=(A+B)3,


x-y=A3+3AB2-3A2B-B3=(A-B)3。


所以(x+y)23+(x-y)23=(A+B)2+(A-B)2=2(A2+B2)=2(a23+b23)=8。


16.☉%23*￥#@18%☉(2020·长沙一中月考)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:2c=2a+1b。


答案：证明:令3a=4b=6c=t(t>0),则3=t1a,2=t12b,6=t1c。


因为3×2=6,所以t1a·t12b=t1c,即1a+12b=1c,


所以2c=2a+1b。


17.☉%2*8**#03%☉(2020·江西临川一中检测)已知ax3=by3=cz3,且1x+1y+1z=1,求证:(ax2+by2+cz2)13=a13+b13+c13。


答案：证明:令ax3=by3=cz3=t,则ax2=tx,by2=ty,cz2=tz,


因为1x+1y+1z=1,所以tx+ty+tz=t,


即ax2+by2+cz2=t。


所以(ax2+by2+cz2)13=t13=t13·1x+1y+1z=(ax3)13x+(by3)13y+(cz3)13z=a13+b13+c13。


18.☉%##0@*836%☉(2020·四川内江一中模拟)对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和非零实数x,y,z,ω,若ax=by=cz=70ω,1ω=1x+1y+1z,求a,b,c的值。


答案：解:因为ax=70ω,且x,ω为非零实数,所以a1ω=701x。


同理,可得b1ω=701y,c1ω=701z,


所以a1ω·b1ω·c1ω=701x·701y·701z,


即(abc)1ω=701x+1y+1z。


又1x+1y+1z=1ω,a,b,c为正整数,


所以abc=70=2×5×7。


因为a≤b≤c,所以a=2,b=5,c=7。


19.☉%4@54*@4#%☉(2020·宁波调考)完成下列题目。


(1)当x=2+2,y=2-2时,求(x23-y-13)·(x43+x23y-13+y-23)的值;


答案：解:因为x=2+2,y=2-2,


所以原式=x2-y-1=2+2-12-2=1+22。


(2)若a2x=2-1,求a3x+a-3xax+a-x的值。


答案：由a2x=2-1,得a-2x=2+1,


所以a3x+a-3xax+a-x=a2x+a-2x-1=22-1。


20.☉%8@#31#2#%☉(2020·中山调考)已知f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x(x,y∈R)。(e=2.718…为常数)


(1)求[f(x)]2-[g(x)]2的值;


答案：解:[f(x)]2-[g(x)]2


=[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]


=(ex-e-x+ex+e-x)(ex-e-x-ex-e-x)


=2ex·(-2e-x)=-4e0=-4。


(2)设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求g(x+y)g(x-y)的值。


答案：由f(x)f(y)=(ex-e-x)(ey-e-y)


=ex+y+e-(x+y)-ex-y-e-(x-y)


=g(x+y)-g(x-y)=4。


同理可得g(x)g(y)=g(x+y)+g(x-y)=8,


所以g(x+y)=6,g(x-y)=2,


所以g(x+y)g(x-y)=62=3。


21.☉%#101#@#5%☉(2020·黄冈中学高一期末)已知函数f(x)=22x2+22x。


(1)求f12;


答案：解:f12=212+21=12。


(2)求f(x)+f(1-x)的值;


答案：f(x)+f(1-x)=22x2+22x+22(1-x)2+22(1-x)=4x2+4x+41-x2+41-x=4x2+4x+42·4x+4=4x2+4x+24x+2=4x+22+4x=1。


(3)求f1100+f2100+f3100+…+f98100+f99100的值。


答案：由(1)(2)知f1100+f2100+…+f98100+f99100=992。